李宗秀（黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)部，哈爾濱150025）

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高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實(shí)踐

李宗秀
（黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)部，哈爾濱150025）

摘要：高等數(shù)學(xué)課程是應(yīng)用型本科院校的公共基礎(chǔ)必修課程，它的學(xué)習(xí)思想與方法直接影響學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效果。為了提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果，試將高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想，通過具體應(yīng)用實(shí)例闡明應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)怎樣去解決實(shí)際問題，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；均勻貨幣流；平均變化率；商業(yè)貸款；公積金貸款

1 高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀分析

高等數(shù)學(xué)是理論性強(qiáng)、邏輯性嚴(yán)密、計(jì)算煩瑣、定理證明推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊婚T基礎(chǔ)學(xué)科［1］。應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課時(shí)少、教學(xué)容量大，為在有限的課時(shí)內(nèi)完成教學(xué)大綱所要求，不得不對(duì)授課內(nèi)容蜻蜓點(diǎn)水，導(dǎo)致學(xué)生理解不夠深刻。學(xué)生學(xué)習(xí)目的不夠明確，很多學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對(duì)后續(xù)課程作用不大，因此學(xué)習(xí)興趣不濃。

2 將數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)的意義

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽［2］最早于1994年國家教委倡導(dǎo)，我院是從2001年開始組織學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的，為了讓更多學(xué)生受益于數(shù)學(xué)建模，將數(shù)學(xué)建模思想滲入課堂教學(xué)，是一個(gè)非常值得探索的試驗(yàn)。

3 高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)模型案例

引入數(shù)學(xué)建模思想，可以最大限度調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性。適當(dāng)引入與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)用實(shí)例，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)不足。

案例：均勻貨幣流的總價(jià)值與投資回收期的計(jì)算。

若初始年（t=0）將資金A0一次性存入銀行，年利率為r，則這筆資金以連續(xù)復(fù)利方式結(jié)算的t年未來值即為：At=A0ert。但如果采用的是均勻貨幣流存款方式，即貨幣像水流一樣以定常流量源源不斷地流入銀行（類似于“零存整取”），則計(jì)算t年末的資金總價(jià)值就可以采用定積分的方法。現(xiàn)用微元法分析如下：設(shè)T年內(nèi)有一均勻貨幣流，年流量為a，則在［t,t+dt］時(shí)間段內(nèi)的貨幣流量為adt，于是可得該貨幣流T年末總價(jià)值的微元為：dAT=adt·er(T-t)=aerT·e-rtdt。從而該貨幣流年末的總價(jià)值為：

由式（B），投資回收期為：

4 用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問題

例：貸款購房——函數(shù)的應(yīng)用。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，介紹數(shù)學(xué)建模思想方法，使學(xué)生能夠從實(shí)際問題中篩選出有用的數(shù)據(jù)和信息，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生真實(shí)地感覺到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用。

貸款買房已成為新的購房方式，日漸盛行。以100萬元20年的房貸為例，建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出月均還款總額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和的公式。

4.1 問題提出

某人購房向銀行貸款100萬元，銀行年利率為0.49%，借款期限為20年，求月均還款金額、還款總額和20年內(nèi)共計(jì)支付多少利息。

4.2 問題分析

2015年最新發(fā)布個(gè)人住房貸款利率如表1所示。

表1 個(gè)人住房貸款利率表Tab.1 Interest table of individual housing loan

貸款額A=100萬元，貸款期限m=20年，年利率R=49%（商業(yè)貸款且貸款期限5年以上、公積金貸款且貸款期限5年以上)。分別計(jì)算兩種情況下月均還款金額、還款總額和20年內(nèi)共計(jì)支付多少利息。

4.3 模型假設(shè)

a. 20年內(nèi)銀行利率保持不變。b. 20年貸款人始終具有還款能力，不提前還清貸款。c.還款方式是每月等額還款。d.假設(shè)銀行貸給該人的本金是在某個(gè)月的20號(hào)一次到位，在本金到位后的下個(gè)月20號(hào)開始還款。

4.4 參數(shù)說明

A：客戶向銀行貸款的本金。B：客戶平均每期應(yīng)還的本金。C：客戶應(yīng)向銀行還款的總額。D：客戶的利息負(fù)擔(dān)總和。r：客戶向銀行貸款的月利率。R：客戶向銀行貸款的年利率。m：貸款期。n：客戶總的還款期數(shù)。

4.5 模型的建立與求解

4.5.1 模型的建立

根據(jù)已知各參數(shù)有以下關(guān)系n=12m；C- A=D；A=nB；R=12r。x（元）是月均還款總額；ai（i=1,2,…n）是客戶在第i期20號(hào)還款前還欠銀行的金額；bi（i=1, 2,…n）是客戶在第i期20號(hào)還錢后欠銀行的金額。

根據(jù)上面的分析，有：

第1期還款后欠銀行的金額：b1=a1- x=A(1+r)- x。

第2期還款后欠銀行的金額：

b2=b1(1+r)- x=A(1+r)- x……

第i期還款后欠銀行的金額：

bi=bi-1(1+r)- x=A(1+r)i- x(1+r)i-1-…- x(1+r)x。

第n期還款后欠銀行的金額：

因?yàn)榈趎期還款后，欠款還清，也就是說：bn=0，即解方程得：A (1+1)n- x［（1+r）n-1-…（1+r）- 1］=0。

這就是月均還款總額的公式?？偟倪€款總額為：

利息負(fù)擔(dān)總和等于：

4.5.2 模型的求解

某人購房向銀行貸款100萬元，銀行年利率為0.49%，借款期限為20年，求每月應(yīng)還款金額、還款總額和20年內(nèi)共計(jì)支付多少利息。

情形1：商業(yè)貸款。

情形2：公積金貸款。

表2 商業(yè)貸款與公積金貸款的比較表Tab.2 Comparative table of commercial loan and housing provident fund loan

從付息角度看，公積金貸款要比商業(yè)貸款利息低很多，總額差距很大。但實(shí)際生活中還應(yīng)考慮國家政策、開發(fā)商情況等。

參考文獻(xiàn)：

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第五版)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材（二）［M］.長沙：湖南教育出版社，1994.

Study on the integration of mathematical modeling idea into classroom teaching of higher mathematics and its practice

LI Zong- xiu
(Foundation Department of Heilongjiang Universityof Finance and Economics, Harbin 150025, China)

Abstract:Higher mathematics is compulsory public basic course of application- oriented colleges, and its learning ideas and methods directly affect learning outcomes of students' follow- up courses. In order to improve the teaching effect of higher mathematics courses, this paper tried to integrate higher mathematical classroom teaching into the idea of mathematical modeling, clarified how to apply knowledge of higher mathematics to solve practical problems, strengthened students' ability toapply their knowledge and cultivated students' interest and innovation.

Key words:Higher mathematics; Mathematical modeling; Uniform currency flow; The average rate of change; Commercial loans; Housingprovident fund loans

中圖分類號(hào)：O13- 4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674- 8646（2016）09- 0052- 03

收稿日期：2016- 03- 29

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育教改項(xiàng)目（JG2014010930）；黑龍江省教育科學(xué)規(guī)劃課題（GJD1215031）；黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院院級(jí)課題（2016YB05)