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        從一次錯誤解題談問題解決的普適性

        2016-11-25 08:25:04浙江省上虞中學王立東
        中學數(shù)學雜志 2016年5期
        關(guān)鍵詞:圖解法最值數(shù)形

        ☉浙江省上虞中學 王立東

        從一次錯誤解題談問題解決的普適性

        ☉浙江省上虞中學王立東

        眾所周知,數(shù)學問題對學生而言能夠記憶最為深刻的是發(fā)生在學生身上的錯誤.常常有畢業(yè)的學生這樣與筆者交流:以前老師給我講的這個錯誤的問題,我記的很牢,一直沒有再犯.從魏書生教育故事中也這樣描述過:“學生因為數(shù)學問題錯誤的分析,研究出了一系列相關(guān)的結(jié)論和成果.”在這個教育故事中,筆者認識到了從錯誤解題發(fā)現(xiàn)閃光點所在的一系列錯題教學設(shè)計方式方法,第一是研究學生錯解原因,分析學生問題錯因的普遍性所在;第二是教學設(shè)計相關(guān)類似問題進行深度和廣度上的研究,主要以變式教學的設(shè)計進行教學載體,讓問題的普遍性得到滲透.

        問題:已知f(x)=ax2+cx,且1≤f(1)≤3,-1≤f(-1)≤1,求f(2)的取值范圍.(不等式性質(zhì)作業(yè)題)

        設(shè)計意圖:雖然簡單線性規(guī)劃問題的常規(guī)通法是“圖解法”,即尋找線性約束條件、線性目標函數(shù),然后由二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域作出可行域,最后在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解,但由于學生作圖的熟練程度不夠,此類問題又常出現(xiàn)在選擇填空中,學生總會另辟蹊徑尋求更簡單的解決方法,因此常出現(xiàn)如:不等式之間通過性質(zhì)化簡至一元一次不等式后代入目標函數(shù)求最值、解對應(yīng)約束條件的方程組得可行域頂點坐標后代入求目標函數(shù)最值等偶有成功的方法,且津津樂道,卻不深入思考這些方法的普適性,導(dǎo)致解題常誤入陷阱.“錯誤是最好的學習資源”,本課時就針對此現(xiàn)象,利用圖解法,直觀地將一系列變式題進行顯性解析,讓學生能夠辨明解題誤區(qū),充分認識到數(shù)形結(jié)合圖解法的優(yōu)勢所在,在平時的學習中能夠扎實基礎(chǔ),提高作圖、識圖、用圖的能力,攻克線性規(guī)劃問題.

        分析:本題屬于新視角看舊問題,給出曾在“不等式性質(zhì)”教學時出現(xiàn)的一個求范圍問題,通過“示錯”引出思考——不等式條件如何應(yīng)用才能保證其等價性,再從線性規(guī)劃的角度,直觀地用可行域展現(xiàn)不等式組所對應(yīng)的約束條件,嘗試讓學生更好地理解不等條件等價轉(zhuǎn)換的重要性,強調(diào)“數(shù)形結(jié)合思想”在此起到的直觀轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵作用.

        ①+②,得0≤2x≤4,即0≤4x≤8.

        ②×(-1),得-1≤y-x≤1③.

        ①+③,得0≤2y≤4,故而代入f(2)=4x+2y,得0≤f(2)≤12.

        正解:f(2)=4x+2y=3f(1)+f(-1),由已知可得,3≤3f(1)≤9,-1≤f(-1)≤1,故而兩式相加可得2≤f(2)≤10.

        辨析說明:分別將題設(shè)不等式條件與錯解中轉(zhuǎn)換得到的不等式條件用可行域的方式呈現(xiàn),即可看到二者并不等價,因此通過不等式進行運算將二元一次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式實質(zhì)上是放寬了題設(shè)條件,忽略了x、y之間的制約關(guān)系,而作出可行域則完全展現(xiàn)了約束條件的全貌.為后續(xù)環(huán)節(jié)進一步利用“數(shù)形結(jié)合思想”辨析各種錯誤理解做鋪墊.

        圖2 

        圖1 

        變式1:已知點P(x,y)所在區(qū)域D滿足條件求z=2x+y的最值.

        設(shè)計意圖:經(jīng)驗之談與解題規(guī)律的碰撞設(shè)計.學生在解決線性規(guī)劃問題時常常發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)的最值往往在可行域的頂點處取到,進而在解題時,為圖方便或節(jié)約時間,就簡單地處理成“求邊界線交點坐標,代入目標函數(shù),比較大小,求出最值”.本環(huán)節(jié)通過一個基本問題的幾個變式,讓學生看到以上的經(jīng)驗之談不能作為解題規(guī)律通行應(yīng)用,而數(shù)形結(jié)合,在可行域中利用目標函數(shù)的幾何意義來解題才是通法,以此來促進學生在平時的學習過程中學會反思和自查.

        解析:z=2x+y?y=-2x+ z,作可行域如圖3所示,由圖可知,在點B(1,1)處,z取得最小值3,在點C(5,2)處,z取得最大值12.

        圖3 

        此題目標函數(shù)的最值是在可行域的頂點處取到的.

        分析:若不作圖,僅求頂點處目標函數(shù)來求取值范圍,看似沒有問題,但實質(zhì)上取得的最大值的最優(yōu)解是有無數(shù)多個的,在實際應(yīng)用為背景的線性規(guī)劃問題中,往往希望求的是如何取得最值的執(zhí)行方案,也就是最優(yōu)解,因此必須注重過程而不能只注重結(jié)果.

        變式3:已知點P(x,y)所在區(qū)域D滿足條件

        求z=2x+y的最值.

        分析:此題僅改變一個不等式符號,可行域發(fā)生了變化,雖與上題有相同的目標函數(shù),但邊界線的交點已不能都落在可行域中,按上題解法則會在取最小值時出錯,而且此題開放的可行域,最大值也是取不到的.

        解:z=2x+y?y=-2x+z,作出可行域如圖4所示.所以在點A處,z取得最小值無最大值.

        圖4 

        分析:此題添加了整點條件,學生在解題時容易忽視該條件而造成錯誤,根本原因就是畫可行域后只關(guān)注可行域頂點的慣性思維.

        解:z=2x+y?y=-2x+z,可行域如圖5中的整點.由x∈N*,y∈N*,可得在點附近,x=1時,?y≥5,所以z在點(1,5)處取得最小值7.

        辨析說明:通過四個變式,希望能夠使學生注意到慣性思維容易引入誤區(qū),而數(shù)形結(jié)合,作出可行域,運用圖解法,才是通性通法.

        變式5:已知點P(x,y)所在區(qū)域D滿足條件求下列目標函數(shù)的取值范圍:(1)z=|x+y-示點P(x,y)到直線l:x+y-3=0的距離,由圖6可知,點P在直線l上,則zmin=0,點P在點C(5,2)處,則zmax= 4,故z∈[0,4].

        設(shè)計意圖:目標函數(shù)除了常見的二元一次函數(shù),有時目標函數(shù)可能是非線性的,那么如果能夠充分利用其幾何意義,然后結(jié)合圖解法,便可以結(jié)合解析幾何知識來加以解決.這種非線性目標函數(shù)成為線性規(guī)劃問題更為普遍的考查.

        解析:(1)令d=

        圖5 

        圖6 

        圖7 

        min

        圖8 

        辨析說明:通過這三個小題,希望學生能夠認識到簡單的線性規(guī)劃問題,它的圖解法的本質(zhì)就是把問題化歸到解析幾何范疇,利用解析幾何知識來求解,因此,學習過程中必須要有聯(lián)系地看問題.

        小結(jié):

        (1)可行域的作圖必須規(guī)范準確,勤練基本功,不能畏難怕繁;

        (2)要深刻理解:“線性規(guī)劃”問題就是把代數(shù)問題用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為解析幾何問題的本質(zhì);

        (3)平時學習要有聯(lián)系、系統(tǒng)性地看待數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)與作用,這樣才能由點及面,提高學習效率.

        從上述教師設(shè)計的從學生錯題研究到變式的深入挖掘和廣度拓展,筆者發(fā)現(xiàn)學生對于線性規(guī)劃問題的一系列深度、廣度問題的學習有了系統(tǒng)性的、體系性的掌握.這種學習是一類問題研究的普適性方式方法,很值得教學中對于典型錯誤問題的研究.通過學習和實踐,筆者認為應(yīng)該做好這些準備工作以便得到類似問題解決的普適性:其一,選擇合理的學生較為容易犯錯的典型問題為載體,選擇比較常見的錯解為背景剖析;其二,對于問題解決切勿只是就題論題,這樣的方式往往比較單一,不具備以點及面的效果,不利于課堂教學的有效和高效,因此選擇錯題背景下的變式探索是一種有效化的手段,本文以常見線性規(guī)劃問題輔助,將知識間整合起來,有效地回答了學生錯解的緣由和為什么線性規(guī)劃知識解決的正確性;其三,將這樣的教學思路開拓至更多的教學內(nèi)容中,則有效地提高了學生數(shù)學知識運用的正確性,更整合了知識間的層次,大大地提升了數(shù)學課堂教學效率.

        1.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動,詮釋思維品質(zhì)的提升[J].中學數(shù)學月刊,2013(5).

        2.方厚石.向量教學詮釋思維品質(zhì)[J].數(shù)學通訊,2014(1).

        3.沈恒.淺談中學數(shù)學課堂教學的適度形式化[J].中小學數(shù)學,2010(5).F

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