遼寧省大連市育明高級中學(xué)　　李文睿

車輛碰撞各階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

遼寧省大連市育明高級中學(xué)李文睿

本文結(jié)合車輛碰撞中的相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論及碰撞理論，簡要分析各類車輛間碰撞的形態(tài)，以汽車碰撞為例，

拆分車輛間碰撞的各個(gè)階段，即碰撞階段、一維碰撞、二維碰撞以及碰撞后，從四個(gè)階段具體運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，如動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量定理等相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，以此構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型，對運(yùn)動(dòng)中的車輛進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，全面、系統(tǒng)地研究運(yùn)動(dòng)學(xué)定律在車輛碰撞中的應(yīng)用。

碰撞 運(yùn)動(dòng)學(xué) 一維碰撞 二維碰撞

隨著我國城市化與工業(yè)化進(jìn)程的加速，人們對汽車的需求日益增大，汽車工業(yè)得到迅猛發(fā)展。汽車為公眾的出行帶來極便利的同時(shí)，也使交通安全問題增多。交通安全事故頻發(fā)給交通管理與交通事故認(rèn)定帶來諸多難題。在交通事故的各種類型中，車輛碰撞事故是交通事故中出現(xiàn)率較高的一種。相關(guān)人員通過運(yùn)動(dòng)學(xué)定律可以確定肇事時(shí)的車輛狀態(tài)，為劃定肇事雙方責(zé)任提供依據(jù)。

一、車輛碰撞階段

碰撞階段指車輛之間發(fā)生碰撞并進(jìn)行動(dòng)量互換剎那間的時(shí)間歷程。由于車輛碰撞階段的車輛加速度很大，車輛受到的碰撞撞擊力也很大，車輛在剎那間完成碰撞過程。

對車輛碰撞作用階段進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，可做如下簡化：

1.以汽車碰撞為例，造成車體發(fā)生最大形變的車輛碰撞的接觸角度位移約為2～5度。實(shí)際建立碰撞模型、進(jìn)行研究時(shí)，研究人員可以忽略碰撞作用期間車輛運(yùn)動(dòng)位移，從而簡化模型。

2.碰撞階段，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)定律中的動(dòng)量定理與沖量定理時(shí)，研究人員可以忽略不計(jì)系統(tǒng)所受的外力，如車輪與地面間的摩擦力、地面制動(dòng)力等外力給予系統(tǒng)造成的影響。

3.車輛碰撞中，由于一般情況下，碰撞所造成的車輛傷害變形只是車輛的局部部位，所以在車輛碰撞的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)可以把車輛當(dāng)作剛體進(jìn)行簡化。車輛碰撞中伴有機(jī)械能的損失，以及車輛碰撞階段碰撞的沖擊力在較短時(shí)間內(nèi)急劇變化。

因此，研究人員研究和描述車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，對車輛碰撞作用階段的運(yùn)動(dòng)力學(xué)計(jì)算分析不宜用動(dòng)能定理，而應(yīng)用動(dòng)量和動(dòng)量矩定理。

二、車輛一維碰撞

一維碰撞指車輛的碰撞速度矢量間的夾角小于等于10°的車輛碰撞。典型的汽車一維碰撞有迎面碰撞和追尾碰撞。嚴(yán)格地講，汽車一維碰撞指汽車碰撞沿汽車縱軸線且車體的變形和運(yùn)動(dòng)沿著縱軸方向的碰撞。

1.迎面碰撞

迎面碰撞是汽車碰撞前速度矢量相反的一維碰撞。同型號(hào)汽車正面碰撞可與汽車對固定壁碰撞等價(jià)。汽車正面碰撞速度小的碰撞為剛體碰撞，碰撞速度大的碰撞為塑性碰撞，一般的正面碰撞遵循彈塑性碰撞規(guī)律。剛體碰撞、塑性碰撞以及彈塑性碰撞一定條件下適用于迎面碰撞。

例如，已知事故發(fā)生前兩沖突車輛的車速分別為v10和v20，引入恢復(fù)系數(shù)e。由動(dòng)量守恒定理可以得到：

汽車碰撞的塑性變形與汽車的碰撞速度、結(jié)構(gòu)剛度有關(guān)。試驗(yàn)表明，迎面碰撞中汽車的塑性變形與汽車有效碰撞速度有關(guān)。

圖1是碰撞速度與塑性變形量的關(guān)系。用數(shù)學(xué)式表示為：

圖2是轎車碰撞速度與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。用數(shù)字式表示為：

圖1 碰撞速度與塑性變形量的關(guān)系

圖2 碰撞速度與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系

通過公式三和公式四得到：

式中：X表示汽車的變形。

得到恢復(fù)系數(shù)e以后，研究人員可以根據(jù)公式一和公式二確定汽車碰撞后的速度變化，進(jìn)而求出汽車迎面碰撞能的損失。

以上是基于發(fā)動(dòng)機(jī)前置的汽車碰撞建立的模型。因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)前置加大了汽車前部剛度。發(fā)動(dòng)機(jī)后置，汽車前部剛度會(huì)減小。

2.追尾碰撞

汽車追尾碰撞是汽車碰撞前速度方向一致的一維碰撞。它有如下特點(diǎn)：

（1）被碰撞車輛認(rèn)知的時(shí)間很晚，很少有回避操作行為。碰撞車駕駛員發(fā)現(xiàn)有尾撞發(fā)生的可能時(shí)，必定要采取緊急制動(dòng)措施，在路面上留下較明顯的制動(dòng)印跡（與車型和操作有關(guān)）。被碰撞車輛通常不會(huì)采取制動(dòng)措施。

（2）恢復(fù)系數(shù)比正面碰撞小得多。因?yàn)槠嚽安垦b有發(fā)動(dòng)機(jī)，剛度高，車身后部（轎車）主要是空腔，剛度低。尾撞變形主要是被撞車的后部，故恢復(fù)系數(shù)比正面碰撞小得多。

當(dāng)有效碰撞速度達(dá)到20km/h以上時(shí)，恢復(fù)系數(shù)近似為零。這種情況下，碰撞后兩車粘成一體運(yùn)動(dòng)。碰撞車停止后，有時(shí)被撞車還會(huì)繼續(xù)向前滾動(dòng)一段距離。因汽車追尾碰撞后兩車共同運(yùn)動(dòng)，則：

式中：汽車1是追尾汽車；汽車2是被追尾汽車。

碰撞后，追尾汽車以vc為初速度，在制動(dòng)狀態(tài)下作滑移運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)能量守恒定理，滑移運(yùn)動(dòng)階段車輪與路面摩擦消耗盡汽車的動(dòng)能。則有：

式中：μ1表示追尾汽車滑移摩擦系數(shù)；l1表示汽車1的滑移距離；k1表示制動(dòng)情況修正系數(shù)。當(dāng)汽車全輪制動(dòng)時(shí)，k1取1，只有前輪或后輪制動(dòng)時(shí)k 1按汽車動(dòng)態(tài)軸荷確定。

對被追尾汽車，有：

式中：f2表示被追尾汽車的滾動(dòng)摩擦系數(shù)；l2表示被追尾汽車滾動(dòng)距離。

通過公式七和公式八，得到追尾碰撞后兩車的初始速度為：因?yàn)樽肺才鲎矊儆谒苄耘鲎玻肺才鲎材軗p失為：

已知被追尾汽車尾部剛度C2，尾部變形面積S2，則追尾碰撞能損失為C2·S2，則有：

通過公式九和公式十一，可得到v10、v20。

試驗(yàn)表明，同型號(hào)追尾碰撞的追尾汽車存在關(guān)系：

式中：v2e表示被追尾汽車的有效碰撞速度，v2e＝v20－vc。

通過公式九和公式十二，即可得到v10和v20。

三、車輛二維碰撞

車輛二維碰撞指車輛碰撞后作非一維的平面運(yùn)動(dòng)的碰撞類型。車輛二維碰撞模型的前提假設(shè)為：

車體僅有縱向、橫向平動(dòng)和繞z軸的橫擺運(yùn)動(dòng)三個(gè)自由度；汽車碰撞與路面在同一平面；僅考慮車體間慣性碰撞力的作用，忽略其他外力，碰撞遵循動(dòng)量守恒；碰撞過程極短，是瞬時(shí)完成的，忽略時(shí)間的影響；車體為有質(zhì)量的剛體，不考慮碰撞變形；車體運(yùn)動(dòng)的約束條件由汽車的切向和法向恢復(fù)系數(shù)描述；碰撞前后，汽車質(zhì)量分布和幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)不變；汽車合沖量作用在汽車碰撞中心。

汽車交通事故中的車與車碰撞，多數(shù)屬于二維碰撞。碰撞前后兩車的位置需要平面坐標(biāo)系的（x，y）坐標(biāo)和汽車偏轉(zhuǎn)角來確定。對單一車輛來說，碰撞后的位置往往不在原來的速度方向上，而且伴有角度的變化（旋轉(zhuǎn)）。二維碰撞可以有兩種不同的分類方法。

一種方法是根據(jù)兩車速度的方向以及是否對心，可將二維碰撞分為非對心碰撞、對心斜角碰撞、對心直角側(cè)碰撞、非對心直角側(cè)碰撞、非對心斜角側(cè)碰撞等。這種分類法找不到內(nèi)在規(guī)律，每一種類別在進(jìn)行事故分析的時(shí)候，所需要的參數(shù)都有所不同，而且應(yīng)用了許多經(jīng)驗(yàn)公式，得不到普遍適用的表達(dá)式。事故處理的實(shí)際過程中，研究人員對其進(jìn)行應(yīng)用有一定的難度。

另外一種方法是按照受力的特點(diǎn)和復(fù)雜程度，將二維碰撞分為四類：忽略轉(zhuǎn)動(dòng)的二維碰撞，繞碰撞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的二維碰撞，一般的二維點(diǎn)碰撞，一般的二維面碰撞。

前兩種碰撞分析過程簡單、參數(shù)較少且計(jì)算簡便，但其特征與多數(shù)的汽車碰撞特征相差較大。后兩種碰撞具有一定的普遍性。本文針對一般的二維點(diǎn)碰撞和一般的二維面碰撞推導(dǎo)了下面的碰撞模型。

圖3 二維碰撞模型

圖3表示車輛1和車輛2在任意一點(diǎn)B相碰撞，為明確表示碰撞沖量xP和yP，分別對兩車的作用方向進(jìn)行研究，如圖a和圖b所示。

直角坐標(biāo)（x，y）分別以質(zhì)心C為原點(diǎn)，碰撞點(diǎn)B1相對車1質(zhì)心C1的坐標(biāo)為L1x和 L1y，相對車2質(zhì)心C2的坐標(biāo)為 L2x和L2y。圖b中L2x和L2y前加負(fù)號(hào)，是因?yàn)閳D中B2點(diǎn)在相對坐標(biāo)原點(diǎn)C2的左下方，相對于C2的（x，y）坐標(biāo)均為負(fù)值，這樣做可以使所推導(dǎo)的公式適用于任意情況。

兩車的質(zhì)量分別是m1和m2，兩車?yán)@各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，兩車碰撞前后的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分別為ω10、ω1和ω20、ω2，兩車碰撞前后質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度分別為v10、v1和v20、v2，它們在x、y軸上的投影分別為 v10x、v10y、v1x、v1y和v20x、v20y、v2x、v2y。

兩汽車在B點(diǎn)碰撞時(shí)存在相對滑動(dòng)和彈性恢復(fù)。為使事故分析更加接近交通事故的實(shí)際情況，研究人員可以引入運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)參數(shù)：法向力彈性恢復(fù)系數(shù)和切向力滑動(dòng)摩擦系數(shù)。

法向力彈性恢復(fù)系數(shù)為：

式中：vrn表示碰撞后，在碰撞點(diǎn)處兩車公法線方向的相對速度；vron表示碰撞前，在碰撞點(diǎn)處兩車公法線方向的相對速度。

兩車碰撞為完全彈性碰撞時(shí)，k值取0；兩車碰撞為完全塑性碰撞時(shí)，k值取1；

兩車碰撞為彈塑性碰撞時(shí)，k＝0～1。

切向力滑動(dòng)摩擦系數(shù)為：

式中： Px表示碰撞點(diǎn)處x軸方向的碰撞沖量；Py表示碰撞點(diǎn)處y軸方向的碰撞沖量。

若汽車受撞擊時(shí)受到的x、y軸方向的碰撞沖量符號(hào)相同，則μ取正值；受到的x、y軸方向的碰撞沖量符號(hào)相反，則μ取負(fù)值。

根據(jù)動(dòng)量定理和沖量矩定理，二維碰撞能損失為：

通常車輛在碰撞過程中的接觸并非只有一點(diǎn)，而是以面碰撞為普遍形式。由于車輛構(gòu)造的緣故，碰撞面上各點(diǎn)的剛度并不相同。因而，在碰撞面上由于車輛的法向力不通過碰撞面中心，而形成作用力偶和反作用力偶。

通過對二維面碰撞的研究發(fā)現(xiàn)，二維面碰撞的求解過程完全可用二維點(diǎn)碰撞解決，其碰撞過程中的沖力偶可利用平移碰撞點(diǎn)的辦法達(dá)到同樣效果，這樣就實(shí)現(xiàn)了二維點(diǎn)碰撞在求解車輛碰撞過程中的普遍性。

四、車輛碰撞后

碰撞后階段指汽車碰撞后，從碰撞車體分離直到汽車運(yùn)動(dòng)停止的過程。汽車碰撞前的狀態(tài)和碰撞性質(zhì)直接影響汽車碰撞后的運(yùn)動(dòng)。因此，研究人員分析汽車碰撞后的運(yùn)動(dòng)應(yīng)考慮汽車碰撞前狀態(tài)和碰撞性質(zhì)。

汽車正面相撞時(shí)，由于兩車在同一直線上運(yùn)動(dòng)，碰撞中不產(chǎn)生回轉(zhuǎn)力矩，所以碰撞后兩車的停止位置一般和原先的行駛方向偏離不大，但由于沖量的不同將使沖量小的車從碰撞位置后移。

汽車追尾相撞，由于能量的交換，后車促使前車加速，兩車一起沿原行駛路線向前運(yùn)動(dòng)。側(cè)面沖突中，無論是正交或斜交相撞，都會(huì)使沖突雙方不同程度地偏離原行駛路線，滑移和回轉(zhuǎn)同時(shí)存在。

車輛運(yùn)動(dòng)軌跡取決于碰撞沖量、撞擊部位、車輛結(jié)果及質(zhì)量分布、操縱系狀態(tài)（車輪制動(dòng)情況、轉(zhuǎn)向輪偏轉(zhuǎn)角度）、路面坡度和附著系數(shù)等。由于汽車的損壞僅限于相撞部位，研究人員可按剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析汽車碰撞后運(yùn)動(dòng)軌跡。

根據(jù)汽車碰撞前駕駛員可能采取的措施，汽車碰撞后會(huì)出現(xiàn)以下幾種狀態(tài)：車輪制動(dòng)抱死未轉(zhuǎn)向，車輪制動(dòng)抱死轉(zhuǎn)向，車輪未制動(dòng)未轉(zhuǎn)向，車輪未制動(dòng)轉(zhuǎn)向。

汽車行駛過程中，車輪受到側(cè)向力作用出現(xiàn)側(cè)偏現(xiàn)象，車輪側(cè)偏會(huì)影響汽車行駛方向。車輪所受側(cè)偏力較大時(shí)，車輪與接地區(qū)域發(fā)生部分側(cè)滑。當(dāng)側(cè)向力達(dá)到側(cè)向附著極限時(shí)，整個(gè)車輪側(cè)滑。綜合以上分析，可認(rèn)為汽車碰撞后的運(yùn)動(dòng)受汽車制動(dòng)情況、轉(zhuǎn)向情況以及車輪側(cè)偏特性影響。

汽車碰撞后運(yùn)動(dòng)過程中具體涉及的運(yùn)動(dòng)學(xué)定律包括以下幾方面內(nèi)容：

1.當(dāng)汽車處于制動(dòng)狀態(tài)時(shí)，汽車碰撞后運(yùn)動(dòng)不隨轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角變化，車輪摩擦力的方向與該車輪速度方向相反，摩擦力大小與該車輪負(fù)荷成正比。

2.當(dāng)汽車處于未制動(dòng)狀態(tài)時(shí)，汽車碰撞后運(yùn)動(dòng)過程可分為兩階段。第一階段為汽車的平面滑移運(yùn)動(dòng)階段。碰撞剛結(jié)束時(shí)，當(dāng)車輪平面與車輪滑移速度方向間夾角較大時(shí)，車輪不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，通常只產(chǎn)生滑移運(yùn)動(dòng)，隨著運(yùn)動(dòng)過程的繼續(xù)，該夾角減小。車輪摩擦力方向與車輪平面垂直，摩擦力方向與該車輪滑移速度方向相反。第二階段為汽車的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)階段。在汽車平面滑移運(yùn)動(dòng)階段，當(dāng)車輪平面與其滑移速度方向間夾角減小到一定程度時(shí)，汽車從平面滑移運(yùn)動(dòng)階段過渡到滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)階段。

通過以上分析，筆者希望本文能為研究人員處理交通事故提供一些參考。Normal and Tangential Restitution coefficient[J]．SAE 940564，1994

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ISSN2095-6711/Z01-2016-08-0202

李文睿（1999—），女，遼寧大連人，大連市育明高級中學(xué)高三十一班學(xué)生