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        再談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2016-12-09 02:23:10張為安黃生洪
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)數(shù)軸交點(diǎn)

        張為安 黃生洪

        (湖北省潛江市王場(chǎng)中學(xué) 湖北潛江 433100)

        再談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        張為安 黃生洪

        (湖北省潛江市王場(chǎng)中學(xué) 湖北潛江 433100)

        著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛,數(shù)缺形時(shí)少直觀,形當(dāng)數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬(wàn)事非。”波利亞也說(shuō),掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題,數(shù)學(xué)思想方法是靈魂和精髓,是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是解題過(guò)程中劈山開(kāi)路的寶劍,所以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀的圖形相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,使數(shù)與形的信息相互滲透,可以拓展解題思路,使數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,明朗化。

        下面舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在解決實(shí)際問(wèn)題中的妙用:

        一、利用數(shù)軸求不等式中取值范圍

        二、利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

        例2.設(shè)方程|x2-1|=k+1,試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況。

        分析:我們可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況,因函數(shù)y2表示平行x軸的所有直線,從圖像可以直觀的看出:

        ①當(dāng)klt;-1時(shí),y1與y2沒(méi)有交點(diǎn),這時(shí)原方程無(wú)解

        ②當(dāng)k=-1時(shí),y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn),原方程有兩個(gè)不同的解

        ③當(dāng)-1lt;klt;0時(shí),y1與y2有四個(gè)不同的解,原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)

        ④當(dāng)k=0時(shí),y1與y2有三個(gè)交點(diǎn),原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè);

        ⑤當(dāng)kgt;0時(shí),y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn),原方程不同解的個(gè)數(shù)有兩個(gè)

        三、利用數(shù)軸或坐標(biāo)求最大值(或最小值)

        例3.(1)如圖,在直線l的同側(cè)有A,B兩點(diǎn),在直線l上找到點(diǎn)P、P′,使PA+PB最小,|BP′-AP′|最大;

        (2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A(2,3),B(4,5),請(qǐng)分別在x軸,y軸上找兩點(diǎn)P、P′,使PA+PB最小,|BP′-AP′|最大,則P、P′的坐標(biāo)分別是____

        (4)在直角坐標(biāo)系中有四點(diǎn)A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0),當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最短時(shí),

        分析:這是一組形異實(shí)同的題目,轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題的核心,而其基礎(chǔ)知識(shí)就是運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短在不同場(chǎng)合有簡(jiǎn)單到復(fù)雜的運(yùn)用

        (1)作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線l于點(diǎn)P,延長(zhǎng)BA交l于點(diǎn)P′,則點(diǎn)P,P′為所求。

        (2)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(2,-3),直線A′B的解析式為y=4x-11,y=0時(shí),,所以點(diǎn)

        直線AB的解析式為y=x+1,與y軸的交點(diǎn)為(0,1)所以P′(0,1)

        (3)①

        ②類似于(1),延長(zhǎng)BA交x軸于P′,則

        (3)作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,則點(diǎn)B′(4,5),A′(-8,-3),則A′B′的解析式為

        結(jié)束語(yǔ)

        數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)研究中的常用方法,數(shù)形結(jié)合是解決具體問(wèn)題的寶劍,是尋求出路的突破口,數(shù)形結(jié)合最大的特點(diǎn)就是模式化,直觀化,用簡(jiǎn)單直觀的圖形代替繁瑣的代數(shù)推理,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的基本而又重要的思想,可見(jiàn)數(shù)與形珠聯(lián)璧合,相映生輝。

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