●李 歆

(武功縣教育局教研室 陜西武功 712200)

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一道預(yù)賽試題的簡(jiǎn)證及推廣*

●李 歆

(武功縣教育局教研室 陜西武功 712200)

用均值不等式和柯西不等式聯(lián)合證明競(jìng)賽不等式，既能便于學(xué)生理解，又能體現(xiàn)這2個(gè)重要不等式的綜合應(yīng)用價(jià)值.

預(yù)賽題；不等式；推廣

例1 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1.對(duì)任意n≥2,證明:

(1)

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽第二試第5題)

文獻(xiàn)[1]利用切比雪夫不等式和冪平均不等式給出了一種證明,但多數(shù)學(xué)生對(duì)切比雪夫不等式和冪平均不等式比較陌生,因此對(duì)此證法難以理解.筆者利用一般學(xué)生都熟悉的均值不等式和柯西不等式給出一種簡(jiǎn)單的證明,同時(shí)將這道預(yù)賽試題加以推廣.

證明 不等式(1)等價(jià)于

(2)

由n元均值不等式,得

則不等式(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

由柯西不等式,得

(4)

式(4)等價(jià)于n(a+b+c)2≥3(n-1)(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

(5)

由

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

可知式(5)成立,進(jìn)而式(4)、式(3)、式(2)成立,從而不等式(1)成立.

推廣1 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1.對(duì)任意n≥2,λ>0,證明:

(6)

證明 不等式(6)等價(jià)于

(7)

由n元均值不等式,得

則不等式(7)可轉(zhuǎn)化為

(8)

由柯西不等式,得

則不等式(8)可轉(zhuǎn)化為

(9)

式(9)等價(jià)于n(a+b+c)2≥3(n-1)(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

(10)

由

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

可知式(10)成立,進(jìn)而可知式(9)、式(8)、式(7)成立,從而不等式(6)成立.

推廣2 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1.對(duì)任意n≥2,λ≥0,證明:

(11)

證明 不等式(11)等價(jià)于

(12)

由n元均值不等式,得

則不等式(12)可轉(zhuǎn)化為

(13)

由柯西不等式,得

則不等式(13)可轉(zhuǎn)化為

(14)

式(14)等價(jià)于n(2+λ)(a+b+c)2≥3(n-1)(2+λ)(a+b+c)+6(ab+bc+ca)+3λ(a+b+c).

(15)

由

(n-1)(2+λ)(a+b+c)2≥3(n-1)(2+λ)(a+b+c),

2(a+b+c)2≥6(ab+bc+ca),λ(a+b+c)2≥3λ(a+b+c),

可知式(15)成立,進(jìn)而可知式(14)、式(13)、式(12)成立,從而不等式(11)成立.

類(lèi)似可以證明:

推廣3 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1.對(duì)任意n≥2,λ1>0,λ2≥0,證明:

[1] 陜西省數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì).2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題及參考答案[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2016(5):58.

?2016-07-20；

2016-09-12

李 歆(1962-)，男，陜西武功人，陜西省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)11-48-03