張鶴

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵在哪里？在當(dāng)前，普遍存在的依賴大題量的數(shù)學(xué)練習(xí)，以此提高數(shù)學(xué)成績(jī)的做法是不是違背數(shù)學(xué)教育的目的呢？

我們知道，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)很大的程度上是要通過(guò)你的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特征，并能夠用這種學(xué)科的思維方法理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高起決定作用的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平的提高，在這一點(diǎn)上，作為數(shù)學(xué)教師要有充分的認(rèn)識(shí)。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常定位為重點(diǎn)內(nèi)容、核心內(nèi)容、主軸內(nèi)容，它是由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，由此確立起運(yùn)動(dòng)變化的觀念，并為研究?jī)蓚€(gè)變量間的相互依賴的變化規(guī)律，建立起一套基本理論的基本方法。函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的紐帶，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)，可以站在一個(gè)統(tǒng)一、較高的角度上去處理其中的許多基本問(wèn)題。函數(shù)又是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題以及生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)模型，還是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的必備基礎(chǔ)。

函數(shù)在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中盡管是講的比較多的內(nèi)容，但這部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，不管是高一的學(xué)生還是高三的學(xué)生，學(xué)習(xí)的效果總是不佳，原因何在呢？教學(xué)中筆者經(jīng)常能看到一些教師在講授函數(shù)的時(shí)候，講不出函數(shù)這部分的味道。函數(shù)的學(xué)習(xí)之所以最令學(xué)生們頭疼，關(guān)鍵是學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)方法，沒(méi)有學(xué)會(huì)用函數(shù)的思維去思考問(wèn)題。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，教師有很大責(zé)任。

在函數(shù)的教學(xué)中如何體現(xiàn)函數(shù)的思維特征呢？其關(guān)鍵是要在教學(xué)中揭示出函數(shù)的自變量是如何引起其對(duì)應(yīng)的因變量的變化的。教師要指導(dǎo)學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)掌握以下思維方法：在明確函數(shù)的自變量是誰(shuí)的前提下，分析函數(shù)的自變量是如何變化的，也就是自變量的代數(shù)特征是什么，再分析自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系。教學(xué)中對(duì)學(xué)生的要求是首先能用描述性語(yǔ)言把函數(shù)性質(zhì)表達(dá)出來(lái)，這是最重要的。因?yàn)檫@種自然語(yǔ)言的描述是反映學(xué)生的思維的，只有真正明白的學(xué)生，才能夠依據(jù)函數(shù)的思維特征用函數(shù)的語(yǔ)言表達(dá)出函數(shù)的性質(zhì)。其次就是要能夠用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出剛才所敘述的函數(shù)性質(zhì)，這是為后面進(jìn)行數(shù)學(xué)的推導(dǎo)、演算做準(zhǔn)備的，這個(gè)能力要求對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是最難的。當(dāng)然，作為學(xué)生還要有能力讀懂別人寫的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，這種讀懂也是依據(jù)函數(shù)的思維特征去分析用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)出來(lái)的函數(shù)性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，要能夠通過(guò)函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)特征及其數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言形式，揭示出這個(gè)函數(shù)的圖像特征。在有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題中，已知條件常常是先給出這個(gè)函數(shù)的圖像特征或用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出函數(shù)性質(zhì)。教學(xué)中要防止那種沒(méi)有函數(shù)思維含量的結(jié)論性或操作性的教學(xué)，如根據(jù)函數(shù)的圖像特征去畫圖像;或從已知的函數(shù)圖像中僅是能夠直觀地讀出和計(jì)算求值有關(guān)的性質(zhì)，而不會(huì)從函數(shù)思維的層面上去理解函數(shù)的圖像所承載的函數(shù)的性質(zhì);或?qū)τ脭?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言所表達(dá)的函數(shù)性質(zhì)看不出來(lái)、看不懂，只是會(huì)給函數(shù)的自變量代一些特殊值去求值，作出比較粗糙的判斷。實(shí)際上，遵循函數(shù)思維特征的教學(xué)應(yīng)該是如果給出某個(gè)函數(shù)的圖像特征，就要能夠把幾何特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)的代數(shù)特征。如函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）為中心對(duì)稱，其代數(shù)特征是這個(gè)函數(shù)的自變量取和為2a的兩個(gè)值的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值的和為2b，并據(jù)此用符號(hào)語(yǔ)言寫出這條性質(zhì)，即f（x）+f（2a-x）=2b;如果是用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的性質(zhì)，就應(yīng)該讓學(xué)生先讀懂符號(hào)語(yǔ)言，在說(shuō)出其圖像的幾何特征。如函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）+f（3-x）=2，這個(gè)等式就意味函數(shù)y=f（x）取了和為2的兩個(gè)自變量，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的和為2，從幾何的角度看，就是函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱。

平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中獨(dú)具特色的一個(gè)部分，它的核心思想是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題。學(xué)生在解決有關(guān)解析幾何的問(wèn)題時(shí)，最大的困難是在思維層面上還沒(méi)有真正理解和掌握平面解析幾何的思維特征，對(duì)這門學(xué)科在思維層面的認(rèn)識(shí)存在著誤區(qū)。如很多學(xué)生認(rèn)為平面解析幾何的用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題就是計(jì)算。我們也的確常?？吹胶芏鄬W(xué)生在解決有關(guān)平面解析幾何問(wèn)題的時(shí)候，只要有兩個(gè)曲線方程，如直線方程和圓錐曲線方程，就要聯(lián)立，代入消元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，再計(jì)算判別式的值、寫出根與系數(shù)的關(guān)系等，一直做到做不下去為止。在一些教師的指導(dǎo)中，給學(xué)生們傳授的得分“秘籍”也是將已知條件中的方程能“聯(lián)立”就“聯(lián)立”，能算到哪里就是哪里，總可以得到一些分?jǐn)?shù)等。

實(shí)際上，解決平面解析幾何問(wèn)題首先要做的就是要將幾何對(duì)象代數(shù)化。平面解析幾何研究的對(duì)象是幾何元素，而依據(jù)幾何學(xué)的學(xué)科觀點(diǎn)、學(xué)科思想，也就決定了研究問(wèn)題的思維特征：就是在用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題之前，要研究幾何對(duì)象的幾何特征。而所謂的幾何特征就是單個(gè)幾何對(duì)象的幾何性質(zhì)或兩個(gè)及以上幾何對(duì)象之間的位置關(guān)系。由于我們面對(duì)的幾何對(duì)象的形式是多種多樣的，有的是以方程的面目出現(xiàn)，有的是以圖形的形式表達(dá)。為此，我們正是通過(guò)幾何對(duì)象的方程、圖形或數(shù)據(jù)等，來(lái)完成幾何對(duì)象的幾何特征的研究，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行將幾何特征的代數(shù)化。這種代數(shù)化能否順利地進(jìn)行，取決于對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征的分析是否準(zhǔn)確和全面。

如有這樣一個(gè)問(wèn)題：直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，求m+k的值。這個(gè)問(wèn)題不少的學(xué)生會(huì)在是否要將直線方程y=kx+1與圓方程x2+y2+kx+my-4=0聯(lián)立而躊躇不前，還有的同學(xué)利用直線y=kx+1與直線x+y=0垂直得出k=-1之后，為如何算出m而苦惱。這些學(xué)生的問(wèn)題都源于要通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果的想法，反而陷入到困境中.符合平面解析幾何思維特征的做法是：條件直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)告訴我們的是直線y=kx+1與圓的位置關(guān)系;條件“M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱”交待了直線y=kx+1與直線x+y=0的位置關(guān)系。即兩條直線垂直，而且直線x+y=0還平分直線y=kx+1上的一條線段，這樣確定直線x+y=0與圓x2+y2+kx+my-4=0的位置關(guān)系就成為思維的焦點(diǎn)，由于線段MN是圓的弦，弦MN被直線x+y=0垂直平分，由此進(jìn)一步分析得出圓x2+y2+kx+my-4=0的圓心在直線x+y=0上。這就是這個(gè)問(wèn)題最本質(zhì)的分析，此時(shí)對(duì)這個(gè)幾何特征的代數(shù)化就是將圓心坐標(biāo)（，）代入到直線方程x+y=0，進(jìn)而得到m+k=0。上述分析的思維主線遵循的就是平面解析幾何的學(xué)科思想，正是在對(duì)兩條直線及與圓之間位置關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，才找到了將幾何對(duì)象代數(shù)化的本質(zhì)做法。

總之，教師的教學(xué)工作就是將人類歷史經(jīng)驗(yàn)的精華即科學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦里的精神財(cái)富，在客觀知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的精神財(cái)富的過(guò)程中，教師“教的意識(shí)”就處于一個(gè)至關(guān)重要的地位。這種“教的意識(shí)”首先就體現(xiàn)在要教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。這里不是說(shuō)學(xué)生不會(huì)思考問(wèn)題，而是針對(duì)學(xué)生不會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去理解數(shù)學(xué)問(wèn)題和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題而言的。我們深知數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用。教師的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)就是要通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的各個(gè)單元知識(shí)所承載的數(shù)學(xué)思維特征，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法去理解數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（作者單位：北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

責(zé)任編輯：趙彩俠

zhaocx@zgjszz.cn