趙華，羅家飛

（黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州都勻558000）

泰勒級(jí)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

趙華，羅家飛

（黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州都勻558000）

泰勒級(jí)數(shù)是一個(gè)重要的近似計(jì)算工具，在物理學(xué)相關(guān)計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。本文通過具體的例子，討論了泰勒級(jí)數(shù)近似計(jì)算在物理學(xué)中的應(yīng)用，這對(duì)近似計(jì)算思想以及相關(guān)物理概念的理解有一定的幫助。

泰勒級(jí)數(shù)；物理學(xué)；應(yīng)用

物理學(xué)中大量問題無法精確求解，通過近似可得到重要有價(jià)值的結(jié)論，泰勒級(jí)數(shù)是物理學(xué)中重要近似方法。本文首先介紹泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)，然后給出了泰勒級(jí)數(shù)在力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面簡單應(yīng)用，這有助于了解泰勒級(jí)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用，加深相關(guān)物理概念和結(jié)論的理解。

1　泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)

2　泰勒級(jí)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

2.1單擺周期公式推導(dǎo)

單擺是能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的一種裝置，將質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿或不可伸長的細(xì)柔繩一端懸于重力場(chǎng)內(nèi)一定點(diǎn)，另一端固結(jié)一個(gè)重小球，就構(gòu)成單擺。單擺是物理學(xué)中的一種理想化的模型，實(shí)際的擺如果滿足懸線的伸縮可以忽略不計(jì)，并且懸線的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于擺球的直徑，都可以按照單擺模型處理。

圖1　單擺示意圖Fig.1 Schematic diagram of pendulum

如圖1所示，當(dāng)擺球靜止時(shí)所處的位置稱為平衡位置，即O點(diǎn)位置。在平衡位置處，擺球受到其重力G以及擺線對(duì)球的拉力T，這兩個(gè)力使擺球保持平衡。擺球偏離O點(diǎn)時(shí)，擺球?qū)⑹テ胶?，在重力和懸線拉力的作用下，擺球?qū)⒃谄胶馕恢酶浇鐾鶑?fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)擺球離開平衡位置O點(diǎn)時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓弧。擺球重力G沿著圓弧切線方向的分力，該力使擺球圍繞O點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，擺球的具體運(yùn)動(dòng)規(guī)律用數(shù)學(xué)公式表達(dá)的話比較復(fù)雜，很難直觀地看出其中的規(guī)律。但通常懸線長度很長，因此單擺的擺角通常比較小?？梢詫⒏鶕?jù)泰勒級(jí)數(shù)公式在處展開，即。當(dāng)擺角較小時(shí)，高階項(xiàng)可以忽略不計(jì)。當(dāng)時(shí)，可近似認(rèn)為，所以單擺受到的力，其中的l為擺長，x是擺球偏離平衡位置的位移,負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反，令，上式可寫成。這是典型的簡諧振動(dòng)物體的受力公式，擺球的運(yùn)動(dòng)完全可以用簡諧振動(dòng)規(guī)律來描述。根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)物體的周期公式，很容易得到單擺的周期公式是。

2.2求電偶極子產(chǎn)生電位

電偶極子是相距很小的兩個(gè)等值異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)。如圖2所示，兩個(gè)點(diǎn)電荷電量為q相距為d，為了描述方便，建立球坐標(biāo)系，使電偶極子的中心與坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，并使電偶極子與z軸重合［2］。求該電偶極子產(chǎn)生的電位。

圖2　電偶極子示意圖Fig.2Schematic diagram of electric dipole

2.3量子力學(xué)中的應(yīng)用

再例如，在推導(dǎo)算符的對(duì)易關(guān)系中也有應(yīng)用。

例如給定算符A,B，求證：

這樣利用泰勒級(jí)數(shù)就可以證明這個(gè)公式了，此類公式也是量子力學(xué)中常用到的代數(shù)式。

2.4推導(dǎo)一維晶格第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程

晶格具有周期性，單原子鏈可以看作最簡單的晶格結(jié)構(gòu)，每個(gè)原子的質(zhì)量為m，如圖3所示［3］。在平衡位置時(shí)，相鄰原子的間距為a，也稱為晶格常數(shù)；偏離格點(diǎn)的位移用Un表示，n表示原子鏈中標(biāo)號(hào)為n的原子。

圖3　一維晶格示意圖Fig.3Schematic diagram of one-dimensional lattice

若原子鏈有N個(gè)原子，則有N個(gè)方程。根據(jù)上式方程我們可以得到一維復(fù)式的格波解。

3　結(jié)論

物理學(xué)中大多數(shù)問題都是無法嚴(yán)格求解的，近似處理是物理學(xué)中一個(gè)十分重要的問題。泰勒級(jí)數(shù)展開則是物理學(xué)中重要和常見的一種數(shù)學(xué)近似計(jì)算方法。根據(jù)相關(guān)物理問題的具體條件，可以對(duì)很多物理問題的近似處理，這不僅使問題大大簡化，并且可以得到有效結(jié)論。本文通過幾個(gè)具體的例子，展示了泰勒級(jí)數(shù)近似方法在物理學(xué)中的應(yīng)用，這對(duì)于物理學(xué)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)具有一定參考價(jià)值。

［1］王金金.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2010.

［2］梁燦彬.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］王矜奉.固體物理教程［M］.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2013.

Application of Taylor series in physics

ZHAO Hua,LUO Jia-fei
(Department of Physics and Electronics,Qiannna Normal College for Nationalities,Duyun 558000,China)

Taylor series is an important tool for approximate calculations,which is widely used to handle physical problems. Through concrete examples,we discussed the application of Taylor series for approximate calculations in physics.It is helpful to understand approximate calculation schemes and related physical concepts.

Taylor series;Physics;Application

TG801

A

1674-8646（2016）19-0043-03

2016-08-07

貴州省普通高等學(xué)校創(chuàng)新人才團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（黔教合人才團(tuán)隊(duì)字［2013］29）；貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目（黔科合J字［2012］2311）；貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（黔教合KY字［2013］154）；黔南民族師范學(xué)院院級(jí)科研項(xiàng)目（qnsy2011qn11）

趙華（1982-），男，碩士，副教授。