雍明亮

摘 要：在空間立體幾何入門教學(xué)中，教師經(jīng)常是投入多、收效少，學(xué)生上課似乎聽得似是而非，課后遇到題目就一籌莫展的嚴(yán)重現(xiàn)象，這極大地影響了教師和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。沒有建立立體感和空間觀念、基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，最終導(dǎo)致很多學(xué)生頭腦中沒有形成良好的立體幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)立體幾何入門教學(xué)給出了建議。

關(guān)鍵詞：立體幾何；圖形；轉(zhuǎn)化

高中必修2的立體幾何部分，肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維重要內(nèi)容。實(shí)際教學(xué)中，還是明顯感覺到大多數(shù)學(xué)生對(duì)《立體幾何》這部分內(nèi)容存在畏懼心理，普遍感到困難！以至于部分學(xué)到了高三還是令許多學(xué)生望而生畏！難在何處？究其原因，無外乎如下兩點(diǎn)：初、高中思維模式差；平面與空間的思維跨度。

其實(shí)，我們就是生活在三維空間中，學(xué)生的空間想象并不差，與其說是空間想象能力和邏輯思維能力較差，倒不如說是觀察能力和發(fā)散思維能力的欠缺。在課堂上，為什么會(huì)有許多學(xué)生談虎色變，摸不著頭腦呢？其實(shí)，就是沒有入門，沒有掌握思維方法。針對(duì)“立體幾何入門難”這一高中數(shù)學(xué)存在的普通問題，本文給出了解決方法。

第一招：圖形——進(jìn)入立體空間的敲門磚

空間立體幾何與平面幾何研究的基本對(duì)象相比多了兩個(gè)“面”，而這多出的兩個(gè)“面”，使研究的基本對(duì)象“立了起來”。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往對(duì)空間概念模糊，在頭腦意識(shí)中難以形成準(zhǔn)確、直觀的幾何模型，以至于在解題時(shí)不會(huì)畫圖或畫出圖來也不易辨認(rèn)，甚至作出錯(cuò)誤的圖形，阻礙了思維形成。學(xué)生感覺立體幾何入門難的一個(gè)重要原因是認(rèn)識(shí)對(duì)象從平面到空間的轉(zhuǎn)變，不能很快適應(yīng)。

因此，圖形的學(xué)習(xí)和理解可以說是學(xué)習(xí)立體幾何的難關(guān)。教師要從空間立體幾何入門教學(xué)方面入手：

1.重視看圖能力

在“空間幾何體”的教學(xué)中，讓學(xué)生自己動(dòng)手做一些實(shí)物模型，如直線、平面、正方體、長方體、三棱錐等。通過對(duì)模型中的點(diǎn)、直、面之間位置關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對(duì)空間圖形的識(shí)別能力和想象能力，想象這些點(diǎn)、直、面在紙上的關(guān)系；同時(shí)，要掌握畫直觀圖的規(guī)則，掌握實(shí)踐、虛線的使用方法，為正確畫圖打好基礎(chǔ)。另一方面，對(duì)于一個(gè)幾何體，要從三視圖——主視、側(cè)視、俯視各角度去觀察，體會(huì)不同的感覺，以開闊空間視野，培養(yǎng)空間感。

例如，正三棱錐的三視圖中的主視、側(cè)視是難點(diǎn)，如果只是教師在黑板或多媒體演示，學(xué)生很難理解為什么主視圖三角形的腰長不是棱長，側(cè)視圖不是等腰三角形。通過學(xué)生自己動(dòng)手做的正三棱錐模型，自己通過實(shí)物觀察和教師的引導(dǎo)不難解決。

2.加強(qiáng)畫圖能力

在“空間幾何體”的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，可從簡(jiǎn)單的圖形（如直線和平面的各種位置關(guān)系）、簡(jiǎn)單的幾何體（如正方體）畫起。由參照模型畫圖，逐步過渡到?jīng)]有模型也能準(zhǔn)確地畫出空間圖形的直觀圖，且要畫出具有較強(qiáng)的立體感，并能由直觀圖想象出空間圖形。

例如，空間基本圖形的直觀圖的表示與識(shí)別，雖然是簡(jiǎn)單，如果把握不好圖形的要點(diǎn)，就會(huì)造成對(duì)識(shí)別復(fù)合圖形錯(cuò)誤的判斷。畫水平放置的正方形，部分學(xué)生畫成如圖的錯(cuò)誤結(jié)果：

3.增強(qiáng)認(rèn)圖能力

所謂識(shí)圖，就是指觀察、分析和認(rèn)識(shí)幾何圖形，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系聯(lián)想到具體的幾何圖形模型。既要從所給圖形中看到所畫出的部分，又要想到未畫出的部分。始終要記住在立體幾何中識(shí)圖的基本原則是“虛線看不見，實(shí)線看得見；平行能保持，垂直不保持”。

在教學(xué)過程中，教師以身作則，規(guī)范作圖，在畫立體圖，或?qū)φ掌矫鎴D，畫出翻折圖，以縮小對(duì)空間圖形的陌生感和距離感，從而悟出空間圖形與平面圖形的差異與聯(lián)系，從而正確、合理地作出圖形。

看圖、畫圖、認(rèn)圖是培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，只有觀察透了，能準(zhǔn)確作圖，并能在頭腦中形成清晰的空間圖形，從“有模型”到“無模型”進(jìn)而能正確分析、思考、想象各元素之間的關(guān)系，進(jìn)而演繹和計(jì)算各種空間度量。對(duì)于入門的學(xué)生而言，提高觀察能力、作圖能力和想象能力是學(xué)好立體幾何的有效途徑。

在“空間幾何體”的教學(xué)中，經(jīng)過對(duì)實(shí)物、幾何模型和空間圖形的觀察訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)具備了初步的空間想象能力，但在“空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”的教學(xué)中，觀察的視角由幾何體轉(zhuǎn)向抽象的直線與平面等幾何元素的位置關(guān)系，由于幾何圖形更加復(fù)雜和抽象，空間想象能力要求更高。因此，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生使用幾何模型的意識(shí)和應(yīng)用方法。例如，利用長方體模型，探究定理，注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的過程，從而提高學(xué)生幾何的直觀能力和幾何的論證能力。

第二招：轉(zhuǎn)化——打開空間思維的鑰匙

1.加強(qiáng)三種語言的表述和轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

數(shù)學(xué)文字語言、符號(hào)語言、圖形語言在立體幾何部分結(jié)合是非常緊密的，它們?cè)诿枋鐾桓拍顣r(shí)形式各異，其本質(zhì)屬性是相同的，它們之間可相互轉(zhuǎn)化，相輔相成。比如，立體幾何的定理大都是用文字語言表述的，而證明它們時(shí)，則需先將文字語言翻譯成圖形語言，為數(shù)學(xué)思維提供幾何直觀，進(jìn)而翻譯成符號(hào)語言來推理、論證。立體幾何問題是文字和圖形，推理論證過程是符號(hào)語言。立體幾何推理證明的過程實(shí)際上是幾何的文字語言、圖形語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化過程。因此，三種語言的熟練轉(zhuǎn)化是能否學(xué)好該部分內(nèi)容的基礎(chǔ)。

應(yīng)當(dāng)說立體幾何部分是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生三種數(shù)學(xué)語言互譯能力的極好素材和時(shí)機(jī)。如果教師在進(jìn)行立體概念、定理教學(xué)過程中，忽略了三種語言相互轉(zhuǎn)化、翻譯能力的訓(xùn)練，就容易造成不善于將這些文字語言與符號(hào)語言、圖形語言相聯(lián)系，只能死記硬背，從而也不可能達(dá)到真正理解，更妄談應(yīng)用能力的定理解題。

例如，我們可以用圖形刻畫幾何元素的關(guān)系，輔助理解概念、定理和性質(zhì)，可以避免死記硬背文字和符號(hào)的機(jī)械式學(xué)習(xí)。通過圖形中的元素關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)照?qǐng)D形敘述相關(guān)定理或性質(zhì)以及定理的使用條件。

例如，用圖形表示垂直關(guān)系：

在解題中，若不能語言轉(zhuǎn)化互譯，合理畫圖，也就不能跨越解題的第一步。

如（課本習(xí)題）：三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行。

面對(duì)這道用文字語言表述的習(xí)題，學(xué)生往往感到難以下手，究其原因在于——畫不出圖形，不能理解題意；缺乏語言轉(zhuǎn)化互譯能力。若學(xué)生能用文字語言表述的題意翻譯成圖形語言，即：

進(jìn)而用符號(hào)語言表述為：

已知：α∩β=a，β∩γ=b，α∩γ=c，

求證：a、b、c相交于一點(diǎn)A或a、b、c相互平行，證明就不是難事了。

若學(xué)生缺乏語言互譯能力，面對(duì)類似的題，就會(huì)無從下手。因此，在立體幾何入門的概念、定理教學(xué)中，把握時(shí)機(jī)，提高學(xué)生的文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三種語言轉(zhuǎn)化翻譯的能力。在概念學(xué)習(xí)中反復(fù)訓(xùn)練，形成語言互譯意識(shí)，那么在以后的解題過程中也就能自然而然地運(yùn)用，從根本減少了學(xué)生解題過程中語言表述混亂的失誤。

當(dāng)然，三種語言相互轉(zhuǎn)化翻譯的能力，不只是在概念教學(xué)中需加強(qiáng)，而應(yīng)滲透到立體幾何教學(xué)的每個(gè)角落。它對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和語言組織能力將起著重要的作用。同時(shí)也將極大地改善“上課聽得懂，課下題目不會(huì)做”“同學(xué)們怕做題”“老師們怕批改”的局面。

2.空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化

立體幾何無論是內(nèi)容還是方法，都是平面幾何的延伸和拓展。把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是研究立體幾何問題最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。如，面面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行；而線線平行常常由平面圖形的中位線或平行四邊形或平行公理得到。另外，線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既互相依存，又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線線平行（或垂直）、線面平行（或垂直）；面面平行（或垂直），而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線線、線面、面面的平行；線線、線面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明許多都是上述相互轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明。

所有上述這些都充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法在立體幾何中的“用武之地”。教學(xué)中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)與恰當(dāng)運(yùn)用，通過強(qiáng)化思維的目標(biāo)意識(shí)，增強(qiáng)思維的敏捷性和靈活性，提高學(xué)習(xí)效率。

半招：規(guī)范——嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣的保證

數(shù)學(xué)都要有規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，只不過此處尤為突出，這只能算是半招了。

教師作為教學(xué)引領(lǐng)者，必須為學(xué)生做好示范。這對(duì)剛接觸立體幾何的學(xué)生來說更為重要。從畫圖到論證過程的規(guī)范書寫，都應(yīng)為學(xué)生做好示范。在黑板上的示范切忌畫圖潦草，書寫隨意。對(duì)學(xué)生的作業(yè)從一開始就養(yǎng)成良好的習(xí)慣。

另外，培養(yǎng)學(xué)生的論證能力，是幾何教學(xué)中的中心任務(wù)，是一個(gè)漫長的過程。在推理過程中，“言之有理，落筆有據(jù)”，“理、據(jù)”是指課本中給出的公理、定義、定理；不能想當(dāng)然自造定理，也不能隨意將習(xí)題的結(jié)論作為根據(jù)，更不能把平面幾何結(jié)論在立體幾何中不加證明地隨意使用。在教學(xué)開始使用時(shí)，規(guī)范格式，抓住典型錯(cuò)誤，反復(fù)強(qiáng)化，讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

作為教學(xué)引領(lǐng)者的教師，要弄清培養(yǎng)學(xué)生各個(gè)階段的要求，以由淺入深，從易到難，循序漸進(jìn)。邏輯思維的形成、空間想象力的培養(yǎng)，任何學(xué)生都需要一個(gè)較長的過程，在教學(xué)中，我們要做好入門教學(xué)，實(shí)時(shí)關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生定會(huì)在立體幾何學(xué)習(xí)中有很大的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊冠夏.從立體幾何入門教學(xué)看數(shù)學(xué)語言[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（2）.

[2]杜紅全.立體幾何入門教學(xué)之我見[J].數(shù)學(xué)教育，2010（3）.

編輯 魯翠紅