☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學 季小明
不走尋常路不一樣的精彩——例談避免分類討論的解題策略
☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學季小明
分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法,對于其中有些問題,因為分類討論論述較長,討論過程往往十分煩瑣,而且容易討論不完整造成解題失誤.但如果我們把學習數(shù)學注入“生命”的靈動,注意克服思維定勢,力求簡化分類討論甚至避免分類討論,以求解法的簡捷,從而提高解題速度和解題的準確性.因此,我們提倡在熟悉和掌握分類討論思想的同時,要注意如何避免討論,本文從幾個方面論述,避免討論的對策,以供參考.
在解答有些題目時,若把x看作主元就必須分類討論,則不妨換個視角,更換主元,結(jié)果可能會大不一樣,取得較好的效果.
例1已知x為非零實數(shù),且x2-2ax≥0對任意的a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
分析:常規(guī)方法是把x看作主元進行分類討論,則比較復雜,此時不妨換個視角,更換主元,把a當作主元,則結(jié)果大不一樣.
解:我們視x2-2ax為關(guān)于a的函數(shù),記f(a)=x2-2ax= -2x·a+x2,則對任意的a∈[-1,1],關(guān)于a的一次函數(shù)f(a)=x2-2ax=-2x·a+x2的函數(shù)值總大于等于零的充要條件是解得x≤-2或x≥2.
因此,實數(shù)x的取值范圍為x≤-2或x≥2.
點評:此題中,直接視為a的函數(shù),簡單便捷,避免了討論.
利用數(shù)形結(jié)合的思想,由函數(shù)圖像的幾何直觀性往往可以避免分類討論.
例2若關(guān)于x的不等式|x-1|≤ax(a≠0)的解集為閉區(qū)間[m,n],其中m<n,求實數(shù)m,n∈R的取值范圍.
分析:對于此絕對值不等式,常規(guī)方法是去絕對值,按x≥1和x<1討論,在每一類中解不等式時又要對a進行討論,過程極其復雜.利用數(shù)形結(jié)合的思想,由函數(shù)圖像的幾何直觀性則可以避免分類討論,且過程簡捷.
解:分別作出函數(shù)y=|x-1|和y=ax(a≠0)的圖像,如圖1所示.
由圖像可知,解集為閉區(qū)間[m,n],當且僅當0<a<1.
因此,實數(shù)a的取值范圍為0<a<1.
圖1
點評:通過轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的圖像,只需觀察圖像,平移圖像,即可直觀得到正確結(jié)果.
在解答有些題目時,若結(jié)合函數(shù)圖像的對稱特點可以避免分類討論.
例3已知f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[0,1]上遞增,若f(1+m)<f(2m),求m的取值范圍.
分析:常規(guī)方法是根據(jù)函數(shù)的定義域,1+m,2m∈[-1,1],但是1+m和2m在[-1,0],[0,1]的哪個區(qū)間內(nèi),于是就分類討論,這樣非常復雜.如果注意到偶函數(shù)圖像的對稱性,則可知道偶函數(shù)滿足f(x)=f(-x)=f(|x|),從而可以避免分類討論.
解:由于f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),則由其圖像的對稱性可知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)=f(|x|),從而不等式f(1+m)<f(2m)可轉(zhuǎn)化為f(|1+m|)<f(|2m|).又因為f(x)在[0,1]上遞增,則有解得-
點評:只要我們在解題中注意克服思維定勢,處理好“分”與“合”、“局部”與“整體”之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系,充分挖掘求解函數(shù)問題中潛在的特殊性與簡單性,往往就能夠避免分類討論,這也是分類討論的思想方法中數(shù)學思維品質(zhì)的最高層次.
分離參數(shù)是高中數(shù)學解題中的重要數(shù)學方法,利用分離參數(shù)往往能夠避免分類討論,從而使得解題簡便,并且提高正確率.
解析:原問題等價于x2+2ax+a>0在x≥1時恒成立,即,所以只需a>即可.
例5設(shè)f(x)是R上的減函數(shù),且不等式f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)對于x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解析:原不等式等價于a2-sinx≥a+1+cos2x對x∈R恒成立,即a2-a≥1+sin+cos2x,令g(x)=1+sinx+cos2x=
點評:上述兩例通過分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求最值,避免了對二次函數(shù)單調(diào)性的討論.
當所給出的問題直接解決比較復雜,所討論的方面較多時,就可以考慮從它的反面,即對立面考慮,最后再取補集.
例6給出兩個命題,命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?;命題乙:函數(shù)f(x)=(2a2-a)x為增函數(shù).若甲、乙至少有一個是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
命題乙為真命題時,2a2-a>1?a>1或a<
因為甲、乙至少有一個是真命題,其反面為:甲、乙都是假命題.所以當甲、乙都是假命題時,故甲、乙至少有一個是真命題時a的范圍為a>
點評:有些題目正面分類情況較多,而其反面卻只有一種情況,這時可從反面入手,避免討論.
整體思想是指在宏觀上把握問題的實質(zhì),不要過分在一些細節(jié)問題上糾纏不清,要注意各條件之間的聯(lián)系,思考問題時要有大局觀點.采用整體思想解題常常會收到意想不到的效果.
1.采用整體換元避免分類討論
分析:常用的方法是分類討論,解題過程冗長.據(jù)題設(shè)條件,不妨把z+看作一個整體,則可避免討論,大大簡化解題過程.
綜上所述,知z=1±3i,z=3±i.
點評:通過整體換元,尋覓到解題捷徑,優(yōu)化了解題過程,去除了分類討論,讓人拍手叫絕.
2.采用整體變形避免分類討論