楊凱明

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)要扎根于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)。除了要考慮所教內(nèi)容的顯性知識，更要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并重視數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重用數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)和帶動(dòng)具體知識內(nèi)容的教學(xué)，從而讓學(xué)生在意義理解中建構(gòu)知識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 除法 線段圖

【教前思考】

“植樹問題”是人教版教材五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課應(yīng)向?qū)W生滲透建模、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法。教師在教學(xué)中，往往要通過現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握植樹問題的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實(shí)際問題。

很多一線教師對這節(jié)課進(jìn)行了有效的實(shí)踐，基本流程如下。

第一環(huán)節(jié)：出示“同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？”畫線段圖來表示題意，發(fā)現(xiàn)100米太長，很難表示出來。怎么辦呢？把“100米”改成“20米”，這樣為研究問題提供了方便，也體現(xiàn)“化繁為簡”的思想。

第二環(huán)節(jié)：突出線段圖的教學(xué)，運(yùn)用教具幫助學(xué)生直觀理解植樹問題的數(shù)學(xué)模型。展示學(xué)生不同的圖示，在理解了“間隔”的意義后，讓學(xué)生說說需要栽幾棵樹。請學(xué)生在黑板上用學(xué)具樹擺一擺，理解“與棵數(shù)一一對應(yīng)的間隔數(shù)”，討論得出棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。再讓學(xué)生在“100米”上加以驗(yàn)證，從而建立起一條線段兩端都種這類植樹問題的基本數(shù)學(xué)模型：距離÷間距=棵數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。對于一端種、一端不種和兩端都不種兩種情況，繼續(xù)通過畫線段圖的方法幫助學(xué)生分析、理解，運(yùn)用教具，抓住棵數(shù)和間隔數(shù)之間一一對應(yīng)的關(guān)系，找出一般規(guī)律來解決問題。即一端種，一端不種：棵數(shù)=間隔數(shù)；兩端都不種：棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

第三環(huán)節(jié)：以“植樹問題”為背景幫助學(xué)生認(rèn)識電線桿問題、路燈問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

思考：上面的教學(xué)過程按照“生活原型—找到規(guī)律—應(yīng)用”的思路展開，重視規(guī)律的生成和運(yùn)用。在解決“植樹問題”時(shí)，教師往往要求學(xué)生熟背公式，然后變化問題情境訓(xùn)練解題技能。學(xué)生的理解和記憶的任務(wù)很重，在教學(xué)過程中，學(xué)生首先要理解以下四個(gè)概念：距離（20米）、間距（5米）、間隔數(shù)（4個(gè)）、棵數(shù)（5棵），要掌握“距離、間距與間隔數(shù)”和“間隔數(shù)與棵數(shù)”之間的關(guān)系，能運(yùn)用三種情況，即兩端都種、一端種，一端不種和兩端都不種。在解決問題時(shí)，學(xué)生最困難的還是識別“植樹問題”的類型，要把幾種情況與數(shù)量關(guān)系一一對應(yīng)起來。

基于以上的認(rèn)識，我們能不能從數(shù)學(xué)的源頭來思考“植樹問題”的教學(xué)呢？“植樹問題”是與除法有關(guān)的，而除法又是從平均分而來。那么，我們是否可以從除法的意義入手，從點(diǎn)和段之間的關(guān)系來研究植樹問題。在著名特級教師俞正強(qiáng)老師的引領(lǐng)下，筆者在“俞正強(qiáng)名師網(wǎng)絡(luò)工作室”研修活動(dòng)中，就此進(jìn)行了實(shí)踐。

【課堂實(shí)錄】

一、準(zhǔn)備練習(xí)

20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？

師：你會(huì)算嗎？

生：20÷5=4（段）。

師：為什么用除法？

生：總量是20，每份是5，要求20里面有幾個(gè)5，用除法解決。

生：平均每5米一段。

師：平均分的事情，所以用除法。（板書：平均分）

師：你能把這道題用線段圖表示出來嗎？

學(xué)生匯報(bào)，師示范并提問：分成了幾段？

（評析：把“植樹問題”作為用除法解決問題的一種特殊情況，從除法的意義入手展開教學(xué)，找到學(xué)生知識的最近發(fā)展區(qū)，由易到難，激活學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)。讓“植樹問題”這一復(fù)雜的問題回到知識的“發(fā)生地”，即除法的意義的理解，特別是包含除意義的理解。）

二、例題教學(xué)

出示例題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？

1.學(xué)生獨(dú)立思考。（出現(xiàn)4棵或者5棵的答案）

生：20÷5=4（棵）。

生： 20÷5=4，4+1=5（棵）。

師：你覺得怎么分析能讓同學(xué)們聽得更明白？（引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖）

2.用線段圖分析題意。

生：每隔5米栽一棵，平均分成4段。20除以5等于4，4表示4段，不是4棵。應(yīng)該是4加上1等于5棵。

師：為什么要加上1？

請學(xué)生上講臺來指：從線段圖上看出，平均分成4段，有5棵樹可以種。

師：從線段圖上看，樹是種在哪里的？

生：點(diǎn)上，5個(gè)點(diǎn)就是5棵樹。（用學(xué)具樹擺一擺）

師：樹是種在點(diǎn)上的。20米路，平均分成4段，有5個(gè)點(diǎn)，可以種5棵樹。

師用學(xué)具樹示范：把樹種在點(diǎn)上，體會(huì)點(diǎn)數(shù)與段數(shù)一一對應(yīng)的思想。

3.研究段數(shù)和點(diǎn)數(shù)的關(guān)系。

師：4段有5個(gè)點(diǎn)。1段有幾個(gè)點(diǎn)？2段有幾個(gè)點(diǎn)？3段有幾個(gè)點(diǎn)……

師：點(diǎn)數(shù)和段數(shù)有怎樣的關(guān)系？[點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）=段數(shù)+1]

4.應(yīng)用：把“全長20米的小路”改成“30米”“35米” “40米”“100米”……一共要栽多少棵？

（評析：將“兩端都種”作為“植樹問題”的基本模型，歸納出點(diǎn)數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想?！澳阌X得怎樣分析能讓同學(xué)們聽得更明白”，突出線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生來理解“植樹問題”。讓學(xué)生自己畫一畫、說一說、擺一擺，感受“樹是種在線段圖的點(diǎn)上”，棵數(shù)即點(diǎn)數(shù)。）

三、比較異同

比較這兩題有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

1.20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？

2.在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？

生：都要用到除法，20÷5=4（段）。

生：兩道題目畫的線段圖是一樣的。

生：都是平均分的。

師：不同點(diǎn)呢？

生：第1題求幾段，第2題求幾棵？

師：段數(shù)和棵數(shù)有什么不同？

[評析：通過比較兩道題的相同點(diǎn)（都是20米，每5米一段，可以分成4段），進(jìn)一步溝通植樹問題與除法的意義之間的聯(lián)系。在強(qiáng)調(diào)平均分的同時(shí)，讓學(xué)生明白樹要種在點(diǎn)上。教師追問“段數(shù)和棵數(shù)有什么不同”，抓住點(diǎn)和段的區(qū)別（一一對應(yīng)的關(guān)系），來鞏固段數(shù)和點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）的關(guān)系。]

四、應(yīng)用模型

教師引導(dǎo)學(xué)生看線段圖思考：除了樹可以種在點(diǎn)上，生活中還有什么事情把什么放在點(diǎn)上的？

生：電工在路邊裝路燈時(shí)，路燈就相當(dāng)于放在“點(diǎn)” 上。

教師屏幕出示：在一條全長20米的街道一旁裝路燈，每隔5米裝一盞。一共要裝多少盞路燈？

生：工人叔叔架設(shè)電線桿，電線桿就相當(dāng)于放在“點(diǎn)”上。

教師適時(shí)出示：工人們正在架設(shè)電線桿，相鄰兩根間的距離是200米。在總長4000米的筆直路上，一共要架設(shè)多少根電線桿？

師：我還準(zhǔn)備了一道同學(xué)們沒講到的植樹問題。

出示：5路公共汽車行駛路線全長18千米，相鄰兩站之間的路程都是1千米。一共設(shè)多少個(gè)車站？

提問：在這里誰相當(dāng)于樹，放在“點(diǎn)”上的？

出示情境①：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，結(jié)果路的一端有一幢房子，一共要栽多少棵樹苗？

比較：跟兩端都栽有什么不同？

生：少了一棵，只要種4棵。5減去1等于4棵。

板書：一端栽，一端不栽

點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）=兩端都栽的棵數(shù)-1

出示情境②：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，結(jié)果路的兩端都有房子，一共要栽多少棵樹苗？

引導(dǎo)學(xué)生與兩端都栽的棵數(shù)進(jìn)行比較，得出：5減去2等于3棵。

板書：兩端都不栽

點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）=兩端都栽的棵數(shù)-2

[評析：通過舉例“生活中還有什么事情把什么放在點(diǎn)上的“，不遺余力和學(xué)生一起尋找類似植樹問題的實(shí)例，借助類比聯(lián)想讓學(xué)生自主建構(gòu)模型，清晰對植樹問題的認(rèn)識。在“兩端都種”模型的基礎(chǔ)上，引出兩個(gè)具體情境（一端栽，一端不栽和兩端都不栽），分別用“5-1”和“5-2”的方法得出結(jié)果]。

五、鞏固練習(xí)

練習(xí)一：學(xué)校里有一條長60米的走廊，計(jì)劃在走廊一旁擺花，每隔3米擺一盆。

（1）如果兩端都各擺一盆花，那么共需多少盆花？

（2）如果只有一端擺，那么共需多少盆花？

（3）如果兩端都不擺，那么共需多少盆花？

練習(xí)二：一根木頭長15米，每5米鋸一段，需要鋸幾次？

【思考】

“植樹問題”本質(zhì)上是除法的問題，它只是除法的意義在生活中的延伸。學(xué)生借助現(xiàn)實(shí)中的生活情境，建立“植樹問題”的表象，通過畫圖，直觀地理解段數(shù)和點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，從而將“植樹問題”納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。俞正強(qiáng)老師認(rèn)為：平均分有兩種，一種是完全平均分（如10÷2），帶來段的應(yīng)用和點(diǎn)的應(yīng)用，像行程問題、工程問題（關(guān)于份數(shù)和每份數(shù)的）都是段的應(yīng)用。而植樹問題、裝路燈、鋸木頭等都是平均分中點(diǎn)的問題。另一種是不完全平均分（如9÷2），即有余數(shù)的除法，用來解決如租船等有余數(shù)的除法。

這種按“理解平均分的意義——意義應(yīng)用”展開的教學(xué)，彰顯了學(xué)生學(xué)的價(jià)值，再不用像傳統(tǒng)教法那樣承載那么重的記憶負(fù)擔(dān)。其一，“植樹問題”在小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系里不是孤立存在的，把“20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？”和“在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？”聯(lián)系在一起進(jìn)行教學(xué)，正是為了喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，以完善對平均分的認(rèn)識。我們可以這樣理解，例題是對準(zhǔn)備題的生活應(yīng)用。其二，抓住“兩端都種”（研究點(diǎn)比段多1），以它為模型，順勢帶出另外兩種“植樹問題”的解決方法，一端種，一端不種就是在兩端都種的基礎(chǔ)上減1，兩端都不種就是在兩端都種的基礎(chǔ)上減2。

我們把“植樹問題”扎根于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，通過猜想、驗(yàn)證、舉例、判斷等活動(dòng)，逐步建構(gòu)模型。換一個(gè)角度看待問題，讓學(xué)生理解重點(diǎn)，自己解決問題、建構(gòu)知識。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞正強(qiáng).小學(xué)數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（浙江省義烏市江濱小學(xué) 322000）