吳延雷
摘 要:數(shù)學(xué)的美在數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中展現(xiàn)給人們數(shù)學(xué)的美,如同音樂(lè)的美妙旋律,漂亮精美畫(huà)作一樣,以不同的形式將美展示出來(lái).通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美的研究,希望更多的人能關(guān)注數(shù)學(xué)美的發(fā)展,體味數(shù)學(xué)的魅力,同時(shí)通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的研究希望對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)工作起到幫助作用.
關(guān)鍵詞:對(duì)稱(chēng)美;數(shù)學(xué)研究;中學(xué)數(shù)學(xué)
一、對(duì)稱(chēng)性起源
世界萬(wàn)物都是對(duì)立統(tǒng)一的,都包含有矛盾的兩個(gè)方面,這兩個(gè)方面是對(duì)立的.同一種包含有對(duì)立和對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)反映在數(shù)學(xué)上就是對(duì)稱(chēng)性.
早在遠(yuǎn)古時(shí)期,人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了對(duì)稱(chēng)性,注意到的是普遍存在于自然界的空間對(duì)稱(chēng),例如,鏡像對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)等.隨著人力文明的發(fā)展,對(duì)稱(chēng)性漸漸地融入人類(lèi)生活的方方面面.在建筑、音樂(lè)、文學(xué)等領(lǐng)域都得到了充分體現(xiàn),建筑方面:北京紫禁城、古羅馬斗獸場(chǎng)等;音樂(lè)中的交響曲;文學(xué)中的眾多古詩(shī)詞,如“明月松間照,清泉石上流.”對(duì)稱(chēng)性正式進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域大約是在古希臘時(shí)期:化學(xué)中的分子對(duì)稱(chēng);物理學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性;數(shù)學(xué)中的幾何對(duì)稱(chēng)、函數(shù)對(duì)稱(chēng)等.
二、對(duì)稱(chēng)的概念
所謂對(duì)稱(chēng),是指組成某種事物或?qū)ο蟮膬刹糠值膶?duì)等性,是統(tǒng)一性的特殊表現(xiàn).當(dāng)然,這里所講的對(duì)稱(chēng)主要包含兩個(gè)方面的內(nèi)容,一是視角情況下的圖形,這集中體現(xiàn)了一些函數(shù)的坐標(biāo)變量關(guān)系,這種圖形比較直觀;另外是關(guān)于數(shù)學(xué)概念與定理方面的對(duì)稱(chēng)思想.在數(shù)學(xué)中,用自同構(gòu)對(duì)應(yīng)籠統(tǒng)的來(lái)解釋對(duì)稱(chēng)性.一般的,設(shè)集合S有一個(gè)到自身的變換f,S的元素之間定義了某種關(guān)系“*”,a,b∈S在變換f之下的像a′、b′∈S,如果a、b之間具有關(guān)系“*”,則a′、b′之間仍保持關(guān)系“*”,即a′*b′就稱(chēng)變換f是集合S關(guān)于關(guān)系“*”的一個(gè)自同構(gòu)對(duì)應(yīng).設(shè)S是一個(gè)給定的集合,P是S的一個(gè)子集,如果S有一個(gè)自同構(gòu)對(duì)應(yīng)f,使得對(duì)p的任意元素x,仍有f(x)∈P,則稱(chēng)集合P是對(duì)稱(chēng)的.在幾何學(xué)中,對(duì)稱(chēng)是圖形的一種性質(zhì)或指兩個(gè)合同圖形間一種特殊位置關(guān)系,包括中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、平面對(duì)稱(chēng)三種.
三、數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)性主要內(nèi)容
對(duì)稱(chēng)在藝術(shù)、自然界、科學(xué)上的例子是屢見(jiàn)不鮮的,自然界的對(duì)稱(chēng)可以從亞原子微粒結(jié)構(gòu)到整個(gè)宇宙結(jié)構(gòu)的每一個(gè)尺度上找到。在中學(xué)數(shù)學(xué)中,對(duì)稱(chēng)性最直觀的表現(xiàn)是幾何圖形,但對(duì)稱(chēng)不僅表現(xiàn)在幾何圖形上,在數(shù)學(xué)表達(dá)式中也大量存在,多項(xiàng)式存在對(duì)稱(chēng)性,函數(shù)的奇偶性同樣是對(duì)稱(chēng)的體現(xiàn),在曲線與方程中同樣也存在對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.下面就介紹一下數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng).