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☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤中學(xué)余小飛

解析法“以不變應(yīng)萬(wàn)變”突破中考動(dòng)態(tài)難題

☉浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校鄧達(dá)

☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤中學(xué)余小飛

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出用坐標(biāo)研究圖形的性質(zhì)、探索坐標(biāo)變化與圖形運(yùn)動(dòng)變換之間的變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系.［1］將圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)的方法研究圖形，更好地揭示了數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)的思想內(nèi)涵.［2］動(dòng)態(tài)問(wèn)題囊括了對(duì)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)的考查，是當(dāng)下全國(guó)各地初中學(xué)業(yè)水平考試命題者最愛考查的對(duì)象之一.它往往通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線的移動(dòng)導(dǎo)致整個(gè)圖形跟著發(fā)生變化，而初中生的空間想象能力和幾何直觀感受力并不強(qiáng)，以至于命題者能通過(guò)幾何畫板直觀看出圖形運(yùn)動(dòng)變化的全過(guò)程很難在學(xué)生腦海中呈現(xiàn).因此，很多學(xué)生對(duì)于此類問(wèn)題都有“恐懼感”.解析法通過(guò)數(shù)形結(jié)合在平面直角坐標(biāo)系中，把幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，很好地幫助學(xué)生突破動(dòng)態(tài)這一難點(diǎn).本文著重介紹用解析法突破以下幾類動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

一、等腰三角形

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)D出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

圖1

（1）設(shè)PE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的P和Q，使以P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：第（1）小問(wèn)比較簡(jiǎn)單，就不贅述了.對(duì)于第（2）小問(wèn)，題目通過(guò)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，引起線段PE的長(zhǎng)度和位置都發(fā)生變化，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，使得△PQE在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，形狀和位置都在發(fā)生變化，學(xué)生對(duì)于是否存在這樣的P和Q，使以P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形感到比較棘手.這一問(wèn)到底有幾個(gè)答案呢？學(xué)生心里也沒底.由題意，通過(guò)畫動(dòng)態(tài)定位分類圖討論，［3］經(jīng)歷動(dòng)態(tài)過(guò)程，［4］可以知道，要先根據(jù)點(diǎn)Q與點(diǎn)E的位置分為相遇前、相遇后兩類，然后分別討論P(yáng)Q=PE、PQ=EQ、PE=EQ這三種情況.在此討論的基礎(chǔ)上，分別畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)等腰三角形及三角形相似的性質(zhì)，建立方程，并求解.在此過(guò)程中，由于點(diǎn)、線的移動(dòng)，導(dǎo)致△PQE在不斷變化，大部分學(xué)生很難把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析清楚，并畫出滿足條件的圖形，進(jìn)而較難得到全部答案.基于此，可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，把P、Q、E三點(diǎn)的坐標(biāo)用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示PQ、EQ、PE，再根據(jù)PQ=PE、PQ=EQ、PE=EQ這三種情況得到三個(gè)方程，解一元二次方程即可.

圖2

反思：△PQE在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中時(shí)刻都在發(fā)生變化，給學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的分析帶來(lái)一定的障礙.運(yùn)用解析法，學(xué)生只需把P、Q、E三點(diǎn)的坐標(biāo)用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式建立方程，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，大大減少了對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析.菱形的存在性問(wèn)題也可以根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定轉(zhuǎn)化為平行四邊形、等腰三角形的存在性問(wèn)題，再仿照上述過(guò)程就能解決.

二、平行四邊形

例2（2014年山西卷）綜合與探究：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（-2，3），拋物線W經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)，D是拋物線W的頂點(diǎn).

（1）求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個(gè)單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過(guò)程中，設(shè)?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值？并求出S的最大值.

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線W′的頂點(diǎn)為F，若點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線W′上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

分析：第（1）、（2）兩問(wèn)不作討論.本題的圖形在將拋物線W和?OABC一起經(jīng)過(guò)兩次平移后變得很復(fù)雜.而在復(fù)雜圖形中提煉出與解決問(wèn)題相關(guān)的部分圖形，是學(xué)生很難做到的.第（3）小問(wèn)的常規(guī)思路是根據(jù)平行四邊形的判定“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”和“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”去尋找滿足條件的點(diǎn)，找到大致位置后通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)求出點(diǎn)的坐標(biāo).在復(fù)雜圖形的背景下，第（3）問(wèn)中平行四邊形的雙動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題，學(xué)生很難找全所有的答案.用解析法只需要設(shè)M（x，0），然后把點(diǎn)N的坐標(biāo)用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，然后代入拋物線W′的表達(dá)式，解方程即可求出所有的解.

（3）設(shè)M（x，0），如圖4，從圖3中提煉出△DFM，然后分別過(guò)點(diǎn)D、F、M作對(duì)邊的平行線，交于點(diǎn)N1、N2、N3.

圖4

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）.

反思：通過(guò)兩次平移，題目的圖形變得很復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的審題造成干擾.在此基礎(chǔ)上，設(shè)置M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N是拋物線W′上的動(dòng)點(diǎn)，給學(xué)生對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)分析造成很大的障礙.解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題最好的辦法就是化動(dòng)為靜，［5］第（3）問(wèn)中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)設(shè)M（x，0）時(shí)，把點(diǎn)M看成靜點(diǎn)，而平行四邊形已知三個(gè)點(diǎn)時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)就只有三種情況了，基于這個(gè)想法，只需提煉出圖4，就能做到“化動(dòng)為靜”、“化繁為簡(jiǎn)”.

三、矩形

例3（2015年成都卷）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y= kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC.

圖5

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）.

（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為求a的值.

（3）設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：本題拋物線的表達(dá)式待定，直線l的表達(dá)式由a的值確定，點(diǎn)D是直線l與拋物線的交點(diǎn)，依題意，只能得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為5a，同時(shí)P是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).太多不確定的量，讓絕大多數(shù)學(xué)生望而卻步！解析法可以減少對(duì)動(dòng)態(tài)圖形的分析.根據(jù)矩形的定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形”，第（3）小問(wèn)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)問(wèn)題來(lái)解決：①平行四邊形的存在性問(wèn)題，解決的方法與例2完全類似；②直角三角形的判定，解決方法可用勾股定理的逆定理.

圖6

解：（1）點(diǎn)A（-1，0），直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a.

（3）設(shè)點(diǎn)P（1，m），由題意可知，點(diǎn)A（-1，0），D（4，5a），a＜0，如圖6（從圖5中提煉），與例2的方法類似.

因?yàn)閍＜0，所以m=-4，所以P（1，-4）.

③當(dāng)DP為對(duì)角線時(shí)，可得Q3（6，5a+m），由Q是拋物線上的點(diǎn)，可得Q3（6，21a），則5a+m=21a，m=16a.由DP2= AD2+AP2，得到方程32+（m-5a）2=52+（5a）2+22+m2，整理可得16a2=-2，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

反思：本題中的拋物線和直線的表達(dá)式都是含參數(shù)的，再設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P、Q，動(dòng)態(tài)的量太多，讓學(xué)生不知道應(yīng)該怎么去畫圖分析.通過(guò)把矩形存在性問(wèn)題分解成兩個(gè)問(wèn)題，借助于平行四邊形和直角三角形的判定，用解析法就能很方便地解決問(wèn)題.另外，直角三角形的存在性問(wèn)題可由勾股定理的逆定理建立方程解決，也可用k1·k2= -1來(lái)建立方程解決（這種方法已超綱，但可以給學(xué)有余力的同學(xué)補(bǔ)充）.

四、正方形

圖7

（1）求tanA的值.

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值.若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上？請(qǐng)直接寫出t的值.

分析：第（1）、（2）問(wèn)不再贅述了.對(duì)于第（3）問(wèn)，由點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)，引起線段CQ的長(zhǎng)度，以及PQ的位置和長(zhǎng)度不斷發(fā)生變化，進(jìn)一步導(dǎo)致正方形QCGH與正方形PQEF的形狀與大小也發(fā)生變化.在此基礎(chǔ)上設(shè)問(wèn)：“正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上”，大部分學(xué)生直接放棄，對(duì)“一個(gè)正方形的頂點(diǎn)落在另一個(gè)正方形的邊上”的內(nèi)涵是什么不理解，尤其是當(dāng)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)時(shí)，作不出相應(yīng)符合要求的位置圖形，失去了圖形的直觀性之后喪失了繼續(xù)探究的信心.用解析法可以減少對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析.

圖8

（3）如圖8，建立平面直角坐標(biāo)系，AP=CQ=5t，AM= 4t，PM=3t.作PM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥AC于點(diǎn)N，可證△PMQ≌△QNE，得PM=QN=3t，MQ=EN=9-9t，HQ=5t，則直線HQ、GC、HG的解析式分別是x=9-5t、x=9、y=5t，點(diǎn)E、F、P的坐標(biāo)分別是（9-2t，9-9t）、（7t，9-6t）、（4t，3t）.當(dāng)點(diǎn)E（9-2t，9-9t）在正方形QCGH的邊上時(shí)，有9-2t=9-5t，9-2t=9，9-9t=5t，其中符合題意的只有一解；當(dāng)點(diǎn)F（7t，96t）在正方形QCGH的邊上時(shí)，有9-6t=5t，9-5t=7t，7t=9，其中符合題意的解有；當(dāng)點(diǎn)P（4t，3t）在正方形QCGH的邊上時(shí)，有9-5t=4t，9=4t，3t=5t，其中符合題意的只有一解t=1.

五、圓

圖9

（1）直接寫出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t和a的代數(shù)式表示）；

（2）連接AM，若經(jīng)過(guò)時(shí)間t，存在△AOM與△CMN能夠相似，求出t和a的值；

（3）當(dāng)a=5時(shí)，以N點(diǎn)為圓心，MN為半徑作⊙N.請(qǐng)直接寫出在運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，⊙N與矩形ABCO的其中一邊所在直線相切時(shí)t的值.

分析：本題是2016年浙江省衢州市中考調(diào)研卷的壓軸題，筆者參與批改.本題第（1）問(wèn)的得分情況較好，第（2）問(wèn)有部分學(xué)生漏掉一個(gè)答案，第（3）問(wèn)，筆者所批改的所有試卷當(dāng)中，少部分學(xué)生能得到兩三個(gè)答案，滿分卷只有十來(lái)份.究其原因，⊙N的圓心N在運(yùn)動(dòng)，半徑MN的長(zhǎng)度也在發(fā)生變化，尤其是“⊙N與矩形ABCO的其中一邊所在直線相切”，情況較多，給學(xué)生的畫圖分析帶來(lái)很大的困難，導(dǎo)致比較優(yōu)秀的學(xué)生答不完整.根據(jù)“直線與圓的相切的判定定理”，當(dāng)d=r時(shí)，即圓心N到矩形四邊所在直線的距離等于MN的長(zhǎng)度時(shí)，就能完成第（3）問(wèn)的解答.運(yùn)用解析法，能很好地做到這一點(diǎn).

（3）當(dāng)a=5時(shí)，M（t，0），N（8-4t，3t），MN2=（8-5t）2+（3t）2=34t2-80t+64.

④當(dāng)⊙N與AB相切時(shí)，MN2=（6-3t）2，25t2-44t+28=0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

通過(guò)用解析法解決上述幾種動(dòng)點(diǎn)類型的存在性問(wèn)題可以看出，當(dāng)由點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致整個(gè)圖形發(fā)生變化，很難畫出符合題意的圖形時(shí)，解析法通過(guò)“化動(dòng)為靜”、“化繁為簡(jiǎn)”可以很好地幫助學(xué)生解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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