☉江蘇張家港市鳳凰中學(xué) 楊維娟
小議外延知識(shí)教學(xué)實(shí)踐——以特殊不等式解法探索為例
☉江蘇張家港市鳳凰中學(xué)楊維娟
眾所周知,初中數(shù)學(xué)存在一定的考查知識(shí)外延化,即以教材中的基本知識(shí)為本,擴(kuò)散輻射到一定難度的外延知識(shí).這些外延知識(shí)的學(xué)習(xí)依賴于探究性教學(xué)的實(shí)踐,依賴于教師給出的教學(xué)設(shè)計(jì).有時(shí)常常聽(tīng)到同行抱怨中考應(yīng)試中,哪些知識(shí)不在考綱范圍內(nèi)、超綱、不要求等,筆者認(rèn)為這些想法并不可取,只要是可以通過(guò)已經(jīng)掌握的知識(shí)解決的新知識(shí),都不屬于超綱范圍,因此加強(qiáng)數(shù)學(xué)外延知識(shí)的教學(xué)成為優(yōu)秀學(xué)生更上層樓的關(guān)鍵.
如何設(shè)計(jì)外延知識(shí)的教學(xué)呢?如何梳理相關(guān)的外延性知識(shí)呢?既需要多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),也需要自身對(duì)于問(wèn)題新視角的思考與開(kāi)發(fā).筆者以特殊不等式解法為例,進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā).解不等式是學(xué)生必須掌握的工具性知識(shí),是初中數(shù)學(xué)必考之重點(diǎn),其聯(lián)系著各種數(shù)學(xué)知識(shí),體現(xiàn)著知識(shí)的橋梁作用.隨著教育的改革和創(chuàng)新,對(duì)這部分知識(shí)的考查要求也隨之加大.在教改和課改的大浪潮中,初中不等式這部分知識(shí)點(diǎn)正不斷地與高中“不等式的解”接軌.在題目中它常常會(huì)結(jié)合絕對(duì)值和根式等與之相關(guān)的內(nèi)容來(lái)考,使題目的難度加大.考生對(duì)于這類大難度的題無(wú)從下手,卻苦于無(wú)參考資料.下面將比較系統(tǒng)地總結(jié)該類特殊不等式的題型,并且給出比較完善的解法,以供考生和同行參考.
類型一:形如|ax+b|≤c或|ax+b|≥c(a、b、c為實(shí)數(shù),且a≠0且c≥0).
問(wèn)題1:解不等式:(1)|2x+1|>5;(2)|2x+1|<5.
分析:(1)由題意,一個(gè)整式的絕對(duì)值要大于5,有兩種情況,一是這個(gè)整式的值大于5,另一個(gè)是這個(gè)整式的值小于-5.這樣就可以把這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化成解兩個(gè)一般的不等式,從而求出答案.(2)一個(gè)整式的絕對(duì)值要小于5,即這個(gè)整式的值在-5到5之間,也就轉(zhuǎn)化為解一個(gè)一元一次方程了.
解析:(1)依題意,可得2x+1>5或2x+1<-5,解得:x>2或x<-3.
(2)依題意,可得-5<2x+1<5,即2x+1>-5且2x+1<5,解得-3<x<2.
類型二:形如|x+a|≥|x+b|或|x+a|≤|x+b|(a、b為實(shí)數(shù)).
問(wèn)題2:解不等式:(1)|x+2|≥|x+1|;(2)|x+2|≤|x+1|.
分析:(1)根據(jù)絕對(duì)值的定義,不等式可變形為|x-(-2)|≥|x-(-1)|,它表示點(diǎn)x到點(diǎn)-2的距離大于或等于點(diǎn)x到點(diǎn)-1的距離,再通過(guò)數(shù)軸可以分析出答案.(2)與上面的同理,也能得出答案.
解析:(1)不等式可變形為|x-(-2)|≥|x-(-1)|,由絕對(duì)值的定義可得x≥
(2)不等式可變形為|x-(-2)|≤|x-(-1)|,由絕對(duì)值的定義可得x≤
提示:絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)中的重要概念,將絕對(duì)值與不等式結(jié)合,賦予了不等式全新的解決方式.學(xué)生能解決諸如ax+b>c的類型,也能理解|x|>a的幾何意義,將兩者結(jié)合產(chǎn)生的帶有絕對(duì)值符號(hào)的不等式成為初中考綱之內(nèi)知識(shí)的延伸,對(duì)這種外延知識(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué),有助于學(xué)生站在更高的角度去理解絕對(duì)值,將整體性思想的介入體現(xiàn)得淋漓盡致,在思想層面提高了學(xué)生對(duì)于教材內(nèi)知識(shí)的理解.
解析:(1)把不等式左、右兩邊分別平方,得2x+1>9,解得:x>4.
分析:眾所周知,絕對(duì)值和根式的值都是大于或等于0的,所以我們可以對(duì)不等式左、右兩邊分別平方,把絕對(duì)值符號(hào)和根號(hào)都去掉,去掉后發(fā)覺(jué)不等式左、右兩邊的4x2可以消去,從而轉(zhuǎn)化為我們能夠解的一元一次不等式.
提示:這里筆者在原有方向一和方向二的基礎(chǔ)上,將無(wú)理根式與絕對(duì)值融合,結(jié)合不等式,顯然教師將學(xué)生對(duì)于不等式解決的難度提升到一個(gè)新的層面,基于初中數(shù)學(xué)最基本的三個(gè)知識(shí)點(diǎn):絕對(duì)值、無(wú)理根式、不等式,將教材內(nèi)的知識(shí)進(jìn)行了外延拓展,大大提高了學(xué)生對(duì)于應(yīng)試以上要求不等式的理解,也站在了更高的視角學(xué)會(huì)了對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,加深了知識(shí)間相互穿插、融合使用的能力.當(dāng)然,上述這些特殊的不等式的解答,需要在特定條件下來(lái)進(jìn)行,而特定條件有時(shí)是很明顯的,甚至是已知的,有時(shí)是隱蔽的,要解決此類題型還要靠我們?cè)诮虒W(xué)和研究中不斷整理、總結(jié),才能得心應(yīng)手.
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