代德全 盤如春

【摘要】中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結合，或形數(shù)結合.一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示.另一方面，將圖形問題轉化為代數(shù)問題，以獲得精確的結論.筆者從事高中數(shù)學教學多年，下面就談談我對數(shù)形結合思想的一些見解.

【關鍵詞】數(shù)形結合；高中教學；實例應用

【基金項目】本文為重慶市教育學會第八屆（2015-2017年）基礎教育科研立項課題（重點課題）“高中數(shù)學教學中問題呈現(xiàn)的直觀化對學生思維的影響”（課題批準號：XH2015A15）系列論文之一.

一、“數(shù)形結合”思想方法概述

（一）數(shù)形結合思想方法

中學數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn).“數(shù)”與“形”常依一定的條件相互聯(lián)系，抽象的數(shù)量關系有形象和直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也常用數(shù)量關系加以精確描述.那么“數(shù)形結合”就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離.”這首小詩形象、生動、深刻的指明了數(shù)形結合的價值，也揭示了數(shù)形結合的本質(zhì).

（二）數(shù)形結合思想的價值

數(shù)形結合這種思維方法的應用，有助于我們解決許多問題，同時加深我們對數(shù)學問題本質(zhì)的認識，使數(shù)學更具有創(chuàng)造性.

通過數(shù)形結合，首先是我們對幾何圖形性質(zhì)的討論更廣泛、更深入了，研究的對象也更寬泛，方法更一般化了.其次是為代數(shù)問題提供了幾何直觀.由于代數(shù)借用了幾何的術語，運用了與幾何類比而獲得新的生命力，如線性代數(shù)正是借用了幾何學中的空間、線性等概念，用類比的方法把自己充實起來而迅速發(fā)展的.代數(shù)方法便于精細計算，幾何圖形直觀形象，數(shù)形結合、相互促進，使我們加深了對數(shù)量關系與空間形式的認識.數(shù)形結合把點與數(shù)、曲線與方程之間建立一一對應的思考方法，啟發(fā)我們將方程視為點，把某類函數(shù)的全體視作空間.形成了一種聯(lián)想的思維方式，拓展了我們思維的廣度與深度.

（三）“數(shù)形結合”思想方法在中學教學中的地位

1.從新課程對“四基”的要求來看數(shù)形結合思想

四基是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.教師應幫助學生領會數(shù)學思想方法、掌握知識與技能，積累經(jīng)驗.數(shù)學知識之間是相互聯(lián)系的，數(shù)學核心概念、基本思想始終貫穿于中學教學.由于數(shù)學高度抽象性，新課標把數(shù)形結合思想作為中學數(shù)學的重要思想.

2.從新課標對思維能力的要求來看數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想能幫助學生思維意識的提升.通過數(shù)形有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，讓學生抽象思維具體化，初步形成辯證思維能力，同時幫助學生多角度、多層次思考問題.

3.從新課標數(shù)學內(nèi)容的特點來看數(shù)形結合思想

數(shù)學過于抽象、過于形式化、過于符號化給人產(chǎn)生遙遠的距離感.再加上它曲折奧妙的邏輯推理造成學生認知上的特殊難度.可是通過數(shù)形結合思想可以形象直觀的揭示問題的本質(zhì)，減輕學習的負擔，引發(fā)學生對數(shù)學的興趣.

4.從教與學的現(xiàn)狀來看數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想方法已深入中學解題功能，但在實際教育中還未真正落實到位，主要表現(xiàn)在數(shù)形結合思想方法的教育目標不夠明確，課堂教學隨意性，盲目性大，而計劃性、系統(tǒng)性、有序性、層次性、過程性則顯得不足.造成學生用數(shù)形結合思想方法來分析解決問題能力太差.因此，在教學中如何充分發(fā)揮數(shù)形結合思想的作用，重視數(shù)形結合方法的運用，是一個值得研究的課題.

二、數(shù)形結合在高中數(shù)學教學中的體現(xiàn)

在高中數(shù)學教材中，許多數(shù)式與方程都有幾何意義，許多圖形又都可以用數(shù)式與方程表示，這種對應關系是相互聯(lián)系密不可分的.如：

（1）實數(shù)對（a，b）與平面內(nèi)的點（a，b）對應.

（2）方程y=kx+b的幾何意義是直角坐標平面上的一條直線，其中數(shù)k的幾何意義是斜率，即直線傾斜角的正切值；數(shù)b的幾何意義是直線在y軸上的截距.

（3）函數(shù)與圖像的對應關系：如：二次函數(shù)對應拋物線；三角函數(shù)對應正弦曲線等等.

三、部分案例分析

（一）利用數(shù)形結合思想解決最值、值域問題

利用數(shù)形結合思想有時可以解決一些比較復雜的最值和值域問題.特別是一些三角函數(shù)的題目.

應用數(shù)形結合解題時要注意以下兩點：其一數(shù)與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數(shù)學問題，轉化前后的問題必須是等價的；其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性.總之，要讓學生真正掌握數(shù)形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習題并把學生講懂了，就認為學生領會了數(shù)形結合這一思想方法，是片面的.教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學生認真上好每一堂課，學好新教材的系統(tǒng)知識，掌握各種函數(shù)的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質(zhì).

【參考文獻】

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