劉玉琴 宋善炎

(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長沙 410081)

物理競賽中使用積分法求解感應(yīng)電動(dòng)勢一二

劉玉琴 宋善炎

(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長沙 410081)

為提升物理競賽中學(xué)生運(yùn)用積分法解決物理問題的能力，以感應(yīng)電動(dòng)勢的求解為例，提出了用積分法解題的一般思路.對(duì)于動(dòng)生電動(dòng)勢，先尋找動(dòng)生電動(dòng)勢微元，再通過對(duì)微元積分求解；對(duì)于感生電動(dòng)勢，在已知感生電場表達(dá)式時(shí)，先求出感生電動(dòng)勢微元，再對(duì)微元積分求解，也可先利用積分求出通過回路的磁通量，再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解.

積分法 動(dòng)生電動(dòng)勢 感生電動(dòng)勢

根據(jù)引起磁通量變化的原因，感應(yīng)電動(dòng)勢有動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢之分.當(dāng)磁場B不隨時(shí)間變化而閉合電路的整體或局部在運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路中存在動(dòng)生電動(dòng)勢，其在數(shù)值上等于非靜電力洛倫茲力移動(dòng)單位正電荷所做的功；當(dāng)磁場B隨時(shí)間變化而閉合電路任一部分都不動(dòng)時(shí)，回路中存在感生電動(dòng)勢，其在數(shù)值上等于非靜電力感生電場力移動(dòng)單位正電荷沿回路一周所做的功.若磁場B隨時(shí)間變化的同時(shí)閉合電路的整體或局部也在磁場中運(yùn)動(dòng)，此時(shí)回路中的電動(dòng)勢為動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的疊加.

對(duì)于感應(yīng)電動(dòng)勢的計(jì)算，高中教材介紹了通過法拉第電磁感應(yīng)定律進(jìn)行求解的方法，求解工具為簡單的初等數(shù)學(xué)知識(shí).而在物理競賽的一些情景中，難以通過初等數(shù)學(xué)工具求解，需要借助高等數(shù)學(xué)中的積分法進(jìn)行求解，下面通過一些例題來說明積分方法的應(yīng)用.

1 動(dòng)生電動(dòng)勢的計(jì)算

在高中階段，動(dòng)生電動(dòng)勢的常用計(jì)算公式E=Blvsinθ，當(dāng)導(dǎo)體上各點(diǎn)的速度不一樣時(shí)，若各點(diǎn)的線速度是均勻變化的，我們可以利用平均速度來求解動(dòng)生電動(dòng)勢，如例1.但對(duì)于非均勻變化的情況，用初等數(shù)學(xué)知識(shí)難以解決，需利用

進(jìn)行求解，如例2和例3.

【例1】如圖1所示的金屬桿AB在垂直于磁場的平面內(nèi)以角速度ω繞O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求A，B間的動(dòng)生電動(dòng)勢[1].

圖1 例1題圖

dε=(v×B)·dl=Bωldl

則

則

圖2 例2題圖

解答：取金屬線圈上一微元dl，其產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為

dε=(v×B)·dl=Bωrdlsinα

其中

r=Rsinαdl=Rdα

則

dε=Bω(Rsinα)sinαRdα=BωR2sin2αdα

故AM上的感應(yīng)電動(dòng)勢為

AC上的感應(yīng)電動(dòng)勢為

此外，在有些問題中桿的運(yùn)動(dòng)方向、桿的軸線方向都和B不垂直，而且桿上各點(diǎn)的速度又不同，此時(shí)用積分的方法求解動(dòng)生電動(dòng)勢會(huì)更簡單，以例3為例進(jìn)行說明.

【例3】如圖3所示的直角坐標(biāo)系中，有一絕緣圓錐體，半錐角為θ，軸線沿z軸方向，頂點(diǎn)在原點(diǎn)處.有一條長為l的細(xì)金屬絲OP固定在圓錐體的側(cè)面上，與圓錐體的同一條母線重合.空間存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場B.試討論當(dāng)圓錐體沿如圖所示方向做角速度為ω的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OP上感應(yīng)電動(dòng)勢的情況[1].

圖3 例3題圖

解答：由右手螺旋定則，容易判斷O點(diǎn)和P點(diǎn)電勢的高低.由于桿上各點(diǎn)的速度各不相同，桿的運(yùn)動(dòng)方向并不總是與B垂直，桿的軸線方向與B不垂直，因此考慮利用積分方法進(jìn)行求解.

當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)x為正時(shí)，P點(diǎn)的電勢都高于O點(diǎn)的電勢；當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)x為負(fù)時(shí)，P點(diǎn)的電勢都低于O點(diǎn)的電勢.

(1)當(dāng)P點(diǎn)的y坐標(biāo)為零，即OP在xOz平面時(shí)，此時(shí)OP上的感應(yīng)電動(dòng)勢最大.

在OP上取一微元dl，其上的動(dòng)生電動(dòng)勢為

dε=(v×B)·dl=ωlsinθBcosθdl

則OP上動(dòng)生電動(dòng)勢的大小為

(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置(圖4)，P點(diǎn)的x和y坐標(biāo)都大于零，QP與x軸的夾角為α?xí)r，在OP上取一微元dl，其上的動(dòng)生電動(dòng)勢為

圖4 情況(2)分析圖

即OP上動(dòng)生電動(dòng)勢的大小為

總之，在使用積分法求解動(dòng)生電動(dòng)勢時(shí)，只要選取導(dǎo)體微元dl，將其對(duì)應(yīng)的動(dòng)生電動(dòng)勢

dε=(v×B)·dl=vBsinθcosαdl

2 感生電動(dòng)勢的計(jì)算

其中eφ為E感方向的單位矢量，與r垂直.

圖5 無限長載流螺線管分析

圖6 例4題圖

在ab上距離O點(diǎn)為r(0≤r≤R)處取一長度微元dl，其感應(yīng)電動(dòng)勢為dε，則

代入相關(guān)數(shù)據(jù)

進(jìn)行積分運(yùn)算，有

【例5】若在例4的基礎(chǔ)上，將導(dǎo)體棒ab延伸到螺線管外，并使得ab=bc=R，如圖7所示，求此時(shí)導(dǎo)體棒ac的感應(yīng)電動(dòng)勢εac[1].

圖7 例5題圖

解答：導(dǎo)體棒ac的ab段處于磁場區(qū)域內(nèi)，bc段處于磁場區(qū)域外，其對(duì)應(yīng)的感生電場的表達(dá)式不同，仍可利用積分的方法分別求出兩段的感生電動(dòng)勢再進(jìn)行求和.由例4知，對(duì)ab段

同理對(duì)bc段，有

其中ds=dlcosα,ds=rdα，則

故

順便提一下，由于E感與r垂直，Oa,Ob,Oc段感應(yīng)電動(dòng)勢為零，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們常常利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路Oab和回路Obc的感應(yīng)電動(dòng)勢從而來求ab和bc段的感生電動(dòng)勢，但養(yǎng)成利用積分思維來解決物理問題的習(xí)慣對(duì)物理競賽學(xué)生順利學(xué)習(xí)力學(xué)電磁學(xué)部分的其他競賽內(nèi)容來講非常重要，而且有利于提升學(xué)生的思維層次及問題解決能力.

【例6】如圖8所示，無線長直導(dǎo)線載有交變電流I=I0sinωt,并與矩形線圈共面，設(shè)t=0時(shí)電流方向向上，試計(jì)算矩形線圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢[3].

圖8 例6題圖

解答：由于矩形線圈不同位置的磁場強(qiáng)度大小不一樣，因此，在計(jì)算矩形線圈的磁通量時(shí)應(yīng)采用積分的方法，再利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢.

在距離導(dǎo)線x處取一面積微元，則磁通量

dΦ=B·dS=Bldx

其中

故矩形線圈的磁通量

由法拉第電磁感應(yīng)定律有

1 張大同.物理競賽教程(高三年級(jí))(第4版).上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.49～52

2 賈啟民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(xué)(第3版).北京：高等教育出版社，2010.279

3 宋善炎.競賽物理.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2013.272

劉玉琴(1992- )，女，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)檎n程與教學(xué)論專業(yè).

指導(dǎo)教師：宋善炎(1964- )，男，博士，教授，研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論.

2016-10-02)