●李美君

(寧海中學 浙江寧海 315600)

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數(shù)學“入題”三維度：直接、間接、轉換
——以2016年浙江省數(shù)學高考理科第19題為例*

●李美君

(寧海中學 浙江寧海 315600)

入題作為解題的源頭，統(tǒng)領解題的整個過程，是培養(yǎng)學生提高分析問題、解決問題能力的重要支撐點．文章通過直接法、間接法和轉換法的研究，明確數(shù)學“入題”的三維度．

入題;直接;間接;轉換

高考中，不少考生對常規(guī)問題的解答可謂得心應手，讓人贊賞不已，但面對新穎的試題，則判若兩人：或游離于問題之外，看不清問題的本質，抓不住問題的關鍵，急促應對；或干脆到此戛然而止，放棄作答．最主要的原因是常規(guī)題入題容易，而新穎題難以進入，難在入題．這里“入題”指的是能根據問題提供的條件、信息、情境、模型等，直接進行解答或通過分析、排斥、探索、推理、轉換等途徑，由表及里，從而達到解決問題的目的．那么如何才能入題呢？筆者認為最常見的方法是：直接法、間接法和轉換法．直接法指的是根據題目的條件直接進行解答；間接法就是通過排除反面情況從而得到問題解答；轉換法就是把命題進行等效轉換，使陌生問題熟悉化，復雜問題簡單化．

筆者結合2016年浙江省數(shù)學高考理科第19題，談談對數(shù)學“入題”三緯度的粗淺看法，僅供參考．

圖1

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

試題以橢圓為載體，主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、圓與橢圓的公共點等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．設計新穎，構思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導思想，凸顯了數(shù)學試題的選拔功能.

試題由常見的圓與橢圓問題巧妙變化，推陳出新，對中學數(shù)學教學如何“擺脫題?！薄瓣P注數(shù)學本質”有著極好的示范效應，全面考查了以思維能力為核心的多種數(shù)學能力，同時兼顧了對數(shù)學知識、思想方法和數(shù)學精神、數(shù)學本質的深入考查，有利于各層次學生數(shù)學才華的施展，并對當前高中數(shù)學的教和學有著很好的導向作用.

從解法來看，第1)小題的解法常規(guī)；第2)小題的直接法、間接法、轉換法也是基本的．但為什么許多考生直呼被難倒了呢？最主要的原因還是無法快速入題．

1 直接入題

1.1 第1)小題的解法

第1)小題試題呈現(xiàn)常態(tài)、背景熟悉、表述無新，直接解答就行．

(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

故

圖2

解法2 如圖2，設橢圓上任一點P(acosθ,sinθ)，則

(1)

由式(1)知

sin2θ=(kacosθ+1)2=1-cos2θ，

得

k2a2cos2θ+2kacosθ+1=1-cos2θ,

即

-(a2k2+1)cos2θ=2kacosθ.

由題意cosθ≠0，于是

評析 直接法是解答數(shù)學題最基本的方法，從題目的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或解決所求的問題．求線段長不管用弦長公式還是兩點間距離公式都是常規(guī)方法，對常規(guī)的或者熟知的問題直接入題即可，因此第1)小題絕大多數(shù)考生都可以輕松解答．

1.2 第2)小題的解法

當r=2時，圓方程為

x2+(y-1)2=4,

(1-a2)y2-2y+a2-3=0.

(2)

則

Δ=4-4(1-a2)(1+a2-r2).

令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

所以f(y)=0的2個根介于-1,1之間，即圓與橢圓有4個交點．

所以f(y)=0在區(qū)間[-1,1]上無解，即圓與橢圓無交點．

(3)

若存在不合題意的4個交點情況，則方程(3)在(1-r,1+r)∩(-1,1)=(-1,1)上有2個不同的解．

評析 雖然此題可用直接法解題，但分類討論繁瑣，過程復雜，對分類討論能力、解題計算能力要求極高，因此多數(shù)考生很難得到滿分．這時如果采用其他方法解題，往往可以事半功倍．

2 間接入題

(4)

則方程(4)在(1-r,1+r)∩(-1,1)上有2個不同的解．令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

①若1-r>-1,即r<2，此時

因此f(y)=0在(1-r,1)上有且只有1個解，不合要求，舍去．

②若1-r=-1，即r=2，此時y=-1為方程根，故以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個交點，不合要求，舍去．

由Δ>0，得

a4-a2r2+r2>0，

即

在(4,+∞)上單調遞減，得a2<2，與a2>2矛盾，舍去．

綜上可知，當a2>2時，以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓存在4個交點．

解法4 假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有2個不同的點P,Q，滿足|AP|=|AQ|.

設直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，且k1>0,k2>0,k1≠k2.由第1)小題知

故

由k1≠k2,k1>0,k2>0，得

(5)

因為式(5)關于k1,k2有解的充要條件是

1+a2(a2-2)>1,

所以

評析 間接法就是問題的正面情況較多或者正面著手很困難，而反面情況不多或者較易入題時，就正難則反，用間接法進入,可使問題容易得到解決，也使得解題思路明朗，有利于培養(yǎng)學生的思維能力、解題能力和語言表達能力．

3 轉換入題

解法5 假設圓與橢圓的公共點有4個交點，則|AP|=|AQ|，即在橢圓的單側存在一個等腰三角形．

設P(x1,y1)，Q(x2,y2),PQ的中點M(x0,y0),則

從而(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,

于是

由x0≠0，得

(6)

即

a2>2,

亦即

解法6 設P為橢圓上任意一點，由第1)小題知

其中t∈(1,+∞).

解法7 取橢圓上點P(x,y)，則

x2+a2y2=a2，

從而 |AP|2=x2+(y-1)2=(1-a2)y2-2y+a2+1=

即

評析 在數(shù)學中，有些問題直接求解較難，若進行巧妙地等效轉換，再去求解，就會使問題變得簡單．本題圓與橢圓的交點問題可以轉換為橢圓單側是否存在等腰三角形或弦長在橢圓單側具有單調性問題．轉換法是一種重要的解題方法，通過轉換，可以使復雜問題簡單化，一般問題特殊化，抽象問題具體化，從而達到化繁為簡、化難為易的目的．

入題作為解題之始，思維之初，對解題至關重要．快速入題，解題就成功了大半．直接法是最基本的方法，思維自然，但有時過程復雜、運算繁瑣，容易出錯．正面情況較多或正面入手困難時，用間接法往往有意想不到的效果．轉換法對于思維要求高，有時難以進行等效轉換，但若轉換成功，往往能柳暗花明又一村．因此，加強對入題的教學，加深對入題方法的探索、思考，已成為構建如何有效解題的必由之路．

[1] 李美君．2015年浙江省高考理科卷第18題解析[J]．數(shù)學通訊，2015(9)：58-60．

?2016-06-23；

2016-07-28

李美君(1976-)，女，浙江寧海人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-33-05