亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一道導(dǎo)數(shù)題的探究歷程與感悟

        2016-11-25 08:25:06浙江省紹興市柯橋區(qū)鑒湖中學(xué)張愛萍
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
        關(guān)鍵詞:極小值極大值區(qū)間

        ☉浙江省紹興市柯橋區(qū)鑒湖中學(xué) 張愛萍

        一道導(dǎo)數(shù)題的探究歷程與感悟

        ☉浙江省紹興市柯橋區(qū)鑒湖中學(xué)張愛萍

        在解題中我們經(jīng)常會面對一些思維困境,這些困境產(chǎn)生的原因,可能是題目的本質(zhì)不能準(zhǔn)確識別或解題策略的選擇不恰當(dāng)或題目條件運用的不充分,因此在解題中要善于及時變換思考問題的角度,大膽地挖掘條件的特定含義,對問題進行重新的審視與分析.這些就是解決數(shù)學(xué)難題較為有效的途徑.

        一、問題展示

        在很多時候,不少學(xué)生會糾結(jié)于如何提高自己的解題能力.筆者一直認為提高解題能力,需要解題經(jīng)驗的積累,運算能力的提高,思維能力的開發(fā),以及一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.盡管如此,我們在遇到難題的時候,也會經(jīng)常出現(xiàn)百思不解,破題無門,望題興嘆的狀況.最近筆者遇過一道導(dǎo)數(shù)題,現(xiàn)將筆者的感悟與讀者分享.

        問題已知m∈R,f(x)=2x3+3x2+6(m-m2)x.

        (1)當(dāng)m=1,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

        二、疑云重重

        這道試題第二問可以獲取的信息有:多元恒成立問題,函數(shù)f(x)應(yīng)該有兩個極值點,圖像過原點,在區(qū)間[k,0]上恒成立,求最小值k(m)可能要判斷f(x0)=20時x0的值,面對這些信息,我們的思維可能要陷入困惑:

        (2)常規(guī)的想法是可能要把(m-1)2(1-4m)的最大值求出來,使得[(m-1)2(1-4m)]max≤f(x),是不是要構(gòu)造函數(shù)g(x)=(m-1)2(1-4m)求最大值?

        (3)兩個極值點x1,x2和區(qū)間[k,0]是什么關(guān)系?需要分類討論嗎?

        (4)y=20究竟有多高?會比區(qū)間[k,0]內(nèi)的極大值高還是低?

        三、撥云見日

        波利亞認為:“對自己提出問題是解決問題的開始,當(dāng)你有目的地向自己提出問題時,它就變成你自己的問題了.”其實對于每個初遇該題的人,都會或多或少地考慮上面的問題.然后隨著思考的深入,便會出現(xiàn)兩種結(jié)局,要么是為越想越復(fù)雜而煩惱,最終徹底放棄;要么是隨著對謎底的層層解開,山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村,而最終豁然開朗.

        1.解題不能僅靠空想,步步為營思路銜接

        解數(shù)學(xué)題最忌諱的是“只是想想,就是不寫”.教學(xué)中經(jīng)常遇到這樣的學(xué)生,只要聽到教師說我們應(yīng)該怎么思考,結(jié)果該同學(xué)就會迫不及待地問:“老師,那下一步呢?”這時教師會很嚴(yán)厲地訓(xùn)斥一番:“你能不能先把這一步寫出來?寫出來再看下一步,也許你自己就會知道該向哪個方向去思考了.”比如,上面的考題,同學(xué)們就應(yīng)該先把函數(shù)f(x)的極值點搞清楚以后,再想下面的事情:

        f′(x)=6x2+6x+6(m-m2)=0,即x2+x+m(1-m)=0,解得x1=-m,x2=m-1.當(dāng)f′(x)<0時,-m<x<m-1;當(dāng)f′(x)>0時,x<-m或x>m-1.所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-m)和(m-1,+∞),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-m,m-1).因此,函數(shù)f(x)的極大值為f(-m),函數(shù)f(x)的極小值為f(m-1).

        2.相信方法就在題中,尋找破綻碰碰運氣

        同學(xué)們寫到這里往往就會停下來,忙著論證兩個極值點在y軸的哪一側(cè),準(zhǔn)備繪制草圖(如圖1、圖2).

        圖1 

        圖2 

        但并沒有給我們帶來多大的啟發(fā).其實一個絕好的隱含條件被我們給忽視了.繼續(xù)計算可得f(-m)=4m3-3m2,f(m-1)=(m-1)2(1-4m),前者沒有多大意義,關(guān)鍵是后者.只要仔細觀察,不難發(fā)現(xiàn)這個條件的特殊含義,即不等式(m-1)2(1-4m)≤f(x)≤20就是f(m-1)≤f(x)≤20.這樣的發(fā)現(xiàn),肯定不是事先空想就能意料到的,至此我們的解題思維再次被擴開.當(dāng)m-1≥0,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,0]上滿足f(m-1)≤f(x)≤20,要求k的最小值,必有k≥x0,其中f(m-1)=f(x0)或者f(x0)=20;當(dāng)m-1≤0,顯然k的最小值肯定位于極小值點的左側(cè),然后就和前者一樣了.

        3.遇事多往好處想,挖掘條件去繁求簡

        前面研究到這里,大家都會糾結(jié)于f(x)≤20怎么處理,也就是y=20究竟有多大?是否要討論我們的極大值f(-m)和20的大小關(guān)系?如果這樣一想,這個題目基本上無法進行下去了,因為再討論估計又要三種情況,兩種情形合計六種情況,估計很多人會再次陷于困境之中,解題的隊伍會越來越小.可是我們?nèi)绻咽虑榭紤]詳細點,不把命題想的那么繁雜,也許就不用討論這么復(fù)雜,肯定有隱含條件能使得討論簡單化.當(dāng)然我們也可以勇敢點,就來研究極大值有多大,因為這個條件不會沒有用武之地.

        當(dāng)m-1≥0,即m∈[1,2]時,f(0)=0,令g(m)=4m3-3m2,則g′(m)=6m(2m-1)>0,所以函數(shù)g(m)=4m3-3m2在[1,2]上單調(diào)遞增,g(m)≤g(2)=32-12=20;當(dāng)m-1≤0,即,g′(m)=6m(2m-1)>0,所以函數(shù)g(m)=]上單調(diào)遞增,g(m)≤g(1)=1≤20.可見,前面的顧慮都是多余的,f(x)≤20是恒成立的.

        4.轉(zhuǎn)化命題推進問題深入,思維連貫脫穎而出

        到此,我們已經(jīng)把f(x)≤20的問題給解決了,現(xiàn)在再來處理f(m-1)≤f(x),而這里要求kmin實質(zhì)上就是要解方程f(m-1)=f(x0),由于f(m-1)相當(dāng)于常數(shù),也就是要解一個三次方程2x3+3x2+6(m-m2)x-(m-1)2(1-4m)=0.對于三次方程求解主要是因式分解,其次是待定系數(shù)法、試根法、圖解法等.再想一想,我們在解三次不等式的時候,是不是還遇到過“奇穿偶不穿”的問題?

        接下來再看看本題中方程f(x)=f(m-1)的解,注意到直線y=f(m-1)與函數(shù)f(x)圖像在極小值點x=m-1處相切,因此x=m-1應(yīng)該是方程的二重根,即x1=x2=m-1,第三個根是x0,因此作為三次方程肯定可以分解因式為2(xm+1)2(x-x0)=0,不用待定系數(shù)也可以觀察出2[-x0×(m-

        綜上,審題是解題的基礎(chǔ),思維受阻往往是對條件沒有進行仔細觀察和思考,忽視了某些條件的重要作用.上面的問題中一個至關(guān)重要的條件就是不等式(m-1)2(1-4m)≤f(x)≤20的左邊與函數(shù)極小值f(m-1)的關(guān)系.在解題思路不明確的情況下,按照正常思維方式求出極小值和極大值之后,稍微觀察一下,還是會有重要的發(fā)現(xiàn).審題,不要漏掉任何一個線索,一個不起眼的條件或許就能開啟成功的大門.

        在解題中,當(dāng)遇到一道難題時,某些同學(xué)就會對題發(fā)呆,雖然絞盡腦汁,靈感也總是出不來,自己著急,老師也替學(xué)生發(fā)急.其實題目中的每個條件都具有自己的特定含義,我們不妨把它們轉(zhuǎn)化一下,哪怕是一小步,想到什么,就先寫出什么,化一化、算一算,也許在寫的過程當(dāng)中就可以得到一些啟發(fā).

        例題若m個不全相等的正數(shù)a1,a2,…,am依次圍成一個圓圈,使得每個數(shù)ak(1≤k≤n,k∈N)都的是其左右相鄰兩個數(shù)平方的等比中項,則正整數(shù)m的最小值是多少?

        對于初次見到該題的同學(xué),估計一眼不會看出這個題目到底是要考什么,表面上看就是一道普通但又很陌生的等比數(shù)列問題,再看它們每項圍成一個圓圈,又好像是排列組合題.在以前做過的題型中似乎找不到一個確切的數(shù)學(xué)模型,想不到哪一種解題模式可以套用.但是我們寫幾項總是可以的吧.

        因為每個數(shù)ak(1≤k≤n,k∈N)都得是其左右相鄰兩個數(shù)平方的等比中項,不妨任意取兩個,比如2,3,我們不難寫出它的第三項,即再寫第四項是見,函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,0]上滿足f(m-1)≤f(x)≤20,要求k的最小值,必有k≥x0,可得,在寫的過程中發(fā)現(xiàn)每一項都是前兩項的商,這樣寫起來就方便了還可以發(fā)現(xiàn),它們是呈周期出現(xiàn)的,最小正周期是6,至此得到本題答案6.

        數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨著困難、挫折和失敗.有些學(xué)生在思維受阻時,冥思苦想,不肯放棄原有思路,最終一無所獲.也有的同學(xué)碰到難題,急于求成,一旦思路受阻,找不到切入點,就會心慌意亂.因此,在遇到思維受阻時,如果我們能夠冷靜地觀察,尋找題目特定條件中的微妙的含義,迅速轉(zhuǎn)換思考問題的角度,解題靈感也許就會出現(xiàn).F

        猜你喜歡
        極小值極大值區(qū)間
        解兩類含參數(shù)的復(fù)合不等式有解與恒成立問題
        你學(xué)會“區(qū)間測速”了嗎
        一道抽象函數(shù)題的解法思考與改編*
        構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)常見類型例析*
        極小值原理及應(yīng)用
        基于龐特里亞金極小值原理的多運載體有限時間編隊控制
        基于小波模極大值理論的勵磁涌流新判據(jù)研究
        基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的自適應(yīng)模極大值去噪方法
        區(qū)間對象族的可鎮(zhèn)定性分析
        行人檢測中非極大值抑制算法的改進
        99久久99久久精品国产片果冻| 亚洲一区二区三区2021| 妺妺窝人体色www婷婷| 99久久久精品免费观看国产| 免费一本色道久久一区| 少妇又紧又色又爽又刺| 熟女一区二区三区在线观看| 精品国产乱码久久久久久1区2区| 无码精品一区二区免费AV| av免费在线观看在线观看| 亚洲 欧美 偷自乱 图片| 中文字幕乱伦视频| 亚洲精品成人av观看| 成人黄色片久久久大全| 熟妇人妻无乱码中文字幕真矢织江| 久久午夜伦鲁片免费无码| 91热爆在线精品| 日本一区二区三区四区啪啪啪| 国产午夜成人av在线播放| 午夜一级韩国欧美日本国产| 日韩av免费在线不卡一区| 日本免费大片一区二区| 五十路丰满中年熟女中出| 国产妇女乱一性一交| 在线亚洲精品中文字幕美乳色| 久久性爱视频| 亚洲色偷偷色噜噜狠狠99| 日韩精品一区二区三区四区视频 | 国产精品主播在线一区二区| 成人免费看片又大又黄| 在线视频中文字幕乱人伦| 日本频道一区二区三区| 亚洲欧美牲交| 中文字幕欧美一区| 亚洲国产成人精品一区刚刚| 无码精品国产一区二区三区免费| 999国内精品永久免费视频| 久久精品国产亚洲AV高清y w| 日本一区二区国产精品| 2021国产精品国产精华| 亚洲成av人在线观看无堂无码|