☉浙江省湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán)　計惠方

橢圓的共軛直徑的1個性質(zhì)的三點注記

☉浙江省湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán)計惠方

《數(shù)學(xué)通訊》2015年第10期下半月（教師）刊登了張留杰、周明芝兩位老師通過對一道期末試題的研究，獲得了橢圓共軛直徑的一個性質(zhì)，拜讀兩位老師的文章，深受啟發(fā).為了說明問題，特將作者研究的試題和兩位老師的研究結(jié)果轉(zhuǎn)述如下：

題目（2015年1月北京市東城區(qū)高三期末試題）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

文［1］作者根據(jù)直線l的斜率為恰好等于，定值5點P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為的直線l，分別交橢圓C于A，B兩點，則|PA|2+|PB|2=a2+b2.恰好是a2+b2，大膽猜想得出了如下結(jié)論.

結(jié)論1對于橢圓C

筆者通過對文章的仔細(xì)審讀和試題的深入研究，結(jié)合筆者撰寫的文［2］，認(rèn)為有必要作如下三點補充.

一、研究變式，拓寬通道

一般情況下對一個問題的研究，往往從橫向、縱向和逆向三個方面切入，這樣的研究更加豐富和飽滿且能保持問題的本來面貌，下面的三個變式均是對文［1］的補充和對下面的研究的有效鋪墊.

證明：設(shè)P（0，t）（-1≤t≤1），直線為y=±1x+t，A（x，2

1y1），B（x2，y2）.由消去y，得2x2±4tx+4t2-4=0，Δ=所以

解：當(dāng)直線l的斜率不存在或為0時，顯然都不合題意.

設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），直線l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

二、整合變式，完善命題

通過對上面變式題組以及點P位置變化的研究，不難得出如下更為完善的結(jié)論：

圖1　

結(jié)論的充分性文［1］作者已經(jīng)給出了證明.下面我們來證明必要性，為了體現(xiàn)直線的參數(shù)方程對線段長度問題的特殊功效，特引入直線的參數(shù)方程給予證明.

證明：不妨設(shè)點P在橢圓C的長軸上，若存在這樣的直線l，使|AP|2+|BP|2恒為定值，設(shè)直線l：參數(shù)，θ為直線l的傾斜角），

代人橢圓方程得

因為|tA|2+|tB|2要與m無關(guān)，只需令b2cos2θ－a2sin2θ=0，得

注：點P在橢圓C的短軸上時，證法完全類似.

三、“源頭”鋪墊，和諧拓展

接下來的問題是若P為橢圓內(nèi)的任一動點，過點P任作一條弦AB，則|AP|2+|BP|2恒為定值的充要條件是否存在？為了搞清這個問題，應(yīng)該回到問題的“源頭”——圓中問題進(jìn)行鋪墊和類比.

圖2　

問題1如圖2，設(shè)點P是⊙O內(nèi)的任一動點，過點P作直線交⊙O于A，B兩點，則PA2+PB2恒為定值的充要條件是直線AB與過點P的直徑FD和它的共軛直徑EC所構(gòu)成的圓內(nèi)接正方形CDEF的邊互相平行.

證明：（充分性）不妨設(shè)AB∥CD，

AB與EC交于點Q，⊙O半徑為r.

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過點O作PG⊥AB于G.

由垂徑定理及等腰直角△OPQ，得

PG=QG=OG，BQ=PA，

故PA2+PB2=（AG－PG）2+（BG+QG）2=AG2+PG2+BG2+ PG2=AG2+OG2+BG2+OG2=2r2.（定值）

（必要性）過點O作PG⊥AB于G，則AG=BG，設(shè)PG=x，AB與EC交于點Q，

則PA2+PB2=（AG－x）2+（AG+x）2=2AG2+2x2=2（OA2－OG2）+2x2=2OA2+2（x2－OG2），因為與點P的位置無關(guān)，故x=OG，所以△OPQ為等腰直角三角形，即AB∥CD或AB∥DE.此時，PA2+PB2恒為定值2r2.

由于橢圓的對稱性沒有圓的良好，因此文［1］的結(jié)論2中PA2+PB2依賴CD的方向，并不是真正意義上的恒為定值.因此若P為橢圓內(nèi)的任一動點，過點P任作一條弦AB，則|AP|2+|BP|2恒為定值是不可能的，但是根據(jù)問題1我們?nèi)菀捉鉀Q下面的問題：

圖3　

問題2如圖3，F(xiàn)D和EC是圓O的共軛直徑，點P是其中一條直徑FD上的一個動點，過P任作兩條直線，交圓O于點A1、B1和A2、B2，設(shè)圓O的半徑為r，則|PA1|2+|PB1|2+|PA2|2+ |PB2|2恒為定值（4r2）的充要條件為A1B1∥CD，或A2B2∥FC.

圖4　

問題3如圖4，F(xiàn)D和EC是圓O的共軛直徑，點P、Q是其中一條直徑FD上的兩個動點，過P任作一直線，交圓O于點A1、B1，過Q任作一直線，交圓于點A2、B2，設(shè)圓O的半徑為r，則|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（4r2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC.

根據(jù)問題2的類比以及伸縮變換不改變平行性的性質(zhì)，容易得到：

命題2如圖5，設(shè)P為橢圓W：內(nèi)的任一動點，過點P任作兩條弦A1B1，A2B2則|PA1|2+ |PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（2a2+2b2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC

圖5　

此結(jié)論不依賴CD方向的約束，是真正意義上的定值，顯然更具本質(zhì)特征.充分性的證明參閱文［1］，必要性的證明留給讀者朋友們思考.另外，若A2B2過點Q，則顯然有如下結(jié)論：

圖6　

命題3如圖6，CD和MN是橢圓W的共軛直徑，點P、Q是其中一條直徑CD上Q的兩個動點，過P任作一直線，交橢圓于點A1、B1，過Q任作一直線，交橢圓于點A2、B2，橢圓的半長軸為a，半短軸為b，則|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（2a2+2b2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC.

如果將P、Q兩點運動至共軛直徑的端點，則顯然有如下推論：

推論如圖7，橢圓的共軛直徑（CE與DF）的任意端點（E）與另一條直徑（DF）的端點連接，所得的兩條弦（EF與ED）的平方和為定值2（a2+ b2），并且共軛半徑（OC與OD）的平方和為定值a2+b2.

圖7　

1.張留杰，周明芝.橢圓的共軛直徑的一個性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2015（10）.

2.王勇強，計惠方.一道浙江競賽題證法的補充與引申［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.Y