●洪劍林

(潮安區(qū)教育局教研室 廣東潮州 515600)

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貌離神合 同源切線
——全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷文、理科第20題評(píng)析與思考*

●洪劍林

(潮安區(qū)教育局教研室 廣東潮州 515600)

文章分別對(duì)2016年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)文、理科第20題進(jìn)行評(píng)析、探源、推廣.2道試題貌離神合、同源于圓錐曲線的切線問(wèn)題，并思考數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性,如何構(gòu)建知識(shí)體系與形成思想方法體系.

全國(guó)卷;高考題;評(píng)析;教學(xué);類比探究

1 理科試題評(píng)析

1.1 試題

例1 如圖1,設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交⊙A于點(diǎn)C,D,過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

1)證明：|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)B且與l垂直的直線與⊙A交于點(diǎn)P,Q,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科I卷第20題)

1.2 解法

1)證明 ⊙A的方程為

(x+1)2+y2=16,

圓心A(-1,0),半徑AC=AD=4,從而

∠ACB=∠ADB.

由已知得BE∥AC,從而

∠ACB=∠EBD,

進(jìn)而

∠ADB=∠EBD,

得

EB=ED,

故

|EA|+|EB|=|AD|=4.

評(píng)注 從問(wèn)題設(shè)置分2步來(lái)看,思路單一但起點(diǎn)低,命題人應(yīng)是有意放低門(mén)檻,帶有提示之意,也可以避免走彎路.

圖1 圖2

2)解法1 如圖2，設(shè)直線l的方程為

x=my+1,

(3m2+4)y2+6my-9=0,

從而

直線PQ的方程為

y=-m(x-1),

且P(x3,y3),Q(x4,y4),由

得

(m2+1)x2+(2-2m2)x+m2-15=0,

從而

四邊形MPNQ的面積為

又m2≥0,得

即

從而

評(píng)注 本解法中直線方程不采用斜截式,避免斜率是否存在的討論,而且直線l的方程為x=my+1與直線PQ的方程為y=-m(x-1)，這2個(gè)方程式使弦長(zhǎng)公式的計(jì)算簡(jiǎn)潔得多.

解法2 設(shè)BN的傾斜角為α(其中0<α<π),而|NA|+|NB|=4,|AB|=2,在△NAB中,由余弦定理得|NA|2=|NB|2+|AB|2-2|NB|·|AB|cos(π-α),從而 (4-|NB|)2=|NB|2+4+4|NB|cosα,

得

同理可得

于是

直線PQ的方程為

y=k(x-1),

即

kx-y-k=0,

故圓心A(-1,0)到弦PQ的距離為

四邊形MPNQ的面積為

由0≤cos2α<1,得

評(píng)注 本解法利用焦距與二焦半徑圍成的△NAB,結(jié)合余弦定理求得焦半徑NB、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)MN,在圓中利用半徑與弦特有的直角三角形,求得弦長(zhǎng),進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的有界求取值范圍,取得范圍的求解較解法1簡(jiǎn)單、快捷.

(3+sin2α)t2+6t·cosα-9=0.

設(shè)方程的2個(gè)解為t1,t2,則

由參數(shù)t的幾何意義得

|MN|= |t1-t2|=

即

代入圓方程x2+y2+2x-15=0得

t2-4tsinα-12=0.

設(shè)方程的2個(gè)解為t3,t4,則

t3+t4=4sinα,t3t4=-12,

由參數(shù)t的幾何意義得

下同解法2.

評(píng)注 解法3運(yùn)用直線的參數(shù)方程,利用參數(shù)t的幾何意義直接求解,運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔、明了.

1.3 探源與點(diǎn)評(píng)

圖3

如圖3，試題中記BD的中點(diǎn)為K,結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)易得EK為橢圓上點(diǎn)E處的切線.顯然該題利用橢圓上任一點(diǎn)切線的幾何作法逆向而命制.

本題解答從幾何證明入手,考查邏輯推理能力,凸顯解析幾何的學(xué)科本質(zhì).解析幾何首先是幾何,“代數(shù)”只是我們解決幾何問(wèn)題時(shí)用到的工具.第2)小題以直線與圓、直線與橢圓為背景,與幾何圖形面積的最值相結(jié)合,考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的掌握,也與函數(shù)、方程、不等式等主干知識(shí)鏈接.近年來(lái)全國(guó)卷試題中求四邊形面積取值范圍的很多.

試題給考生平易近人之感,但卻有很好的區(qū)分度,梯度明顯,需要考生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力,通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)并不能贏得高分.

2 文科試題評(píng)析

2.1 試題

例2 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(其中t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：y2=2px(其中p>0)于點(diǎn)P,且點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,聯(lián)結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

2)除點(diǎn)H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考文科I卷試題第20題)

2.2 解法

即

2)直線MH與拋物線C除H外沒(méi)有其他公共點(diǎn).理由如下:

解法1 (判別式法)由第1)小題知直線MH的斜率為

代入拋物線方程y2=2px得

y2-4ty+4t2=0,

從而Δ=0,方程只有1個(gè)解,故直線MH與C只有1個(gè)公共點(diǎn),除H外沒(méi)有其他公共點(diǎn).

解法2 (導(dǎo)數(shù)法)由第1)小題知直線HM的斜率為

在x軸上方拋物線弧方程為

求導(dǎo)得

故拋物線在點(diǎn)H處的切線斜率為

可知直線HM恰好是拋物線的切線.故判斷成立.

2.3 探源與點(diǎn)評(píng)

該題利用阿基米德三角形的這個(gè)性質(zhì)命制,而且將直線特殊為過(guò)原點(diǎn),使求解代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單得多.阿基米德三角形有很多有趣的性質(zhì),近年來(lái)全國(guó)各地高考解析幾何題以阿基米德三角形為背景命制的很多.

該題背景經(jīng)典、意境深廣,設(shè)計(jì)平凡又簡(jiǎn)潔,解法常規(guī)而多樣,全面考查解析幾何的基本思想與方法,常規(guī)中考能力,平實(shí)中考思維,是文科考生熟悉的題型.同時(shí),也是一道值得研究的好題,深入思考,內(nèi)涵豐富,提供了一種求作圓錐曲線切線的幾何方法.

圖4 圖5

3 聯(lián)想探究,獲得新知

3.1 類比探究理科題

由理科題目出發(fā),把點(diǎn)B移到⊙A外部,同理可得：

問(wèn)題1 如圖5,已知⊙A及圓外一點(diǎn)B,直線l過(guò)點(diǎn)B且與直線AB不重合,l交⊙A于點(diǎn)C,D,過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的軌跡是以AB的中點(diǎn)為中心、A，B為焦點(diǎn)、以⊙A的半徑為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的一支(除去與直線AB的交點(diǎn)).

問(wèn)題2 在問(wèn)題1的條件下,記BD的中點(diǎn)為K,易得直線EK為雙曲線上點(diǎn)E的切線.

3.2 類比探究文科題

由文科題目出發(fā),我們可以利用y軸或頂點(diǎn)的切線,輕松地作出拋物線上任一點(diǎn)的切線,并將其推廣到圓、橢圓和雙曲線[2].

定理1 如圖6,已知O是拋物線C：y2=2px(其中p>0)的頂點(diǎn),過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q.記OQ的中點(diǎn)為M,則PM是拋物線上點(diǎn)P的切線.

注 定理1的證明與例2基本一致,在此不再贅述.根據(jù)定理1,可以作拋物線上不同于點(diǎn)O的任一點(diǎn)P的切線,而點(diǎn)O處的切線是y軸,這樣我們利用y軸可以作拋物線上任一點(diǎn)的切線.

圖6 圖7

即

解得

即

命題得證.

注 由圖7可知,點(diǎn)E為AK的中點(diǎn),點(diǎn)L為BM的中點(diǎn),而且點(diǎn)E,AP的中點(diǎn)與橢圓中心3個(gè)點(diǎn)共線.根據(jù)定理2,利用y軸可以作橢圓上不是頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P的切線,左、右頂點(diǎn)處切線平行于y軸,上、下頂點(diǎn)處切線垂直于y軸,這樣我們利用y軸可以作橢圓上任一點(diǎn)的切線.圓可由橢圓變換得到,顯然此定理在圓上成立.

圖8

注 定理3的證明方法與定理2相似,此處不再說(shuō)明.由圖8可知,點(diǎn)E為AK的中點(diǎn),點(diǎn)L為BM的中點(diǎn),而且點(diǎn)L、BP的中點(diǎn)與雙曲線中心3個(gè)點(diǎn)共線.根據(jù)定理3,利用y軸可以作雙曲線上任一點(diǎn)P的切線.

4 教學(xué)思考

題海茫茫,教材是岸.學(xué)生接觸最早、最多的是教材,不管是高一、高二的教學(xué),還是高三的備考復(fù)習(xí)教學(xué),教師都應(yīng)當(dāng)重視教材的示范作用.教材應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系的主陣地、形成數(shù)學(xué)思想方法體系的主陣地,從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.1 如何構(gòu)建知識(shí)體系

重視基礎(chǔ),回歸課本,縱橫整合課本,突出數(shù)學(xué)基本概念和基本原理的教學(xué),有效構(gòu)建知識(shí)體系.在學(xué)生按照教材內(nèi)容順序掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上,指導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本進(jìn)行專題整理、深挖與研究.

學(xué)生在課本范圍內(nèi)開(kāi)展研究,高三復(fù)習(xí)可擴(kuò)大范圍到近年高考題,可操作性強(qiáng),效果好.通過(guò)不同內(nèi)容的聯(lián)系,強(qiáng)調(diào)對(duì)命題推廣、特殊化、類比等,學(xué)生數(shù)學(xué)地思考、研究課本,形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系.

4.2 如何形成數(shù)學(xué)思想方法體系

突出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué),注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.函數(shù)與曲線是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一對(duì)孿生姐妹,解析幾何用的是代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.如圓錐曲線在純幾何研究的基礎(chǔ)上,要求學(xué)生感受、形成“數(shù)形結(jié)合”的基本思想,更要明確“坐標(biāo)方法”下有那些工具[3]：

1)用代數(shù)方法研究直線、圓錐曲線:用數(shù)、代數(shù)式、方程表出點(diǎn)、距離、直線、圓錐曲線,用數(shù)及其運(yùn)算為工具進(jìn)行討論,把結(jié)果給予幾何解釋使問(wèn)題得以解決.

2)用向量來(lái)研究幾何:用向量表示出問(wèn)題中的點(diǎn)、線,用向量及其運(yùn)算為工具,進(jìn)行向量計(jì)算而得到結(jié)果,把結(jié)果給予幾何解釋使問(wèn)題得以解決.

3)用微分方法研究平面曲線:函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線,導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率,用導(dǎo)數(shù)為工具,用分析法研究曲線.

4)用三角函數(shù)解三角形.

多種方法就有了多種選擇,也就可以多角度地開(kāi)展研究,開(kāi)闊了思維空間.“代數(shù)方法研究圓錐曲線”是最熟悉的,應(yīng)當(dāng)常常思考“能否用向量法研究圓錐曲線”“能否用綜合法研究圓錐曲線”……以上4個(gè)工具在前面的研究中都有用武之地.利用不同內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,使之呈現(xiàn)異曲同工之妙,從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的整體認(rèn)識(shí).

[1] 姚漢兵,王懷明.立足課本,在制高點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究：上半月,2013(11):22-24.

[2] 張翼飛.圓的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究：上半月,2012(2):26.

[3] 中學(xué)數(shù)學(xué)室.高中數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社,2007.

?2016-06-15；

2016-07-15

洪劍林(1976-),男,廣東潮州人,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-20-05