☉江蘇省啟東市百杏中學(xué)　沈穎生

無圖考題形助數(shù)，變式打磨獲頓悟——以江蘇如皋模考卷第28題為例

☉江蘇省啟東市百杏中學(xué)沈穎生

一、寫在前面

各地的中考、模考試卷中，全卷的最后一題必然考查數(shù)形結(jié)合、分類討論兩種思想方法，有些考題雖然沒有出現(xiàn)圖形（圖像），但是解題時卻需要心中有圖、筆下構(gòu)圖，通過數(shù)形互助來思考.本文結(jié)合一道中考?？季砩系木C合題，先給出思路突破，再就該題的解題教學(xué)給出相關(guān)思考，供研討.

二、?？碱}的思路突破與解后反思

?？碱}（2016年4月江蘇省如皋市中考?？季?，第28題）已知拋物線y=ax2-4ax+3和直線y=bx-4b+3相交于一定點A.

（1）求點A的坐標(biāo).

（2）設(shè)拋物線y=ax2-4ax+3與y軸的交點為B，直線y= bx-4b+3和直線OA分別與拋物線的對稱軸相交于點C、D.問：是否存在一點C，使以A、C、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，說明理由.

（3）設(shè)拋物線y=ax2-4ax+3過點（2，-1），直線y=bx-4b+3與拋物線的另一個交點為P，若△POA的面積等于，求a和b的值.

思路突破：（1）題干很簡潔，也沒有函數(shù)圖像，要想求出點A的坐標(biāo)，需要反復(fù)讀題，當(dāng)解讀出點A的多重價值后，才能破譯第一問，這就是說點A是一個定點，不僅是拋物線與直線的交點.故將直線y=bx-4b+3變形為y= b（x-4）+3，這樣容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=4時，函數(shù)值y=3，不再受到參數(shù)b的影響，即此直線必過點（4，3）.注意，還需要再驗證該點是否一定在拋物線上，于是把x=4代入y=ax2-4ax+ 3，得y=3.定點（4，3）在拋物線y=ax2-4ax+3上，故點A的坐標(biāo)為（4，3）.

（2）問題很抽象，沒有圖形，能確認(rèn)點A、B的位置，于是可確認(rèn)拋物線的對稱軸為直線x=2，接下來構(gòu)造草圖分析，如圖1，△AOB的形狀是直角三角形，且三邊也可很快得出，分別是3、4、5.如果要在對稱軸上找一個符合要求的點C，則△ACD也應(yīng)該是“3、4、5”式的直角三角形！

圖1

圖2

接著在圖1中分析出兩個可能的點C的位置，如圖2，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點C1恰好是AB與拋物線對稱軸的交點時，符合題意，這時直線y=bx-4b+3就是y=3，注意：不少學(xué)生可能會將這種情況舍去，因為這不是一次函數(shù)的圖像了，出現(xiàn)這種錯誤的深層次原因是概念不清，對一次函數(shù)的圖像與直線之間的從屬關(guān)系沒有辨析清楚.

圖3

再考慮另一種情形，以點A為直角頂點時，會有點C2符合要求，當(dāng)∠CAD=90°時，△CDA∽△AOB.結(jié)合直線OA的解析式為，根據(jù)互相垂直的兩直線斜率乘積為-1，可得.綜上，b=0或

（3）首先結(jié)合拋物線y= ax2-4ax+3過點（2，-1），可以確明a=1.這時就可畫出拋物線的圖像，如圖3.

［解后反思］

1.解題關(guān)鍵在哪兒？

2.有什么經(jīng)驗值得積累？

對于無圖題的思路突破，一般先要根據(jù)題意提供的條件信息解讀出函數(shù)解析式，如果函數(shù)解析式不能順利突破，則可借助已有定點、定值等信息鎖定相關(guān)圖形及位置，并縮小探究的范圍，逐步顯現(xiàn)問題的本質(zhì)或結(jié)構(gòu).

三、復(fù)習(xí)導(dǎo)向之思

1.加強函數(shù)教學(xué)，關(guān)鍵是圖像及性質(zhì)

如人教社中數(shù)室資深編審章建躍博士所言，“函數(shù)是初中核心概念，在核心概念教學(xué)上要做到不惜時，不惜力”.函數(shù)教學(xué)的套路是概念、圖像及其性質(zhì).同時要引導(dǎo)學(xué)生辨析函數(shù)與圖像之間的從屬關(guān)系，比如一次函數(shù)的圖像是直線，但直線一定是一次函數(shù)嗎？反比例函數(shù)的圖像是曲線，但曲線一定是反比例函數(shù)嗎？如果這些初始概念沒有辨析清楚，則很容易出現(xiàn)上文?？碱}第二問中學(xué)生舍去b=0的那種情形.而對于二次函數(shù)來說，如果學(xué)生對像?？碱}第二問中A、B點同時在二次函數(shù)圖像上有一定認(rèn)識，則二次函數(shù)的對稱軸就能得到確認(rèn)，這些信息的確認(rèn)時間將是優(yōu)秀學(xué)生解答把關(guān)題的重要區(qū)分所在.

2.無圖問題突破，重要的是構(gòu)圖訓(xùn)練

不少數(shù)學(xué)試卷的把關(guān)題都是無圖題，本身就是考查學(xué)生根據(jù)文字信息、符號信息，結(jié)合對數(shù)學(xué)概念的理解和分析構(gòu)圖解題能力，有些學(xué)生習(xí)慣了圖形輔導(dǎo)思考，自己結(jié)合題意畫出圖形分析能力偏弱.這說明在平時的解題教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖分析，這方面較為理想的載體是幾何文字命題的證明與求解.就筆者教學(xué)實踐經(jīng)驗所見，這個方向是目前教研的弱項，這可能不是一線教師的教研盲點所造成的，而是與世紀(jì)之初課改之后的各級教材的“引領(lǐng)”有關(guān).比如對比上個世紀(jì)的數(shù)學(xué)教材，一個重要的不同就是大量文字命題退出教材，取而代之的是畫好圖形、圖像，學(xué)生只要看圖找條件就可進入解題流程，這種“去頭、掐尾、燒中段”的教學(xué)取向使得學(xué)生的構(gòu)圖能力不斷弱化.

四、命題商榷

命題如同教學(xué)，也是遺憾的藝術(shù).考慮到?？碱}的第二、三問之間無甚關(guān)聯(lián)，且所謂題干中的直線y=bx-4b+3在第一問已基本發(fā)揮了它的價值，后面第二、三問兩問雖然也用到該直線的解析式，但只是簡單的增加解題層次，沒有真正體現(xiàn)該直線的價值.作為文末，本著命題興趣，給出打磨變式，供研討.

（?？碱}打磨變式）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線l1：y=ax2-4ax+3與y軸的交點為A，直線l2：y=bx-4b+3經(jīng)過一個定點B.記拋物線l1的對稱軸為l3.

（1）求點B到直線l3的距離.

（2）若直線l3與直線OB交于C，分析直線l3上是否存在點D，使以B、C、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，說明理由.

（3）當(dāng)拋物線l1的頂點E恰落在直線l2上，且△ABE的面積為時，求a和b的值.

【變式意圖】原題干中的指出拋物線與直線交于一定點，屬于重復(fù)，因為該拋物線的對稱軸已明確，與y軸的交點也明確了，則交點與對稱軸的對稱點即為定點B，這些應(yīng)該由考生獨立探究得出；原?？碱}的第二、三問之間缺少必要的關(guān)聯(lián)，打磨改編之后，第三問的就對應(yīng)著第二問中的一個點D.而這些都需要經(jīng)歷解題探索“柳暗花明”后，獲得“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的頓悟.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放教學(xué)——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z