袁志偉

【摘要】數(shù)學基本活動經(jīng)驗是2011版修訂版課標提出的“四基”之一的重要目標，其在課堂實踐層面存在著“虛化”和“泛化”兩種值得注意和警惕的現(xiàn)象?；顒咏?jīng)驗，離不開活動，但學生經(jīng)歷或參與了數(shù)學活動，未必就一定獲得了數(shù)學活動經(jīng)驗。那怎樣的活動才真正利于數(shù)學活動經(jīng)驗的積累？或者，數(shù)學活動又該注意些什么？本文從目標、過程、內(nèi)涵等六個方面做探討和分析。

【關鍵詞】數(shù)學活動經(jīng)驗

活動經(jīng)驗，離不開活動，學生的數(shù)學活動經(jīng)驗是在參與數(shù)學活動過程的基礎上獲得的。學生沒有經(jīng)歷數(shù)學活動，就談不上獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，但經(jīng)歷或參與了數(shù)學活動，未必就一定獲得了數(shù)學活動經(jīng)驗。那么，怎樣的數(shù)學活動有利于經(jīng)驗的積累？或者，經(jīng)驗視角下的數(shù)學活動又該注意些什么呢？

一、 目標要明確

為何有經(jīng)歷（活動）卻不一定有經(jīng)驗，這是一線教師普遍感到困惑也是首先需要厘清的問題?；氐缴钪?，相信我們都有過這樣的經(jīng)歷：“那次我也去了，怎么一點兒印象都沒有？”反思現(xiàn)象背后的原因，這說明要在經(jīng)歷中獲得經(jīng)驗，需要引起思想上的關注，思維上的投入，情感上的體驗。也即活動首先得有明確的目標，漫無目標的活動是難以積累相關活動經(jīng)驗的。因此，作為數(shù)學活動的設計者，教師在備課時應努力擺脫只設計活動，不考慮活動經(jīng)驗積累的問題，應把活動經(jīng)驗的達成作為教學的重要目標之一，在設計活動之初就予以充分考慮。需要提及的是，這樣的目標設定不是空泛的，而是真實具體的。由此，教師在認真梳理教材中有哪些典型題材能分別承載哪些不同數(shù)學活動經(jīng)驗的同時，應根據(jù)課時教學內(nèi)容有重點地確定讓學生積累哪一方面的數(shù)學活動經(jīng)驗，并依據(jù)教學內(nèi)容挖掘數(shù)學活動經(jīng)驗的生長點，使數(shù)學活動成為數(shù)學知識的固著點，活動經(jīng)驗的積累點。只有這樣，數(shù)學活動經(jīng)驗對于教師的教和學生的學而言，才不再是抽象飄緲、不可捉摸的，而是具體鮮活，能夠駕馭的。

如在教學平行四邊形、三角形面積公式的推導時，除要讓學生理解和掌握平行四邊形、三角形面積計算公式，會用公式計算它們的面積外，更為重要的，教師應明確并讓學生獲得這樣的數(shù)學活動經(jīng)驗：在學習新知識、解決新問題時，可以通過轉(zhuǎn)化把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的。積累了這樣的活動經(jīng)驗，學生在學習梯形的面積、圓的面積時，才會借鑒這一經(jīng)驗，并自覺地運用轉(zhuǎn)化思想，通過割、補、拼、移、轉(zhuǎn)等方法把梯形、圓轉(zhuǎn)化為已學過的圖形，探索其面積計算公式，并在隨后的數(shù)學活動中深化、拓展數(shù)學經(jīng)驗。數(shù)學活動是具有數(shù)學教學目標的學生主動參與的學習活動。教師只有在活動前準確把握教學目標，活動中充分調(diào)動學生的認知能力，才能使學生在活動中獲得更多的活動經(jīng)驗，才能真正提升學生的數(shù)學學習能力。

二、 過程要充分

數(shù)學活動經(jīng)驗是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結果。經(jīng)歷數(shù)學活動過程既是積累基本活動經(jīng)驗的基本前提，也是唯一的一條通道。需要提及的是，這里所說的“經(jīng)歷過程”并不僅僅是指看得見、摸得著的、物化了的動手操作的過程，也不僅僅是指讓學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，更為重要的是指讓學生經(jīng)歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等等。基于此，教師在教學中要引導學生在充分感知的基礎上，適時觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、比較，揭示出感性經(jīng)驗背后理性、抽象的數(shù)學經(jīng)驗，讓學生獲取具有概括性、普遍性的數(shù)學知識，積累發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的經(jīng)驗。

例如，教學《長方體和正方體的體積》，筆者引領學生經(jīng)歷了這樣的學習過程——第一層次：拿出12個1立方厘米的正方體，擺放成長方體，可以擺出長、寬、高分別是多少的長方體？說一說，怎樣計算長方體的體積？學生得出：每一行的體積單位數(shù)×行數(shù)×層數(shù)=一共的體積單位數(shù)。第二層次：要求學生仍然用著12個1立方厘米的正方體，擺一擺，并想象出一個體積要比12立方厘米更大的長方體。學生對長方體的體積與從它的一個頂點引出的三條棱之間的關系，有了更清楚的認識。第三層次：出示一個長方體圖，求長方體的體積。學生很快有了自己的理解和感悟：長方體的體積=長×寬×高。第四層次：用字母公式鞏固運用。從這四個層次的活動過程，可以看出“數(shù)學化”的四個步驟：具體操作—表象操作—抽象概括—數(shù)學公式。充分展開的過程，不僅豐富了感覺、知覺的經(jīng)驗，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源，從而實現(xiàn)了操作經(jīng)驗與思考經(jīng)驗、策略性經(jīng)驗的有機融合。這顯然是常見的“擺一擺、總結公式”，動手不動腦的教學所無可比擬的。

三、 內(nèi)涵要豐富

當下的一些數(shù)學活動盡管重視了學生多樣化的“個人體驗”，但卻缺失了應有的“活動內(nèi)涵”，導致學生無法真正獲得有價值的活動經(jīng)驗。數(shù)學活動經(jīng)驗的核心是思維活動的經(jīng)驗，“沒有某種思維的因素便不能產(chǎn)生有意義的經(jīng)驗”。由此，設計數(shù)學活動時，教者除需對活動所蘊含的教育價值、知識間的實質(zhì)性聯(lián)系、學生思維水平和思維路徑作深入的了解外，更需思考所設計的數(shù)學活動是否富有思考意義和討論價值，能否引發(fā)認知沖突，是否具有濃厚情趣并能觸動學生的心靈深處。只有給學生留出足夠的思維空間，不斷提出具有適度挑戰(zhàn)性的問題，并不失時機地加以啟發(fā)和引導，數(shù)學活動才能充分、有效展開，學生也才能夠在思維、情感共鳴的基礎上真正完成活動經(jīng)驗的內(nèi)化和高質(zhì)量的積累。

例如，教學《游戲規(guī)則的公平性》，單純的摸球活動本身并不具備多少數(shù)學意義。那怎樣設計突出數(shù)學本質(zhì)、富有數(shù)學內(nèi)涵的數(shù)學活動呢？以下是一位老師的教學——師：大家認為剛才的游戲還是不公平，現(xiàn)在該怎樣改變袋中的球，才能使游戲變得公平呢？生：紅球和白球的個數(shù)一樣多，游戲就公平了。教師將袋中的紅球和白球調(diào)整為同樣多。師：現(xiàn)在紅球和白球的個數(shù)一樣多了，摸球的結果又可能會怎樣呢？生1：兩種球摸到的次數(shù)應該相等。生2：兩種球摸到的次數(shù)應該差不多。……師：在 規(guī)則公平的情況下摸球的結果到底會怎樣呢？實踐出真知，大家再分小組自己動手試一試。學生進行摸球游戲，教師巡視，學生匯報。師：觀察各小組的活動記錄大家有什么發(fā)現(xiàn)？生：各組的情況也不一樣。有的摸到紅球多一些，有點摸到白球多一些，也有相等的。師：為什么會這樣呢？生：公平只是可能性相同，機會均等，摸球的結果并不一定每次都一樣多，這還得看“運氣”。師：看來游戲規(guī)則公平，只表示雙方贏的機會是均等的，即使在規(guī)則公平的情況下，游戲的結果仍然是“一起皆有可能”！假如我們把各組的結果都匯總起來又會有什么發(fā)現(xiàn)呢？課后有興趣的同學可以自己去探索。

數(shù)學活動的本質(zhì)是思維活動，數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積淀。上例中，活動前的預測，既暴露了學生的真實思維，又幫助學生明晰了隨后活動的目的性和必要性；活動后的比較，則是一種分析方法上的引領和審視視角上的指導。學生在“做”與“思”的結合中，已有經(jīng)驗不斷被激活，有缺陷的經(jīng)驗逐漸被修正，粗糙的經(jīng)驗漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗獲得有效的提升，新生成的數(shù)學活動經(jīng)驗很自然地嵌入學生的經(jīng)驗系統(tǒng)中。

四、 交流要及時

經(jīng)驗是屬于個體的，同一數(shù)學活動由于學生認知、思維方式的不同，不同的學生會形成不同的經(jīng)驗，這是一個方面；另一方面更為一般的情況是雖然學生經(jīng)歷了充分的活動，但學生個體在經(jīng)歷活動過程后所形成的經(jīng)驗往往是零散、膚淺、模糊的。要克服個體數(shù)學活動經(jīng)驗的局限性，要將這些零散、膚淺的經(jīng)驗清晰化、條理化、結構化，在數(shù)學活動后，教師就應及時給學生提供一個合作交流的平臺，這樣做既可以讓學生快樂地分享每一個人獨特的思考與經(jīng)驗，又可以讓個體的活動經(jīng)驗在群體的經(jīng)驗交流中相互補充，相互充實，不斷豐富、發(fā)展。這顯然有利于促進學生對問題的深入理解和深刻感悟，幫助學生完成經(jīng)驗由低層次到高層次的超越，實現(xiàn)經(jīng)驗的優(yōu)化和內(nèi)化。

請看《梯形的面積》教學片段——師：探索平行四邊形、三角形的面積計算公式時，同學們已經(jīng)積累了一定的探索圖形面積的經(jīng)驗，回想一下，都有哪些？生1：把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的。生2：把未知的轉(zhuǎn)化為已知的。師：不錯。今天我們就借助已有的經(jīng)驗來探索梯形的面積。那如何把梯形轉(zhuǎn)化成已學過的圖形呢？（學生思考后動手操作，教師提供充分的活動時間）師：現(xiàn)在交流一下你們是怎樣轉(zhuǎn)化的，說說為什么會這樣想。生：我用兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形，因為探究三角形面積時就是這樣轉(zhuǎn)化的。（該同學的想法得到了大部分同學的認可。）師：你能借助已有的經(jīng)驗并靈活動用，真不錯！其他同學還有別的方法嗎？生：我是這樣轉(zhuǎn)化的（圖1），我把梯形轉(zhuǎn)化成了一個平行四邊形與一個三角形，因為這兩個圖形的面積我們都學過了，只要求出這兩個圖形的面積，加起來就是梯形的面積了。師：這方法怎樣？誰來說說想法？生：這個方法不錯，而且與前面轉(zhuǎn)化的方法不一樣，我沒有想到。師：老師也覺得這方法與眾不同，能有自己獨特的想法，往往就是發(fā)明創(chuàng)造的開始。還有其他想法？生：我還有一種方法（圖2）。師：你為什么這樣想？生：因為探究三角形面積計算公式時，就要這樣的做法（圖3）。師：交流使我們的認識更全面，更深刻了，那這樣不同方法的背后是否又有什么相同的地方的？同學們的討論交流在繼續(xù)……

經(jīng)驗的生成來源于彼此間基于思考的交流和實踐。上例教學的成功恰在于此。上例中，操作活動后，教者為學生搭建了對話交流的平臺，讓學生最大限度地去交流理解、體驗感悟，學生在對話交流中找到了原有經(jīng)驗與新知的聯(lián)系，在比較溝通中達成了對已有經(jīng)驗的改造、生長和建構，學生的數(shù)學活動經(jīng)驗在辨析中去粗取精，不斷豐富、完善和提升。

五、 指導要到位

縱觀當下的數(shù)學課堂，數(shù)學活動得到了前所未有的重視，但學生充分地活動是否就是“自由地”活動呢？答案是否定的。這一方面是因為缺少組織、規(guī)劃、引領的數(shù)學活動，不僅活動本身的效益低下，而且活動經(jīng)驗的積累也往往雜亂低效、無從談起；另一方面，也正如荷蘭數(shù)學家弗蘭登塔爾所言：“在積極倡導學生‘再創(chuàng)造（即通過再創(chuàng)造來學習數(shù)學）的同時，我們也應清楚地指明這種‘再創(chuàng)造應是‘教師指導下的再創(chuàng)造?！碑斎?，這樣的指導顯然不是簡單的越俎代庖，由“幕后”躍居“臺前”。教師應該是智慧的挖掘者，方法的指導者，策略的引領者。應通過精心設計的問題，去點燃思維火花，激發(fā)探究欲望，為學生解疑解惑架設橋梁、提供階梯。應引導學生善于深入地思考問題，幫助學生從復雜的表面現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和抓住事物的規(guī)律和本質(zhì)，從而使學生充分積累“數(shù)學化”的活動經(jīng)驗。

例如，教學執(zhí)教《軸對稱圖形》一課，當學生認識“軸對稱圖形”的特征后，教師出示三角形、五邊形、梯形、平行四邊形、圓這五種圖形，讓學生判斷這些圖形是否是軸對稱圖形。在交流過程中，針對“平行四邊形是不是軸對稱圖形”，課堂上出現(xiàn)了兩種不同的聲音：一種認為是軸對稱圖形，理由是從中間畫一條線，可以把平行四邊形分成形狀大小完全一樣的兩個小平行四邊形；另一種認為不是，理由是對折之后，兩邊的圖形沒有完全重合。兩種意見僵持不下，各不相讓，這對教師的指導提出了挑戰(zhàn)。值得肯定的是，課中教師并沒有作簡單提醒或直接告訴，而是用“想一想，左右兩邊大小一樣是否就一定對稱？看一個圖形是不是軸對稱圖形，關鍵看什么？”這兩個問題去啟發(fā)學生作更為深入的思考，學生在激烈的認知沖突中，在再次深入的思考、爭議、辯論中，逐漸把握了軸對稱圖形概念的關鍵：“對折”和“完全重合”，學生對軸對稱圖形的本質(zhì)形成了新的認識。有效的數(shù)學學習必定是在新問題情境下運用已有的知識經(jīng)驗來成功處理新信息、新問題的活動，而教師的恰當引領則提升了活動的有效性。

六、 反思要跟進

比較眾多專家學者對經(jīng)驗的分析，筆者更為認同劉加霞教授的觀點，也即：經(jīng)驗的獲得需要“領悟”與“轉(zhuǎn)化”，通過參與具體活動直接獲得具體經(jīng)驗；然后對所經(jīng)歷的活動進行回顧、反思等，內(nèi)化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗（最后還要將獲得的經(jīng)驗在解決新問題中進行證實和運用）。由此，當學生的數(shù)學活動經(jīng)驗積累到一定程度后，教師就要引導學生在回顧的基礎上進行深度反思，這樣一方面可以發(fā)揮經(jīng)驗因素在數(shù)學學習中的積極作用，另一方面也能使學生有意識地避免經(jīng)驗因素的消極作用，使積累起來的數(shù)學活動經(jīng)驗能夠更好地為學生所用，并逐漸建立起屬于他們自己的數(shù)學直觀，而這正是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的核心和關鍵所在。

例如，教學“厘米的認識”一課，當學生經(jīng)歷了豐富的動手操作活動獲得了對測量單位的感性認識后，某教師這樣引導：“回想一下，剛才我們是怎樣認識1厘米的？”學生紛紛總結了自己的做法：“我是從米尺上找到1厘米的?！薄拔业氖种讣讓捈s是1厘米?！薄拔抑?厘米有這么長（用手比劃）?！薄拔疫€閉起眼睛想1厘米有多長?！薄案鶕?jù)1厘米的長度，我估計數(shù)學書大約寬18厘米?！薄安挥霉?，測量一下就知道數(shù)學書的寬度?！薄鎸W生的具體經(jīng)驗，教師進一步引導：“同學們回想起了學習1厘米長度的各種活動，誰能完整地說說我們可通過哪些活動來認識厘米？”學生交流后，教師引導學生總結：學習1厘米的活動有認一認（認識1厘米有多長）；比一比（比畫1厘米有多長）；找一找（身體上或生活中的1厘米在哪里）；估一估（估測具體物品長有幾厘米）；量一量（測量物體的長度，并和預估的結果進行比較）。在這里教師十分注重學生經(jīng)歷1厘米認識操作活動后的反思，學生獲得了建立1厘米概念的清晰的、有條理的數(shù)學活動經(jīng)驗，這為以后學習同類或相似知識積累了經(jīng)驗。

倘若活動沒有圍繞本質(zhì)內(nèi)涵進行適時的反思和交流，學生獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗便將失去數(shù)學意義；如果不能將體驗抽象、提煉為經(jīng)驗，那么，這種經(jīng)歷、體驗將白白喪失其應有的價值。經(jīng)歷豐富的數(shù)學活動后，教師經(jīng)常引導學生反思以下問題：“剛才我們一起進行什么活動？為什么要做這個活動？”“在活動中你獲得了什么？你有哪些困難？又是如何克服的？”“我們是用哪些方法獲得結論的？這些方法在什么地方還能用到？”“通過學習又引發(fā)了你的哪些思考？你能提出哪些新的問題？”……顯然更有利于學生在理性思辨和內(nèi)省領悟中提升、豐富并積累教學活動經(jīng)驗。

總之，數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得離不開數(shù)學活動，而數(shù)學活動的成效則直接影響經(jīng)驗積累的質(zhì)量和層次，在這方面，還需要我們進行更多的實踐探索和理性思考。