●莊遷福

(溫州第二高級中學(xué) 浙江溫州 325000)

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多視角 真本質(zhì)
——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題解讀*

●莊遷福

(溫州第二高級中學(xué) 浙江溫州 325000)

高考“考什么，怎么考”直接影響了教學(xué)中“教什么，怎么教”.文章以2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題為例，探尋出題者的意圖，分析考生答題情況，多視角探究解三角形常見的解法，繪制成解三角的思維網(wǎng)圖，多方位關(guān)注學(xué)生的發(fā)展.

解三角形；視角；邊角轉(zhuǎn)化；齊次式

解三角形是高考的重要考點(diǎn)之一，也是連接平面圖形與代數(shù)運(yùn)算的一個(gè)紐帶.近幾年，浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科多以解答題的形式出題，主要考查三角形邊角轉(zhuǎn)換與三角化簡等知識與方法，難度不大，是考生必爭之分，怎樣做得好對考生意義重大[1]．

題目 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a,b,c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

命題組給出的參考答案如下：

1)證法1 由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB，

從而 sinB+sinC= sinB+sin(A+B)=

sinB+sinAcosB+cosAsinB，

于是

sinB=sin(A-B),

因此，A=π(舍去)或A=2B，故A=2B.

得

sinC=cosB.

又B,C∈(0,π)，于是

解得

1 命題思路探尋

本題緊扣高考大綱要求：能夠應(yīng)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的轉(zhuǎn)化.本題敘述簡潔明了，條件中邊角關(guān)系式樸實(shí)，讓考生能很快上手，考查了借助定理轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系、三角誘導(dǎo)公式與三角兩角和差公式的應(yīng)用.第1)小題以證明題的形式給出，注重推理能力的應(yīng)用；第2)小題結(jié)合三角形面積，用角或邊關(guān)系求角的值，化簡過程中讓考生充分感悟三角解題技巧的靈活性.

2 考生答題反饋

本題答題總體良好，表達(dá)基本規(guī)范，較多的學(xué)生運(yùn)用解法1和證法1完成，反饋出考生解三角形的基本功扎實(shí).第1)小題，學(xué)生思路明確，多以化邊為角的方法完成，有的學(xué)生錯(cuò)用sinC=-sin(A+B)，也能根據(jù)結(jié)論進(jìn)行檢查修正；第2)小題，有些學(xué)生化簡思路不明確，纏繞其中，越化越復(fù)雜，無法完成，有些學(xué)生三角轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)漏解情況.3 巧妙解題方法

解三角形以邊角轉(zhuǎn)換的靈活多變?yōu)樘卣?，解題過程中常遇見學(xué)生方法單一，一遇到困難就無法完成的情況，需多視角去探尋邊角關(guān)系，以三角形可解所需條件分析為本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，不懼繁瑣.

3.1 第1)小題的解題視角

視角1 角的變形

證法2 由已知得sinB+sinC=2sinAcosB，

右邊2sinAcosB可拆解為

2sinAcosB= sin(A+B)+sin(A-B)=

sinC+sin(A-B),

從而

sinB=sin(A-B).

證法3 由已知得sinB+sinC=2sinAcosB，也可先尋找B,C之間的關(guān)系

sinB+sinC= 2sinAcosB=2sin(B+C)cosB=

2sinBcosBcosC+2cos2BsinC=

sin2BcosC+cos2BsinC+sinC=

sin(2B+C)+sinC,

從而

sinB=sin(2B+C).

因?yàn)锽≠2B+C，所以

B+2B+C=π，

故

A=2B.

點(diǎn)評 證法2巧妙運(yùn)用了2A=(A+B)+(A-B)，2B=(A+B)-(A-B)，這也是三角恒等變形中拆角的一種方法.證法3利用三角形中A+B+C=π之間的關(guān)系，成功將B與C的關(guān)系轉(zhuǎn)化為A與B之間的關(guān)系.

視角2 角的構(gòu)造

從而

sin2B=sinA，

于是

A=2B.

從而

cos2B=cosA，

解得

A=2B.

點(diǎn)評 上述2種證法從結(jié)論出發(fā)，用分析法得到sin2B=sinA或cos2B=cosA，再從邊角關(guān)系進(jìn)行構(gòu)造.

視角3 線的添加

證法6 如圖1，過點(diǎn)C作CO⊥AB于點(diǎn)O，延長BA使得OD=OB，聯(lián)結(jié)CD，易知CO是BD的中垂線，則∠B=∠D.又BO=acosB，從而

BD=2acosB.

對于b+c=2acosB，結(jié)合圖形可知

AC+BA=BD=BA+AD，

從而

AC=AD，

于是

∠ACD=∠CDA,

因此∠CAB=∠ACD+∠CDA=2∠CDA=2∠B，

故

A=2B.

圖1 圖2

從而

由角平分線定理可知，AF是角A的平分線，則∠CAF=∠FAB, ∠CAB=∠CAF+∠FAB=2∠B,故

A=2B.

點(diǎn)評 證法6將b+c=2acosB關(guān)系轉(zhuǎn)化為折線段的關(guān)系，將代數(shù)式以直觀的圖像呈現(xiàn)，使邊角關(guān)系更加清晰.證法7由A=2B聯(lián)想到角平行線，將圖形中角度關(guān)系用代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的運(yùn)用.

3.2 第2)小題的解題視角

視角1 方程思想的運(yùn)用

a2=2bcsinA.

將所有的邊轉(zhuǎn)化角A的關(guān)系，即

化簡得

從而

sinA=2sinBsinC,

再化簡成角A的關(guān)系式，即

sinA= 2sinBsin(A+B)=

sin2BsinA+2sin2BcosA=

sin2A-cos2A+cosA,

從而

(sinA-cosA)(sinA+cosA-1)=0，

即

解得

點(diǎn)評 上述2種解法都是將等式化簡為關(guān)于角A的一個(gè)方程式或一個(gè)等式，從而求得自變量，顯得更加自然，當(dāng)然也可以其他角表示.解法2有助于sinC=cosB三角關(guān)系的理解，解法3避免了解法1中出現(xiàn)漏解的情況.

視角2 齊次式的計(jì)算

sinA+2sinAcosA-1,

下同解法3.

解法5 在解法1中利用cosB=sinC進(jìn)行化簡，也可用sinC=sin3B和sin3B=3cos2BsinB-sin3B進(jìn)行化簡，再通過齊次式轉(zhuǎn)為正切計(jì)算，即

點(diǎn)評 三角形的余弦定理本身就是關(guān)于邊長a,b,c的一個(gè)齊次式，是轉(zhuǎn)為函數(shù)、方程或不等式求值或最值常用的橋梁之一.將“1”變形為“1=sin2A+cos2A”是三角計(jì)算常用的一個(gè)技巧.

視角3 同角的計(jì)算

(t2-1)(t2+2t-1)=0，

點(diǎn)評 本題中的三角可以確定角度，可構(gòu)成一組相似的三角形，邊長的比值可以確定.

4 教學(xué)思考啟示

教學(xué)中應(yīng)處理好學(xué)生“學(xué)什么，教師教什么，考試考什么”這3者的關(guān)系，教學(xué)過程中圍繞著知識點(diǎn)，通過數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，既發(fā)展了學(xué)生的思維，又不失數(shù)學(xué)的工具性，增加應(yīng)用意識.因此，要讓學(xué)生參與到解題的探究過程中來，注重雙基，積累歸納，感悟提升.

4.1 注重雙基，形成網(wǎng)絡(luò)

解三角所覆蓋的知識點(diǎn)很多，所涉及的公式定理也很多，可以使知識點(diǎn)連成線，形成“三角化簡一條線，邊角轉(zhuǎn)化一條線，向量具體一條線，基本不等式結(jié)合一條線”等，再由線構(gòu)網(wǎng)[2]，讓學(xué)生在解題過程中可進(jìn)可退，提高信心與成功率.

4.2 積累歸納，畫龍點(diǎn)睛

解三角常見的問題有2個(gè)：一是計(jì)算過程出錯(cuò)，需要學(xué)生積累易錯(cuò)點(diǎn)，比如三角化簡的符號出錯(cuò)，錯(cuò)用cosA=cos(B+C)，不具備正弦定理轉(zhuǎn)化條件，如將a2=b+c轉(zhuǎn)化為sin2A=sinB+sinC；二是方法使用不當(dāng)、化簡不出或者沒有思路，需要學(xué)生對解題進(jìn)行歸納，例如已知角A與邊a，求b+c范圍的問題，學(xué)生常用余弦定理結(jié)合基本不等式的思路完成，只求一半的范圍，實(shí)需再考慮b+c>a，同時(shí)引進(jìn)將邊化為角的方法，用正弦定理轉(zhuǎn)為角B或C的函數(shù)求范圍，教學(xué)中可歸納為一組對邊對角類型.

4.3 感悟提升，靈活轉(zhuǎn)化

解題教學(xué)中，應(yīng)該重視學(xué)生的感悟，在完成某一種方法的時(shí)候，既要總結(jié)、談感受、點(diǎn)評，又要鼓勵(lì)學(xué)生去變式、去多解、去特殊到一般，達(dá)到“解一題,會一類”的目標(biāo)，將演繹推理與數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于解題的每一環(huán)節(jié).

[1] 楊建三．理解基礎(chǔ)知識 掌握基本方法 運(yùn)用解題策略——2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第18題解讀[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(8)：20-21.

[2] 蔡明．2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題解讀[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(8)：12-13.

?2016-06-16；

2016-07-20

莊遷福(1986-)，男，浙江溫州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O124.1

A

1003-6407(2016)11-37-04