馮瑩瑩 熊彥

【摘要】本文從線性代數(shù)課程的特征出發(fā)，研究了在保持課程內(nèi)容體系不變的前提下，通過(guò)把握主線、引入幾何觀點(diǎn)、結(jié)合代數(shù)發(fā)展史三個(gè)方面，來(lái)改進(jìn)傳統(tǒng)的線性代數(shù)課堂教學(xué).結(jié)論表明，以上的改進(jìn)不僅能減輕由于代數(shù)的抽象性帶來(lái)的學(xué)習(xí)困難，達(dá)到更好的教學(xué)效果，同時(shí)能在課堂中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；課堂教學(xué)；教學(xué)主線；幾何觀點(diǎn)；代數(shù)史

線性代數(shù)及微積分（常稱為高等數(shù)學(xué)）、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是當(dāng)今大學(xué)生三門(mén)必修數(shù)學(xué)課.由于中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革和新課標(biāo)的實(shí)施，微積分和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的部分知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)在學(xué)生的高中階段都有所接觸，而且這兩門(mén)課的大部分知識(shí)都有較為豐富的背景和應(yīng)用范圍.相比而言，線性代數(shù)中的行列式、矩陣概念對(duì)學(xué)生是全新的，沒(méi)有在中學(xué)接觸過(guò)的，就現(xiàn)行的大量教材來(lái)看，線性代數(shù)在內(nèi)容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應(yīng)用性不足.加上線性代數(shù)一般都安排課時(shí)較少，所以使得學(xué)生對(duì)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)更加吃力，達(dá)到的教學(xué)效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數(shù)課程內(nèi)容體系的前提下，如何改進(jìn)課堂教學(xué)方法，以達(dá)到更好的教學(xué)效果.

一、教學(xué)中必須把握兩條主線

如前所述，與其他兩門(mén)數(shù)學(xué)課程相比較，線性代數(shù)的教材編得更為抽象，更加遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí).學(xué)生通常會(huì)覺(jué)得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會(huì)顯得零散，各種概念之間的聯(lián)系也較難把握.在課堂教學(xué)中，必須把握線性代數(shù)課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來(lái)，形成一個(gè)整體.

1.第一條主線是線性方程組

求解線性方程組是線性代數(shù)課程的一個(gè)主要任務(wù)，將中學(xué)的消元法經(jīng)過(guò)一次抽象，就是線性代數(shù)中矩陣的初等變換概念.根據(jù)各種方程組的特點(diǎn)，形成了線性代數(shù)課程中一系列概念和方法.當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的時(shí)候，行列式可以派上用場(chǎng)，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關(guān)概念.對(duì)一般的線性方程組，我們用秩來(lái)描述“真正起作用的方程的個(gè)數(shù)”，方程組的有解無(wú)解，有唯一解還是無(wú)窮多解，自由未知量的個(gè)數(shù)，都可以用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩來(lái)理解了.為了對(duì)無(wú)窮多解有更深入的認(rèn)識(shí)，把方程組的解看成向量，對(duì)齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、最大線性無(wú)關(guān)組這一連串的概念了.可見(jiàn)，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯(lián)系起來(lái)了.

2.第二條主線是二次型的標(biāo)準(zhǔn)化

解析幾何中很重要的一個(gè)主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項(xiàng)的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型.利用矩陣這一工具來(lái)完成這個(gè)過(guò)程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發(fā)，來(lái)討論實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問(wèn)題.線性代數(shù)課程一般給出了三種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.

在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對(duì)學(xué)生掌握線性代數(shù)整個(gè)課程體系也是非常有幫助的.

二、在課堂上引入幾何的觀點(diǎn)來(lái)介紹代數(shù)知識(shí)

大部分線性代數(shù)教材都從知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯性來(lái)安排內(nèi)容，使得代數(shù)知識(shí)以抽象的面孔出現(xiàn)在學(xué)生面前.事實(shí)上，在中學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)初等代數(shù)時(shí)，是非常注重代數(shù)與幾何之間的結(jié)合的.數(shù)形結(jié)合不僅有利于降低學(xué)生的理解難度，也是掌握代數(shù)思想的一個(gè)必然要求.如何用幾何的觀點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)代數(shù)，是一個(gè)在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中值得思考的問(wèn)題.

（5）的解即為方程組（2）的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優(yōu)近似解的結(jié)果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡(jiǎn)化，更能讓學(xué)生加深對(duì)概念和方法的理解.

三、從代數(shù)發(fā)展歷史的角度來(lái)講線性代數(shù)課程

前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴(yán)格系統(tǒng)化的形式推理，都不可避免地使線性代數(shù)抽象性特征明顯，我們?cè)谡n堂教學(xué)中，不妨靈活處理知識(shí)的來(lái)龍去脈，站在從知識(shí)發(fā)展的歷史的角度來(lái)認(rèn)識(shí)這門(mén)課程，這也是引起國(guó)外越來(lái)越多大學(xué)重視的一種教學(xué)方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學(xué)數(shù)學(xué)教材，就是基于這一觀點(diǎn)來(lái)編寫(xiě)的.2008年，普林斯頓大學(xué)出版社出版了《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》（the Princeton Companion to Mathematics），這是一本數(shù)學(xué)綜合類的普及讀物，全書(shū)共有一千多頁(yè)，盡量用淺顯的語(yǔ)言，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈解釋清楚.在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中，如果能借鑒這種從知識(shí)產(chǎn)生歷史角度來(lái)講授知識(shí)，不僅能讓學(xué)生理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，更為可貴的是，能把很多數(shù)學(xué)大家當(dāng)時(shí)對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考過(guò)程呈現(xiàn)在學(xué)生面前，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成過(guò)程大有益處.

四、結(jié) 語(yǔ)

線性代數(shù)課程由于其自身的特征給教學(xué)帶來(lái)一定的難點(diǎn)，如何在不改變課程知識(shí)體系的前提下，達(dá)到較好的教學(xué)效果，讓學(xué)生能在抽象的代數(shù)學(xué)習(xí)中，接受知識(shí)，形成創(chuàng)造性思維方式，提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，是每個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)教師面臨的一個(gè)重要課題.本文從教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合國(guó)內(nèi)外相關(guān)的數(shù)學(xué)教育理論，提出了幾條相應(yīng)的措施.要提高教學(xué)質(zhì)量，需要長(zhǎng)時(shí)間在實(shí)踐不斷去完善教學(xué)手段和教學(xué)方法，唯有高質(zhì)量的課堂教學(xué)，才能保證線性代數(shù)課程較好的教學(xué)效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)[M]（第六版）.北京：高等教育出版社.

[2]楊小遠(yuǎn)，李尚志.大學(xué)一年級(jí)學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（4）：13-21.

[3]李大潛 漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2009（1）：7-10.

[4]劉春林，李寶娣.線性代數(shù)教學(xué)方法探索[J].衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（3）：153-155.

[5]李尚志 線性代數(shù)新教材之精彩案例（之二）[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（4）：5-12.