☉江蘇省南京市大廠高級中學　余建國

變革教與學實現(xiàn)“懂且會”

☉江蘇省南京市大廠高級中學余建國

基本不等式結(jié)構(gòu)簡單，均勻?qū)ΨQ，兩個正數(shù)通過加法、乘法、除法和開方四種運算，產(chǎn)生了它們的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律，實現(xiàn)了概念原理（基本不等式）、符號語言）、圖形語言（如趙爽弦圖）和自然語言（直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的一半）的有機結(jié)合與高度統(tǒng)一，數(shù)學之美、數(shù)學之奇、數(shù)學之簡和數(shù)學之趣盡在其中，蘊含了豐富的數(shù)學文化特征和多樣的數(shù)學智慧因素，是發(fā)展學生的數(shù)學思維的重要載體.因而也是教學、考試的熱點，受到異乎尋常的重視.每年模擬試題、高考題中都涌現(xiàn)出很多原創(chuàng)題，這些原創(chuàng)題的命題思路新穎，考查方法靈活，體現(xiàn)了一線教師、教研專家和高考命題者對教學要求和考試說明的準確把握，對廣大考生起到了很好的導向作用.

但在備考復習中，有些老師缺乏對基本不等式的整體理解，為對付眾多的原創(chuàng)題，把教學的重點放在令人眼花繚亂的代數(shù)式變形技巧上，不跟學生講清楚為什么要這樣變形，怎么想到這樣變形的，并且人為割裂基本不等式與函數(shù)的關(guān)系，成績中下等的學生始終不得要領(lǐng)，遇到新的變式或所謂的原創(chuàng)題仍然手足無措，懂而不會.在教學中如何消除“懂而不會”的現(xiàn)象，在一次教學研究活動中，筆者發(fā)現(xiàn)一個很好的案例，有所啟迪，與各位讀者分享.

一、片斷實錄

這是一節(jié)“基本不等式的應用”高三一輪復習課.上課伊始，教師直接給出問題：

2分鐘后，教師展示學生的方法：y=4x+1=4x-2+ 2x-1當且僅當4x-時取等號.

師：為什么將4x湊成4x-2？

師：誰說分母不好變？令2x-1=t不行嗎？

生1：這么說也行，其實還是變4x.

師：換元的作用是什么？

生2：問題變簡單了，一下子就能看出基本不等式模型.

評析：這個簡單的開場白是為了讓學生明白：（1）這是什么問題？求兩個正數(shù)的和的最小值問題.（2）和在什么情況下有最小值？和在兩個正數(shù)積為定值的情況下才可能有最小值.（3）如何確保最值能取到？等號必須真能成立.（4）什么情況下使用這種模式求最值？“積”或“和”為常數(shù)是使用基本不等式的信號．從而概括出基本不等式，初步建立起應用基本不等式求最值的模式，這比默寫定理、強調(diào)“一個定理三項注意”有效得多．

師：要使問題變得復雜點，不太容易看出基本不等式模型，怎么變？

生3：只要看到分子是二次函數(shù)、分母是一次函數(shù)的分式函數(shù)，令分母的一次函數(shù)為t就可以轉(zhuǎn)化了.

師：那分子、分母都是二次函數(shù)，怎么辦？

生4：可以把分子中的二次項“分離”掉.

師追問：你能舉個例子嗎？

師：這個例子舉得很好.大家把剛才的討論總結(jié)一下.

評析：很多時候，老師總是通過一組題的求解才能歸納出方法規(guī)律，而這里教師讓學生在原來的基礎(chǔ)上自己動手變式，通過情景的變換，達到做一題、會一片、通一類的目的．在解題教學中，強化題組歸類、突出基本模式和加強變式訓練不是不可以，但如果是學生自己提出來，通過對解題過程進行分析提煉，洞察題目的類型或模式，提煉題目的深層結(jié)構(gòu)，更能促進學生抽象概括能力的提高．

師：剛才的問題還可以怎么變呢？

師：等號不成立了，那在什么地方取得最小值呢？或者說有沒有最小值了？

生5：（聽老師的口氣，感覺有問題了，猶豫了一下）剛才改錯了，因為是開區(qū)間，取不到端點.改成［1，+∞）就行了，可以用導數(shù)證明，函數(shù)y=4x+的最小值.

師：改加號為減號了，那定義域是什么？也是用基本不等式求最小值嗎？

生6：不是，因為這是兩個正數(shù)的差，不是兩個正數(shù)的和，改用導數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性給個相關(guān)的定義域就可以求最小值了.

師：生5提醒了我們，一元函數(shù)本來就可以用函數(shù)的單調(diào)性求最值，只要能確定（例如用導數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性，所以基本不等式與函數(shù)一家親啊.還有同學想變題嗎？

生6：改成求函數(shù)y=4x-很管用，請同學們把它與基本不等式同等重要對待.

經(jīng)典作品有周定芳的《老屋系列》。本作品以一間老房子為主體造型元素，生動刻畫了斑駁的石砌墻，破舊參差的屋頂煙囪，仿佛打滿了補丁的老門，以及門上的細節(jié)。這件作品將老房子的多個元素與茶壺的各部分巧妙契合，如壺嘴與煙囪的結(jié)合，壺蓋與屋頂結(jié)合，壺把與屋后的老樹結(jié)合，不僅整體造型上充分展現(xiàn)老房子的形態(tài)，具體的細節(jié)上、形態(tài)上、肌理表現(xiàn)等方面都有生動的體現(xiàn)。只有對老房子有深入細致的觀察，以及對茶壺的結(jié)構(gòu)功能的心領(lǐng)神會才能達成如此巧妙的設(shè)計。隨著當代陶藝進入國內(nèi)當代陶藝家的視野，越來越多的陶藝師開始在生活陶藝領(lǐng)域自覺加入建筑元素。

評析：很多基礎(chǔ)不好的同學總認為“怎么這么多新問題？”新問題之所以感到新，“新”就是頭腦中無現(xiàn)存的可直接利用的模式，因此感到陌生、生疏．事實上，所謂的“新”，并不是完全沒有所需的知識、經(jīng)驗，只是有關(guān)的知識、經(jīng)驗貯存在不同的模式中，因此只要從有關(guān)的不同模式中抽取適當?shù)奶卣骰蛑R組合成一個新模式，就能解決問題．在基本不等式的應用復習中，應該將一元函數(shù)求最值與基本不等式應用打通，創(chuàng)設(shè)不同的表象，讓學生看到不同的表象背后蘊含的相同的因素，發(fā)現(xiàn)共性的解決方法，加強函數(shù)思想方法的統(tǒng)攝作用．

師：現(xiàn)在，還有同學想變題嗎？

生眾：把y解出來就是原題，沒意思.

生7：但我可以這樣解啊.由（y-4x）（2x-1）=1，得8x2-（4+2y）x+y+1=0，所以Δ=（4+2y）2-32（y+1）≥0，即y2-4y-4≥0，解得y≤2-2，或者y≥2+2.因為x，所以y-4x＞0，y＞2，所以y≤2-2舍去.因此y的最小值是2+2.

掌聲一片.

師：這是求函數(shù)值域的一個方法，確實要點贊.但Δ≥0僅僅是必要條件，我們還要做個什么工作才能確保完備性，也就是能取到最小值？

師：該同學的解法給“二元變量”問題的求解提供了一個思路，這類問題下節(jié)課要重點研究.不過方法已經(jīng)有了，一是使用基本不等式方法，關(guān)鍵是配湊；二是回到函數(shù)中來，并且“反客為主”，將函數(shù)y看成參變量，先必要（Δ≥0）后充分（驗證等號成立）.請完成下列練習：已知x＞0，y＞0，4x+y=1，求=b，由x＞0，y＞0，4x+y=1，得a＞0， b＞0，的最小值.

5分鐘后，教師投影了學生的幾種解法.第一種解法不妨稱為“乘1法”，筆者觀察到大部分學生這樣求解，解題速度快；第二種解法是“減元”再換元，本文分享下面兩種學生的解法，很有創(chuàng)意.

解法三：令=1，進一步得到a＞4，b＞1，4b+a-ab=0，配湊得當且僅當a-4=b-1=2，即a=6，b=3時取等號，所以代入已知條件，得4x+的最小值是9.

解法四：令=1，即4tx2-（t+3）x+1=0，由Δ=（t+3）2-16t≥0，得t2-10t+9≥0，解得t≤1，或者t≥9.因為0＜x＜1，0＜y＜1，所以時，結(jié)合4x+y=1，得x=最小值為9.

評析：說實在的，這個練習題“耳熟能詳”，要是新授課里出現(xiàn)，確實能反饋學生對基本不等式應用的理解程度，但要找到除“乘1法”、減元法之外的方法，如解法三、解法四，確實還是有點難度的．如解法三，求兩個正數(shù)和的最小值，那就應該有“積為定值”的信號，因此必須通過適當?shù)拇鷵Q才能找到“積”．同樣，解法四一定是在理解了Δ法的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的．所以，在教學中教師應通過情境變換和圖式重組等活動，提高學生思維的可辨別性，特別是認識問題的心理傾向性，培養(yǎng)對解題活動的抽象、概括能力，使學習者形成關(guān)于這類問題的普遍性認識．

二、案例反思

教師講過了，學生聽懂了，但是面對題目時還是不會做或一做就錯，這就是“懂而不會”現(xiàn)象.在基本不等式的應用復習教學中，如果教師仍然停留在“一個定理幾項注意”，并把主要精力集中于變形技巧訓練上，那么學生面臨新問題時，不僅仍然不顧“正”、“定”、“相等”的要求，有的甚至根本想不到用基本不等式.這樣的教學難以達成對其本質(zhì)的理解，無法形成相應的“心理意義”，就會出現(xiàn)“一聽就會，一做就錯”的情況.筆者認為，案例為消除“懂而不會”現(xiàn)象提供了以下幾點啟迪.

1.變“接受”為“產(chǎn)生”

這個道理非常淺顯，“接受”遠比“產(chǎn)生”容易的多，教師大都會采用“通俗易懂、潛移默化、循序漸進、深入淺出”等教學藝術(shù)，聽懂不是難事，因此學生和老師首先都要確信一點——沒有聽不懂的學生.“聽懂而不會”是缺乏思考和動手能力，是思維上的欠缺而不是能力上的不足.思維上的欠缺指的是對問題思考的主動性不足，不善于分析條件和問題之間的關(guān)聯(lián)性，雖然一聽就懂，但是光聽而不改變被動灌輸?shù)奶匦?，是不會進步的.案例中的老師把變式的權(quán)利交給學生，讓學生展示由易到難的變化過程，這樣，學生始終明白核心結(jié)構(gòu)沒有變，因而解題方法圍繞核心結(jié)構(gòu)去變，這就道出了“為什么這樣做”的道理.這相當于教師站在學生的角度，暴露教師思維，突出探究過程，實現(xiàn)了“聽懂”與“會做”之間的有效聯(lián)結(jié)，“產(chǎn)生”油然而生.

2.變“講懂”為“說清”

不少學生上課時，無論是新授課還是習題課，無論知識是簡單還是復雜，都習慣于聽教師講解，認為教師講解得越透徹、越多越好，之后按照教師的要求去做就萬事大吉了.有的學生在教師提出問題后，不能積極思考，也不愿意發(fā)表自己的想法，覺得等教師講解時認真聽，聽懂就行，更有甚者聽不懂也不問.當然也有老師認為，反正我講了、甚至講了n遍還不會做，我也沒有辦法.學習金字塔理論認為，小組討論、做中學或?qū)嶋H演練、教別人或馬上應用等學習方式遠比聽講的效果好得多.案例中的老師把課堂還給學生，讓學生講變式、講思路、講規(guī)律，能給別人講懂的學生自己首先是清楚的，學生能說清“這個思路是怎么想到的”比教師的講更有說服力.正如波利亞所言：“教師在課上講什么當然重要.然而學生想什么更是千百倍的重要，思想應該在學生腦海中產(chǎn)生出來，而教師僅僅應起一個助產(chǎn)婆的作用.”所以，教師要更多地關(guān)注學生在課堂上的可能反應，讓學生眼睛觀、耳朵聽、動口說、親手算、心腦動.要讓學生參與教師的“講”中來，教師要講，學生更要講，讓學生親身體驗教的思考與成就的快樂.

3.變“炫技”為“核能”

教學的整體觀認為，在教學活動中不要膚淺地、孤立地看待所教和所學的內(nèi)容，而要自覺地探求知識的核心結(jié)構(gòu)、核心技能，以及與其他知識之間的聯(lián)系，使學生在學習的過程中見樹木更見森林.這樣，對知識“八方聯(lián)系”的結(jié)果，使得知識“渾然一體”.這種教與學的方式更是培養(yǎng)了學生思維的廣度和全面認識事物的思維品質(zhì)，能有效地避免學習中的“懂而不會”現(xiàn)象.其實基本不等式表明了兩個正數(shù)a，b的和a+b與積ab的大小關(guān)系，有固定的形式結(jié)構(gòu).而用基本不等式求最大（?。┲禃r，首先應看是否具有“和”或“積”為常數(shù)的條件（“和”或“積”為常數(shù)是使用基本不等式的信號）.在“基本不等式的應用”教學中，變形的技巧無窮，但都是為了轉(zhuǎn)化為這一形式結(jié)構(gòu)，案例中的教師引導學生抓住了基本不等式結(jié)構(gòu)這一核心進行教學.同時，教師注意到求最大（?。┲祮栴}本來就與函數(shù)“渾然天成”，函數(shù)思想方法的滲透才是這類問題的核心技能.

按照南京師大涂榮豹教授的觀點，教什么就是教學生學什么和教學生怎么學.案例表明，只有教師深刻理解數(shù)學，理解教學，理解學生，將學生的學置于教師的教同等地位，并不斷變革教與學，才能有效聯(lián)結(jié)“懂”與“會”，實現(xiàn)“懂且會”.

1.余建國．基于模式識別的“基本不等式的應用”教學分析［J］．中國數(shù)學教育（高中版），2014（3）．

2.劉明．從知識分類的角度剖析“懂而不會”現(xiàn)象［J］．江蘇教育，2013（9）．

3.張樹義．編制數(shù)學習題的幾種常用方法［J］．中學數(shù)學（上），2014（5）．F