陳善信

[摘 要] 系統(tǒng)思維是重要的思維方式，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中堅(jiān)持系統(tǒng)思維，既符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也有助于有效教學(xué)關(guān)系的構(gòu)建. 系統(tǒng)思維意味著教師的教學(xué)要關(guān)注一個(gè)周期（一學(xué)期、一學(xué)年甚至是三學(xué)年）的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，意味著教師需建立明確的教學(xué)主線. 系統(tǒng)思維可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建與問題解決中更好地利用先前經(jīng)驗(yàn)，并形成學(xué)習(xí)思路. 系統(tǒng)思維在新課教學(xué)中宜隱性，在復(fù)習(xí)中宜顯性.

[關(guān)鍵詞] 系統(tǒng)思維；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；解讀

數(shù)學(xué)教學(xué)專家、人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編審章建躍博士明確指出：“數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識需要系統(tǒng)思維. ”什么是數(shù)學(xué)思維？章建躍博士的理解是：“系統(tǒng)思維就是把認(rèn)知對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法. ”筆者在教學(xué)中接受了“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”的教學(xué)理念，同時(shí)從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中梳理出一個(gè)認(rèn)識，那就是初中數(shù)學(xué)教學(xué)一定要堅(jiān)持系統(tǒng)思維. 因?yàn)橹挥袌?jiān)持系統(tǒng)思維，才能將學(xué)生三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成一個(gè)整體，看成一個(gè)過程；也才能將學(xué)生在某一節(jié)課堂上的新知構(gòu)建過程中具體構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的過程，當(dāng)成一個(gè)學(xué)生心智成長、新舊知識相互作用和轉(zhuǎn)換的過程；才能看得出數(shù)學(xué)知識在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的動(dòng)態(tài)性與發(fā)展性. 也只有基于這樣的思維，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的特點(diǎn)與不足也才能尋找到更為清晰的解釋，從而為師生有效的教與學(xué)尋找更好的生長點(diǎn).

系統(tǒng)思維對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的

意義簡析

從學(xué)生的角度關(guān)注系統(tǒng)思維對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，是一個(gè)比較好的研究視角. 以生為本是當(dāng)前的重要教育理念，其主要體現(xiàn)就是關(guān)注學(xué)生在課堂上構(gòu)建知識時(shí)的具體心理過程. 調(diào)查與研究發(fā)現(xiàn)，初中學(xué)生已經(jīng)有了關(guān)注知識系統(tǒng)性的意識，他們在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的時(shí)候一個(gè)重要思考點(diǎn)，就是這些知識與之前知識有哪些聯(lián)系，對后面知識的學(xué)習(xí)可能有什么作用；還有部分學(xué)生（主要是數(shù)學(xué)思維較強(qiáng)的學(xué)生）能夠有意識地去發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中可能存在的共同的思維方式，比如在“分式”與“反比例”（人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第十六章與第十七章）的學(xué)習(xí)中，就有學(xué)生提出：為什么要將這兩個(gè)知識設(shè)計(jì)成前后關(guān)系？還有學(xué)生提出：分式與反比例函數(shù)之間存在著形式上的相似性，存在著數(shù)學(xué)知識關(guān)系角度的隸屬性. 在實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)如果注意到這兩點(diǎn)，那學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的時(shí)候可能就會(huì)輕松一些.

顯然，這是學(xué)生比較初步的系統(tǒng)性思維的體現(xiàn)，反映了初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)重視數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法之間的系統(tǒng)性. 相比較而言，部分初中數(shù)學(xué)教師卻不太關(guān)注學(xué)生的系統(tǒng)思維，更加不注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生系統(tǒng)性思維的培養(yǎng). 而另一方面，在考試評價(jià)中面對學(xué)生不太理想的成績時(shí)，又責(zé)怪學(xué)生不知道融會(huì)貫通，這種看似自相矛盾的現(xiàn)象在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)當(dāng)說還是比較普遍的.

基于這樣的分析，筆者以為，初中數(shù)學(xué)需要切實(shí)關(guān)注學(xué)生的系統(tǒng)思維，同時(shí)提高學(xué)生的系統(tǒng)思維能力. 要做到這一點(diǎn)，教師首先要有整體觀、全局觀，尤其是在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，要有從一冊書、兩學(xué)期的教學(xué)甚至是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，去選擇教學(xué)方法、重設(shè)教學(xué)內(nèi)容等，這樣才能真正達(dá)到從“教教材”向“用教材教”的目的. 筆者的教學(xué)實(shí)踐也表明，這樣的系統(tǒng)性教學(xué)思路，可以讓整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)成為一個(gè)有機(jī)的整體. 教師處于以三年數(shù)學(xué)教學(xué)為時(shí)間軸的任何一個(gè)時(shí)間段，都可以通過回顧與展望的方式準(zhǔn)確判斷即時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的歷程中處于什么樣的地位. 而這樣的教學(xué)思路對學(xué)生的學(xué)習(xí)來說，亦是一件十分有益的事情. 初步具有系統(tǒng)思維特征的初中學(xué)生，在數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建中可以更好地完善自身的系統(tǒng)思維.

系統(tǒng)思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中

的有效實(shí)踐

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，時(shí)刻注意以系統(tǒng)性思維引領(lǐng)自身的數(shù)學(xué)教學(xué)，并且取得了很好的效果，下面具體說明.

以“勾股定理”的教學(xué)為例，這是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)部分學(xué)生又具有最基礎(chǔ)的“勾三股四弦五”的認(rèn)識，還有部分學(xué)生則是基于連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)滿足了前兩個(gè)平方之和等于第三個(gè)數(shù)的平方的特點(diǎn)記住了直角三角形具有的邊的關(guān)系的特征. 這些認(rèn)識都是學(xué)生可貴的前經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際教學(xué)中需要加以充分的運(yùn)用. 與此同時(shí)，更需要關(guān)注的是勾股定理學(xué)習(xí)過程中的系統(tǒng)性思維的運(yùn)用與培養(yǎng). 結(jié)合教學(xué)參考書可以發(fā)現(xiàn)，本章知識遵循著從實(shí)際問題（直角三角形邊長的計(jì)算），到勾股定理，再到勾股定理的逆定理，然后到實(shí)際問題（直角三角形的判定）的順序，并伴以從勾股定理到實(shí)際問題的解決，以及勾股定理逆定理與直角三角形的判定的互逆過程. 這是一個(gè)最基本的系統(tǒng)思維的體現(xiàn)，提醒著教師的教學(xué)要沿著這樣的系統(tǒng)性思路進(jìn)行.

更具體地說，在勾股定理的教學(xué)中，要關(guān)注到這種特殊三角形的重要性質(zhì)，并從性質(zhì)角度認(rèn)識到勾股定理是繼“兩銳角互補(bǔ)”“30度角對應(yīng)邊是斜邊邊長的一半”等性質(zhì)之后的另一個(gè)重要性質(zhì)，因此直角三角形的性質(zhì)又可以成為勾股定理學(xué)習(xí)的另一個(gè)系統(tǒng)性思維的主線. 也就是說，以直角三角形的性質(zhì)為思維主線，可以將此前學(xué)過的性質(zhì)與即將要學(xué)的性質(zhì)串聯(lián)成一個(gè)大的知識串，從而形成一個(gè)知識體系，這樣的體系構(gòu)建對于學(xué)生來說也是系統(tǒng)性思維的一種體現(xiàn).

實(shí)際教學(xué)中，筆者以復(fù)習(xí)直角三角形的性質(zhì)為引入，強(qiáng)調(diào)性質(zhì)作為主線是更全面地構(gòu)建直角三角形認(rèn)識的重要思維線索；然后以畢達(dá)哥拉斯偶爾發(fā)現(xiàn)勾股定理的數(shù)學(xué)史，直接切入對直角三角形（此時(shí)為等腰直角三角形）三邊數(shù)量關(guān)系的研究. 需要指出的是，如教材一樣將圖1中的右圖從左圖中提取出來，原本也是系統(tǒng)思維的一種體現(xiàn).

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，如果不將右圖以陰影的方式凸顯出來，那學(xué)生在觀察左圖時(shí)一般是不會(huì)有大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯那樣的發(fā)現(xiàn)的. 這說明了在初中學(xué)生的思維中，一般還不會(huì)想到從面積的角度去求證直角三角形邊的關(guān)系. 而在教學(xué)中，筆者進(jìn)行了這樣的處理：首先，呈現(xiàn)如圖1中的左圖，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考發(fā)現(xiàn)，這個(gè)時(shí)候直角三角形是最直觀的結(jié)果；其后進(jìn)一步提出問題：能否借助于該圖發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間可能存在的關(guān)系？這個(gè)問題是系統(tǒng)思維中最關(guān)鍵的一個(gè)體現(xiàn)，其指向了三個(gè)因素：一是學(xué)生原有知識體系中關(guān)于直角三角形及其邊的關(guān)系；二是新的關(guān)系即直角三角形三邊關(guān)系的猜想；三是其中可能運(yùn)用到的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與邏輯思維方法. 這三者之間存在著互相影響、互相促進(jìn)的關(guān)系，在教學(xué)中梳理出其中的關(guān)系，即可讓學(xué)生在系統(tǒng)思維的基礎(chǔ)上有效完成勾股定理知識的構(gòu)建.

具體來說包括：（1）從知識體系的角度理清直角三角形三邊關(guān)系與原有知識之間的聯(lián)系. 這個(gè)可以借助于上面提及的“性質(zhì)”這一思維主線來進(jìn)行，學(xué)生回憶到的即有30°直角邊與斜邊的關(guān)系，也有普通三角形兩邊之和大于第三邊的關(guān)系. 同時(shí)學(xué)生還可以借助圖1中的左圖去猜想三邊之間可能存在的定理關(guān)系. 但學(xué)生此時(shí)一般是從簡單的和差關(guān)系來思考的，難以直接想到平方關(guān)系. （2）從數(shù)學(xué)猜想的角度猜想直角三角形的三邊關(guān)系. 數(shù)學(xué)猜想是此前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常常用到的方法，也是數(shù)學(xué)探究的重要環(huán)節(jié)，此處猜想的依據(jù)即為左圖中的面積關(guān)系引導(dǎo)下的直角三角形三邊關(guān)系的猜想. （3）從邏輯推理的角度，將從等腰直角三角形中得出的關(guān)系向一般直角三角形推廣，這也是數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)運(yùn)用. 需要指出的是，在對這三種關(guān)系梳理的過程中，教師最好都要指出此前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的類似情形，以促使學(xué)生有效回憶原有的知識體系并使原有的數(shù)學(xué)思想方法形成正遷移.

以系統(tǒng)思維為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教

學(xué)新理解

在系統(tǒng)思維教學(xué)思路的指引下，包括勾股定理在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程，都體現(xiàn)出了明顯的承上啟下、前后呼應(yīng)的特征，學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的時(shí)候總能有意識地尋找新學(xué)知識與原有知識之間的關(guān)系，無論是在數(shù)學(xué)情境中構(gòu)建知識，還是在實(shí)際問題中去解決問題，學(xué)生都會(huì)分析判斷：今天這個(gè)數(shù)學(xué)概念的建立過程與以往哪個(gè)數(shù)學(xué)概念有類似的地方；一個(gè)問題的解決需要哪些其他問題的解決；這個(gè)數(shù)學(xué)問題與某個(gè)數(shù)學(xué)問題之間是否存在共性等. 筆者以為，這些表現(xiàn)都是系統(tǒng)思維作用的結(jié)果.

綜上所述，以系統(tǒng)思維作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要思路，可以促進(jìn)有效教學(xué)的實(shí)現(xiàn)，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中采用隱性的系統(tǒng)教學(xué)思路，可以促進(jìn)學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識時(shí)更注重系統(tǒng)性；在階段性復(fù)習(xí)或總復(fù)習(xí)中將隱性的系統(tǒng)思維角度顯性化，有助于學(xué)生高效理清數(shù)學(xué)知識之間的脈絡(luò). 因此，系統(tǒng)思維確應(yīng)如章建躍博士所說的那樣，可以引導(dǎo)師生教學(xué)既見樹木，又見森林.