劉　洋，羅友泉，謝飛平

(贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州　341000)

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一類(lèi)時(shí)變脈沖時(shí)滯植物病模型的性態(tài)分析* 1

劉洋，羅友泉，謝飛平

(贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州341000)

摘要：建立一類(lèi)帶時(shí)滯、時(shí)變脈沖的植物病模型，討論無(wú)病周期解的全局吸引性和疾病的持久性，得到兩個(gè)相應(yīng)的閾值Rd,Ru，并且證明當(dāng)Rd<1時(shí)，疾病將趨于滅絕，當(dāng)Ru>1時(shí)，疾病將成為地方病.

關(guān)鍵詞：時(shí)變脈沖;時(shí)滯;植物病;吸引;持久

1引言

文獻(xiàn)[1]給出了最早的傳染病模型-KM倉(cāng)室模型，在此基礎(chǔ)上，生物數(shù)學(xué)科學(xué)工作者做了大量的工作，進(jìn)行了后續(xù)廣泛的延拓，取得了豐碩的成果，得到了一系列描述不同傳染病傳播規(guī)律的模型. 利用倉(cāng)室概念，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜又可具體分類(lèi)為SI模型、SIR模型、SEIR模型、SIRS模型、SEIRS模型等[2]，其中SEIR模型、SIRS模型應(yīng)用較廣泛. 為了適用疾病傳播流行的特征，又常對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行改進(jìn)，如發(fā)生率采用飽和發(fā)生率或標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，引入時(shí)滯或脈沖，考慮有垂直傳染、有暫時(shí)免疫等；隨著傳染病模型的深入研究，現(xiàn)在已將傳染病模型思想應(yīng)用于植物病的傳播控制上，如柑橘黃龍病模型[3]、森林病蟲(chóng)害模型[4]，但這方面的文獻(xiàn)量相對(duì)還是偏少.

作為傳染病模型，時(shí)滯的考慮往往是因?yàn)橐粋€(gè)模型系統(tǒng)的演化趨勢(shì)不僅與當(dāng)前時(shí)刻有關(guān)，而且與之前的某些(個(gè))時(shí)刻也有關(guān)[5]，根據(jù)所加時(shí)滯的數(shù)量，又分單時(shí)滯和多時(shí)滯問(wèn)題；而脈沖控制項(xiàng)的加入則是因?yàn)橛腥斯じ深A(yù)的出現(xiàn)，如預(yù)防接種、噴灑藥物、脈沖剔除等等，脈沖控制目前研究較多的是等間隔周期脈沖.關(guān)于時(shí)滯和脈沖問(wèn)題的研究已有很多文獻(xiàn)可參考，如文獻(xiàn)[6-10].

2模型與引理

我們將研究一類(lèi)具有帶時(shí)滯和非等間隔周期脈沖的SEIR植物病模型的動(dòng)力學(xué)行為，模型可用(1)式進(jìn)行描述.

(1)

由于系統(tǒng)(1)的前三個(gè)方程與R(t)無(wú)關(guān)，因此，可將系統(tǒng)(1)簡(jiǎn)化為系統(tǒng)(2)，后續(xù)主要研究系統(tǒng)(2).

(2)

此外，系統(tǒng)(2)滿足初值條件：

(3)

引理1[11]設(shè)有脈沖微分系統(tǒng)

(4)

其中a≥0，b>0，θi+q=θi，0≤θi≤1,ti+q=ti+ω,ω為正常數(shù)，q∈N+，則系統(tǒng)(4)有如下唯一全局漸近穩(wěn)定的周期正解，當(dāng)tκ+nω

3系統(tǒng)無(wú)病周期解的全局吸引性

記G={(S,E,I,R)∈R4|S>0,E≥0,I≥0,R≥0,S+E+I+R≤1}，顯然G為系統(tǒng)(1)的正不變集，下面對(duì)系統(tǒng)(2)的討論將限定在不變集G中進(jìn)行.

先研究系統(tǒng)(2)無(wú)病周期解的存在性.當(dāng)E(t)=0,I(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(5)

由引理可知系統(tǒng)(5)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的無(wú)病周期正解S*(t)，當(dāng)tκ+nω

故系統(tǒng)(2)存在無(wú)病周期解(S*(t),0,0).下面研究系統(tǒng)該周期解的全局吸引性.

(6)

(7)

(8)

故對(duì)于上述ε1，存在k2∈N(k2>k1)，當(dāng)t≥tk2時(shí)，有

(9)

(10)

(11)

根據(jù)引理1，系統(tǒng)(10)存在全局漸近穩(wěn)定的唯一周期正解r*(t)，當(dāng)tk2≤tκ+mω

同理，系統(tǒng)(11)也存在全局漸近穩(wěn)定的唯一周期正解u*(t)，當(dāng)tk2≤tκ+nω≤t≤tκ+1+nω時(shí)

4疾病的持久性

定理2若Rd>1，則系統(tǒng)(2)是持久的.

證明因?yàn)镽d>1，則存在充分小的ε2>0，使得

(12)

(13)

由系統(tǒng)(2)的第二、第三個(gè)式子及(13)可得：

(14)

(15)

下面證明對(duì)于所有足夠大的t，存在d(0

情形①：對(duì)于上述的ε2，當(dāng)t充分大時(shí)均有E(t)+I(t)≥ε2.

情形②：E(t)+I(t)關(guān)于ε2振蕩.

如果是情形①，結(jié)論自然成立.

對(duì)于情形②，下面證明也存在d(0

(16)

根據(jù)比較原理，在初值條件E(tm)+I(tm)=ε2下，可得系統(tǒng)(16)的解滿足

(17)

5總結(jié)

本文研究一類(lèi)非等間隔周期脈沖控制下的植物病模型無(wú)病周期解的全局吸引性和系統(tǒng)的持久性，得到了當(dāng)Ru<1時(shí)，疾病將滅絕，當(dāng)Rd>1時(shí)，疾病將成為地方病.顯然Ru≤Rd，故文中沒(méi)有得到疾病流行與否的臨界閾值，這將是后續(xù)需要做的工作.

參考文獻(xiàn)：

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[11]Zhang L, Gao S, Xie D, et al. Varying pulse control schemes for citrus huanglongbing epidemic model with general incidence[J].Commun. Math. Biol. Neurosci. 2016:1-13.

* 收稿日期：2016-03-16

DOI：10.13698/j.cnki.cn36-1037/c.2016.03.001

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11561004);江西省研究生創(chuàng)新專(zhuān)項(xiàng)基金項(xiàng)目(YC2015-S375)

作者簡(jiǎn)介：劉洋(1972-)，男，贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教師，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究.

中圖分類(lèi)號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-8332(2016)03-0001-05

Global Dynamics of a Delayed Plant Disease Model with Time-varying Impulsive Control

LIU Yang, LUO Youquan, XIE Feipeng

(SchoolofMathematicsandComputerScience,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

Abstract:In this paper, a plant disease model with time-varying impulsive control and time delay is proposed. Sufficient conditions for global attractivity of disease-free periodic solution and permanence of the system are obtained. If Rd<1, then the disease will die out, and if Ru>1, then the disease will be endemic.

Key words:time-varying impulse; time delay; plant disease; attractivity; permanence

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20160510.1101.002.html