宋 磊

(上海市南匯中學(xué)，201399)

求解多元變量綜合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)一大難點(diǎn),主元思想是解決此類問(wèn)題的一大利器.本文擬通過(guò)典型例題剖析主元思想的運(yùn)用.

一、甄選主元,峰回路轉(zhuǎn)

分析不等式中a,b,c地位相等且取值范圍已知,不妨視a為主元,b,c為參數(shù),則此式簡(jiǎn)化為一元不等式,問(wèn)題更容易入手.

評(píng)注此類題目的共同特點(diǎn)是變量太多,讓人眼花繚亂.甄選主元可以達(dá)到減元的目的，運(yùn)用函數(shù)思想方法求解，使問(wèn)題求解取得“峰回路轉(zhuǎn)”的效果.

二、反道而行,柳暗花明

分析本題按常規(guī)思路是利用根的分布來(lái)解決，其中過(guò)多的分類討論和繁瑣的運(yùn)算讓學(xué)生望而生畏、步履維艱.不妨解放思想,更換主元,反道而行,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了.

視角1變更主元,將m,n當(dāng)作主元,x當(dāng)作參數(shù).

視角2變更主元,以m為主元.

評(píng)注“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,同一事物從不同角度看,我們會(huì)有不同的認(rèn)識(shí).有些題目按照常規(guī)思路行不通,若能擺脫思維定勢(shì)的束縛,及時(shí)更換觀察問(wèn)題的角度,靈活、機(jī)敏地挖掘問(wèn)題中的特征與本質(zhì),追本溯源,主客換位思考,往往會(huì)有“山窮水盡疑無(wú)路,柳暗花明又一村”的豁然開(kāi)朗之感.

三、交替輪換,別有洞天

分析本題難度在于題目條件與題目要求都是三元變量,學(xué)生易被搞得暈頭轉(zhuǎn)向.嘗試甄選主元,甚至可以考慮多次甄選,輪流做主的做法,或許別有洞天,另有一番景象.

評(píng)注本題是多元變量最值問(wèn)題,以上兩種解題方法均從題目條件中選取主元,并且通過(guò)換元加以解決,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新元的知識(shí)背景下去研究,從而可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái),把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,陌生問(wèn)題熟悉化.其中解法1選了兩次主元,輪流做主,問(wèn)題迎刃而解.

分析將所求代數(shù)式整體作為主元考慮.

(*)

主元思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，若主元甄選得當(dāng)，不但解題思路清晰，而且解法簡(jiǎn)潔明快.主元思想也是解題的一種重要思想方法，蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了辯證思維以及和諧統(tǒng)一、普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)，若能靈活運(yùn)用，必將事半功倍.