☉北京教育學院朝陽分院　白雪峰

明晰內涵領悟本質——以一道中考數(shù)學試題的證明及其本質的挖掘為例

☉北京教育學院朝陽分院白雪峰

學生的幾何素養(yǎng)是指學生在解決具有一定背景的問題的過程中，面對不同形式的幾何對象，以及在使用適當?shù)膸缀沃R和技能進行探究過程中所表現(xiàn)出的幾何思維水平、幾何推理能力和應用能力.［1］幾何推理能力在國際數(shù)學教育界被一致視為基礎且重要的能力之一，在平面幾何教學中，教師要特別重視幾何直觀和多樣表征對于學生幾何學習的影響，關注圖形直觀對于學生理解幾何推理過程的重要價值，從而不斷發(fā)展學生的幾何推理能力.［2］

下面筆者以2014年北京市中考數(shù)學第24題的證明及其本質的挖掘為例，談談通過改變問題已知條件，探求幾何圖形本質，拓寬幾何思維空間，引導學生透過問題的證明和拓展過程，明晰幾何問題內涵，領悟幾何問題本質，以此發(fā)揮幾何教學育人功能的實踐與思考.［3］

一、原中考試題的解答及其分析

在正方形ABCD外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點F.

（1）依題意補全圖1；

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB、FE、FD之間的數(shù)量關系，并證明.

圖1

圖2

本題的（1）和（2），利用軸對稱圖形、等腰三角形的性質等知識，是比較容易得到答案的，這兩問的主要目的是讓考生認識和熟悉試題的已知條件、圖形特征，并為解決（3）鋪路.本題重點是（3），需要先猜想出結論，然后還要證明結論的正確性，這也是本題的難點所在.直接解決（3），并挖掘圖形和問題的本質特征，將問題進行變化和一般化推廣.

解：（1）和（2）略.

（3）猜想：FE2+FD2=2AB2.

證明：如圖3，連接AE、BF和BD.

由軸對稱性質可得：

FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.

所以A、F、B、D四點共圓.

在正方形ABCD中，

在Rt△BFD中，

由勾股定理得BF2+FD2=BD2.

所以FE2+FD2=2AB2.

圖3

圖4

點評反思：回顧（3）的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)本問的結論只與正方形ABCD中的等腰直角△BAD有關，而與等腰直角△BDC無關，因此，可以去掉等腰直角△BDC，從而可以將圖3變成圖4.

筆者認為，在平時的幾何教學中，教師還要進一步引導學生進行探究，將上述問題的已知條件弱化，其結論是否還能成立或結論會發(fā)生怎樣的變化？

事實上，通過研究不難發(fā)現(xiàn)，我們可以將本問題變化到更一般的情形，即將已知條件中的△BAD為等腰直角三角形改變?yōu)椤鰾AD為等腰三角形，原問題的結論只會發(fā)生細微變化，同樣也是一個比較漂亮的結論.

二、原中考試題的變化

下面，我們先將等腰直角三角形變化為一個特殊的等腰三角形，即等邊三角形，然后將其變化到一般的等腰三角形的情形.

變化問題1：

已知：在等邊△ABD的外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F.求證：FE2+FD2=AB2+FE·FD.

圖5

證明：如圖5，連接FB、AE.由軸對稱性質可得：

FE=FB，AB=AE=AD，

∠ABF=∠AEF=∠ADF.

所以A、F、B、D四點共圓.

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，

AB=BD.

所以∠BFD=∠BAD=60°.

過點B作BG⊥FD于G.

在Rt△BGF中，∠BFG=60°，∠FBG=30°.

在Rt△BGD中，由勾股定理得：

當△ABD為一般的等腰三角形時，則有下面的問題.

變化問題2：

已知：在等腰△ABD（AB=AD）外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點F.

求證：FE2+FD2=BD2+2FE·FD·cos∠BAD.

（為使結論簡明，我們就不用AB表示BD了.）

證明：如圖6，連接FB、AE.

由軸對稱性質可得：

FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.

所以A、B、D、F四點共圓.

所以∠BFD=∠BAD.

在△FBD中，由余弦定理得；

BD2=BF2+FD2-2BF·FD· cos∠BFD.

所以FE2+FD2=BD2+2FE·FD· cos∠BAD.

當∠BAD=60°時，F(xiàn)E2+FD2=BD2+FE·FD；

當∠BAD=90°時，F(xiàn)E2+FD2=BD2=2AB2；

當∠BAD=120°時，F(xiàn)E2+FD2=BD2-FE·FD；

……

圖6

從以上的特殊情況可以知道，原中考試題是上述特殊情況之一.

反思上述問題已知條件的改變過程可以看到，從正方形到等腰直角三角形，再到等邊三角形，最后變化為等腰三角形，所得結論也隨之更加一般化，但問題論證的基本過程和基本方法是一致的，其中的不變之處就是A、B、D、F四點共圓，只要能抓住這一問題解決的根本，也就掌握了本問題的實質.

初中平面幾何中的推理證明既是教學中的重點也是難點，筆者認為，在平面幾何學習中，學生最重要的任務是學會用科學、準確的數(shù)學符號語言正確地表達邏輯思維過程.因此，在課堂教學中，教師要通過精良的幾何問題，培養(yǎng)學生通過圖形直觀發(fā)現(xiàn)問題的幾何特征，正確運用圖形記號、數(shù)學符號語言和邏輯推理的方法表達平面幾何中的演繹推理過程.［4］從而指導學生掌握邏輯推理證明的方法，培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力，改變學生單純模仿教科書上幾何推理證明的學習現(xiàn)狀，提高數(shù)學學科的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

1.蘇洪雨.學生幾何素養(yǎng)的內涵與評價研究［D］.上海：華東師范大學，2009.

2.綦春霞，王瑞霖.中英學生數(shù)學推理能力的差異分析［J］.上海教育科研，2012（6）.

3.白雪峰，王敬如.追根溯源揭示本質——一道有背景的中考試題的證明和拓展［J］.中國數(shù)學教育，2015（5）.

4.劉京莉.學會用數(shù)學語言表達幾何邏輯思維過程［J］.數(shù)學通報，2007（5）.Z