高 偉

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大擺角耦合擺的運動規(guī)律的數(shù)值分析

高 偉

(平?jīng)鍪械谝恢袑W 甘肅 平?jīng)?744000)

基于并聯(lián)耦合擺理論模型, 利用數(shù)值方法研究了在較大擺角情況下并聯(lián)耦合擺的運動規(guī)律.通過分析該系統(tǒng)在較大擺角時擺球的相軌跡圖像和龐加萊截面圖像，可發(fā)現(xiàn)并聯(lián)耦合擺在較大擺角下的運動是準周期運動，該規(guī)律與擺球質(zhì)量是否相同無關.

耦合擺 相圖 龐加萊截面 準周期運動

1 引言

自然界中普遍存在著相互作用的振動系統(tǒng)，如電學中電容和電感耦合起來的振蕩回路[1]、固體晶格中相鄰原子的振動模式[2]以及光子和聲子耦合場[3]等.相互作用使振動系統(tǒng)呈現(xiàn)豐富的動力學行為.因此，無論從工程領域還是基礎科學領域的研究需要來講，對有相互作用的振動系統(tǒng)的運動規(guī)律進行研究是非常必要的. 耦合擺作為一種通過力的相互作用從而實現(xiàn)振動系統(tǒng)相互作用的裝置，具有結(jié)構(gòu)簡單、演示效果直觀的特點.對于耦合擺運動規(guī)律的研究，通常為了理論研究方便，很多教科書和研究者往往分析了小擺角情況下的運動規(guī)律[1,4,5].結(jié)果表明，在小擺角下，通常并聯(lián)耦合擺的各擺球做周期運動.本文利用數(shù)值方法，研究的是在較大擺角振幅下并聯(lián)耦合擺的運動規(guī)律.

2 并聯(lián)耦合擺運動的動力學模型

本文所研究的并聯(lián)耦合擺模型如圖1所示.兩個擺球分別用擺線拴在點(-x0,0)和點(x0,0)上，擺長相等(均為L且不可伸縮)，擺球之間用輕質(zhì)的彈簧連接(且保持直線狀態(tài))，當它們自然下垂時，彈簧也恰好處于自然長度的狀態(tài).在初始狀態(tài)，設擺球2靜止，對擺球1進行水平一擊，來研究它們其后的動力學行為.

只考慮兩個擺球各自的切向運動，用兩個擺角θ1和θ2描述它們的運動.先寫出約束關系

x1=-x0+Lsinθ1y1=-Lcosθ1

(1)

x2=x0+Lsinθ2y2=-Lcosθ2

(2)

擺球1和擺球2的切向單位矢量分別是

n1=(cosθ1,sinθ1)

(3)

n2=(cosθ2,sinθ2)

(4)

從擺球1指向擺球2的單位矢量(也是彈性力的單位矢量)為

(5)

其中彈簧的瞬時長度

(6)

根據(jù)以上關系，可以求得彈簧對擺球1的切向力為

(7)

彈簧對擺球2的切向力為

(8)

于是，兩個擺球的運動方程為[6]

(9)

3 并聯(lián)耦合擺的準周期運動

式(9)是一個緊密耦合的二階非線性常微分方程，沒有普通的解析解.如果要解析研究式(9)所描述的運動規(guī)律，只有假定兩個擺角θ1和θ2的振幅非常小(一般小于0.08弧度)，這樣可以把式(9)簡化為線性方程組[4,5].利用線性常微分方程的一般解法，比較容易得到兩個擺球各自的運動規(guī)律.但是，如果要研究任意擺角振幅，研究式(9)所描述的運動規(guī)律，必須進行數(shù)值計算.圖2是通過利用四階龍格-庫塔法數(shù)值求解式(9)得到的兩個擺球在運動60 s時間段內(nèi)的相軌跡圖像，其中系統(tǒng)參數(shù)為g=9.8，m1=0.2，m2=0.2，L=1，k=0.5.初始條件：擺球1為{0,1.9}，擺球2為{0,0}.從圖2可以看出，兩個擺球的相軌跡都呈現(xiàn)出明顯的特點：

(1)比較一般的周期運動或者多周期運動的相軌跡，圖2呈現(xiàn)出比較復雜的圖像；

(2)但比較更復雜的混沌運動的相軌線，圖2又表現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，因此我們猜測兩個擺球的運動應該是介于周期運動和混沌運動之間的準周期運動.

圖2 兩個擺球的相軌跡圖

圖3 擺球1在不同情況下的龐加萊截面圖

4 擺球質(zhì)量對并聯(lián)耦合擺運動的影響

前面研究的是在兩個擺球質(zhì)量相同時的情況.接下來，考慮兩個擺球的質(zhì)量如果不同，對耦合擺的運動有什么影響.參數(shù)改為g=9.8，m1=0.1，m2=0.2，L=1，k=0.5，兩個擺球的相軌跡圖和龐加萊截面如圖5～7所示.

從圖5可以看出，如果兩個擺球的質(zhì)量不同，擺球1和擺球2的相軌跡將發(fā)生明顯地改變：(1)兩個擺球的相軌跡都呈現(xiàn)出明顯地左右不對稱性；(2)與圖2不同，兩個小球的相軌跡存在的區(qū)間發(fā)生明顯的差別，比如擺球2的相軌跡縱坐標范圍從以前的[-1.6,1.6]變成[-1.2,1.2]，橫坐標范圍從以前的[-0.5,0.5]變成[-0.4,0.4].這表明，在耦合擺運動中，質(zhì)量大的擺球獲得的機械能反倒小于質(zhì)量小的擺球.從圖6和圖7可以看出，龐加萊截面得到的圖像仍然是閉合的曲線，所以，運動依然是準周期運動.可見，即使兩個擺球質(zhì)量不同，也未能改變并聯(lián)耦合擺總的運動特點.

圖5 兩個擺球質(zhì)量分別為m1=0.1，m2=0.2時的相軌跡圖

圖6 擺球1在質(zhì)量為m1=0.1，m2=0.2時的龐加萊截面圖

圖7 擺球2在質(zhì)量為m1=0.1，m2=0.2時的龐加萊截面圖

5 結(jié)論

本文通過理論推導，得出了并聯(lián)耦合擺的動力學方程.為了對各個擺球的運動特點進行分析，通過利用四階龍格-庫塔數(shù)值積分的方法作出了它的相軌跡圖像和龐加萊截面.從各個擺球運動的相軌跡圖像和龐加萊截面可以看出，在大角度振幅下，并聯(lián)耦合擺兩個擺球的運動是準周期運動.我們還發(fā)現(xiàn)，如果兩個擺球的質(zhì)量不一樣，各個擺球相軌跡會發(fā)生變化，但準周期的運動規(guī)律不會改變.

1 姚盛偉，徐平，Jacques Tabuteau.耦合擺特性模擬及振動耦合現(xiàn)象演示.大學物理，2012，31(4): 28～32

2 黃昆，韓汝琦.固體物理學. 北京：高等教育出版社, 1988

3 鄭力明，王發(fā)強，劉頌豪.光聲互作用模型中的Pancharatnam相位. 物理學報，2009，58(5):2 884～2 887

4 周衍柏.理論力學教程.北京:高等教出版社,2009

5 龔善初.失調(diào)耦合擺振動分析.大學物理,2005,24(8):21～24

6 董鍵.Mathematica與大學物理計算.北京：清華大學出版社,2010

7 劉秉正，彭建華.非線性動力學.北京：高等教育出版社, 2005

8 陸同興，張季謙.非線性物理概論.合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2010

Numerical Analysis on the Motion Law of Coupled Pendulum at Larger Oscillation Angles

Gao Wei

(NO.1 Middle School of Pingliang, Pingliang, Gansu 744000)

Based on the theoretical model about the motion of the coupled pendulum in parallel, the motions of the coupled pendulums in larger swing angles are investigated by using numerical methods. The phase diagrams and the poincare sections of the coupled pendulums are analyzed. The numerical results show that the motions of the coupled pendulums in larger swing angles are quasi-periodic motions.

coupled pendulum; phase diagram; poincare section; quasi-periodic motion

高偉(1981- )，男，中教一級，主要從事中學物理教學及理論物理方面的研究工作.

2016-10-25)