夏 天

(浙江省余姚市第四中學(xué) 315400)

孟德?tīng)柾ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)方法(統(tǒng)計(jì))的引入發(fā)現(xiàn)了分離定律和自由組合定律，為遺傳學(xué)奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為一門(mén)工具學(xué)科，在生物學(xué)中有廣泛應(yīng)用。本文以高中知識(shí)為范疇，介紹數(shù)學(xué)原理在遺傳學(xué)中的應(yīng)用。

1 棋盤(pán)法和分枝法

遺傳概率的計(jì)算常用棋盤(pán)法和分枝法[1]。在單因子雜交實(shí)驗(yàn)和雙因子雜交實(shí)驗(yàn)中，教材中介紹了棋盤(pán)法。但若考慮三對(duì)或三對(duì)以上基因，則因棋盤(pán)格過(guò)多而不宜采用棋盤(pán)法，應(yīng)采用分枝法(圖1)。

圖1 分枝法

2 分步乘法計(jì)數(shù)原理

分步乘法計(jì)數(shù)原理可解決配子類(lèi)型、基因型種類(lèi)和表現(xiàn)型種類(lèi)的計(jì)算問(wèn)題。分步乘法計(jì)數(shù)原理如下：完成一件事需要兩個(gè)步驟(無(wú)論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取)，第1步有m種不同的方法，第2步有n種不同的方法，那么完成這件事：N = m×n種不同的方法。高中數(shù)學(xué)教材給出如下例題：在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類(lèi)RNA分子由100個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果如下：100個(gè)堿基共有100個(gè)位置，從左到右依次在每一個(gè)位置中，從A、C、G、U中任選一個(gè)填入，每個(gè)位置有4種填充方法，則RNA分子種數(shù)為100個(gè)4的乘積，即4100。

在孟德?tīng)柕碾p因子雜交實(shí)驗(yàn)中，F(xiàn)1產(chǎn)生的雌、雄配子各有4種，F(xiàn)2的基因型有9種，F(xiàn)2的表現(xiàn)型有4種。以上數(shù)據(jù)可以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得。對(duì)于基因型為YyRr的F1，產(chǎn)生的雌配子中包含等位基因Y和y之一，以及等位基因R和r之一。因此，相當(dāng)于雌配子有2個(gè)空位，每個(gè)空位各有2種填法，則雌配子的類(lèi)型有4種，即(2×2)；雄配子同理。若有n對(duì)等位基因，雌、雄配子各為2n種。對(duì)于F1自交產(chǎn)生的F2的基因型，先考慮一對(duì)等位基因Y和y，可形成3種不同的基因型：YY、Yy和yy；另一對(duì)等位基因R和r亦可形成3種不同的基因型。這兩對(duì)等位基因可形成9種不同的基因型，即(3×3)。若有n對(duì)等位基因，則可形成3n種基因型。對(duì)于F2的表現(xiàn)型，子葉的顏色有黃色和綠色2種表現(xiàn)型；種子的形狀有圓形和皺形2種表現(xiàn)型。那么，表現(xiàn)型即為4種。若有n對(duì)等位基因(完全顯性)，則能形成2n種表現(xiàn)型。

3 二項(xiàng)式平方的展開(kāi)式

遺傳平衡定律可用二項(xiàng)式平方的展開(kāi)式來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)遺傳平衡的種群，若有一對(duì)等位基因B和b，設(shè)B的基因頻率為p，b的基因頻率為q，則p+q=1。運(yùn)用棋盤(pán)法求得各基因型的頻率。BB的頻率為p2，Bb的頻率為2pq，bb的頻率為q2?？捎洖槎?xiàng)式平方的展開(kāi)式：(p + q)2= p2+2pq+q2=1。由于各代的基因頻率沒(méi)有改變，故各代的基因型頻率也不會(huì)改變。若B和b這對(duì)等位基因位于X染色體，則XBXB的頻率為p2，XBXb的頻率為2pq，XbXb的頻率為q2；XB的頻率為p，Xb的頻率為q。由此，通過(guò)計(jì)算得到如下規(guī)律：對(duì)于X連鎖隱性遺傳病，男性患者XbY為q，女性患者XbXb為q2，由于0q2，故男性患者多于女性患者；對(duì)于X連鎖顯性遺傳病，男性患者XBY為p，女性患者XBXB和XBXb為p2+2pq，由于p=1-q，p2+2pq=1-q2，0

4 組合與二項(xiàng)式定理

圖2 楊輝三角

5 數(shù)學(xué)歸納法

根據(jù)不完全歸納法，求雜合子(Aa)連續(xù)自交n代后Fn中雜合子的比例，可以得到以下結(jié)果：F1中雜合子比例為1/2；F2中雜合子比例為(1/2)2=1/4；F3中雜合子比例為(1/2)3=1/8；F4中雜合子比例為(1/2)4=1/16；則Fn中雜合子比例為(1/2)n。可以用數(shù)學(xué)歸納法證明這一結(jié)論。數(shù)學(xué)歸納法為：證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值no(noεN*)時(shí)命題成立；②(歸納遞推)假設(shè)n = k(k ≥ no，kεN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n = k + 1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從no開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。證明：①當(dāng)n = 1時(shí)，F(xiàn)1中雜合子比例為1/2；②假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，F(xiàn)k中雜合子比例為(1/2)k成立，那么，F(xiàn)k+1中雜合子比例為(1/2)k×1/2= (1/2)k+1，即當(dāng)n = k + 1時(shí)也成立。根據(jù)①和②，可知Fn中雜合子比例為(1/2)n。各子代雜合子比例構(gòu)成等比數(shù)列。用數(shù)學(xué)歸納法還可求得：Fn中純合子比例為1 - (1/2)n；顯性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；隱性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；顯性性狀個(gè)體比例為1/2 + (1/2)n+1；隱性性狀個(gè)體比例為1/2 - (1/2)n+1。