王　權(quán),　鄒媛媛,　牛玉剛

(華東理工大學(xué)化工過(guò)程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200237)

帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制

王權(quán),鄒媛媛,牛玉剛

(華東理工大學(xué)化工過(guò)程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200237)

摘要：針對(duì)存在量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),提出了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)方法,其中,信號(hào)從傳感器傳送到控制器和從控制器傳送到執(zhí)行器時(shí)需要被量化。建立了帶有事件發(fā)生器的網(wǎng)絡(luò)化模型,設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)機(jī)制,給出了預(yù)測(cè)控制律的設(shè)計(jì)方法,分析了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。最后,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng); 量化; 預(yù)測(cè)控制; 事件觸發(fā)

近年來(lái),隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,NCS)引起了學(xué)術(shù)界和工業(yè)過(guò)程領(lǐng)域的廣泛關(guān)注[1-4]。與傳統(tǒng)“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”直接相連的控制系統(tǒng)相比,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有成本低、靈活性高、易于安裝和維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)。然而,網(wǎng)絡(luò)自身的一些局限性也給網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究帶來(lái)了新的挑戰(zhàn),比如網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯、數(shù)據(jù)丟包、數(shù)據(jù)量化等都是亟待解決的問(wèn)題。為了節(jié)約有限的帶寬資源,系統(tǒng)信號(hào)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸之前通常需要被量化,而由量化產(chǎn)生的量化誤差不可避免地會(huì)影響控制系統(tǒng)的性能。

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化問(wèn)題,目前已有大量研究[5]。文獻(xiàn)[6]介紹了一種靜態(tài)的對(duì)數(shù)量化器。文獻(xiàn)[7]指出對(duì)數(shù)量化器的量化穩(wěn)定性問(wèn)題等價(jià)于帶有扇形界不確定性的控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8-9]同時(shí)考慮數(shù)據(jù)丟包問(wèn)題,給出了魯棒預(yù)測(cè)控制綜合方法設(shè)計(jì)控制器,保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)采用時(shí)間觸發(fā)機(jī)制,即采樣信號(hào)周期性地被傳輸,控制器也是周期性地執(zhí)行控制任務(wù)。這種機(jī)制會(huì)明顯增加網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)載,造成通信資源的浪費(fèi)。為了減少網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)傳輸量,即減少不必要的通信資源浪費(fèi),文獻(xiàn)[10]提出了事件觸發(fā)機(jī)制,即采樣信號(hào)只有在滿足事件觸發(fā)條件時(shí)才被傳輸,否則就不傳輸,有效地降低了網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)擔(dān)。近幾年,事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)方面的研究已引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[11]研究了NCS中事件觸發(fā)通信策略和H控制的聯(lián)合設(shè)計(jì)問(wèn)題,同時(shí)考慮了通信時(shí)滯和丟包的影響。文獻(xiàn)[12]針對(duì)帶有丟包和量化的NCS,提出了基于事件觸發(fā)的控制方法,并給出了最大容許連續(xù)丟包的上界。預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control,MPC)作為一類典型的工業(yè)過(guò)程控制方法,已被成功應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[8-9,13-15]?？紤]到將事件觸發(fā)機(jī)制應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[16]對(duì)滿足約束并帶有外界擾動(dòng)的NCS設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制器,在減少通信量和計(jì)算量的同時(shí),保證了系統(tǒng)良好的控制性能。文獻(xiàn)[17]針對(duì)存在時(shí)滯的NCS,研究了基于模型的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制問(wèn)題,給出了控制器和事件觸發(fā)參數(shù)的聯(lián)合設(shè)計(jì)方法。但到目前為止,已有文獻(xiàn)中基于事件觸發(fā)策略的預(yù)測(cè)控制方法都沒(méi)有考慮量化問(wèn)題的影響,特別是已有成果并不能簡(jiǎn)單地推廣到存在量化信號(hào)的情況,因此,開(kāi)展帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制問(wèn)題的研究十分必要。

為了降低網(wǎng)絡(luò)中的信息通信量,減少通信資源不必要的浪費(fèi),同時(shí)考慮到網(wǎng)絡(luò)帶寬資源受限問(wèn)題,本文針對(duì)存在狀態(tài)和控制信號(hào)量化的離散時(shí)間線性系統(tǒng),提出了事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制與量化相結(jié)合的一種新方法。首先,分析了經(jīng)過(guò)量化的狀態(tài)信號(hào)和控制信號(hào)的模型,然后建立了帶有事件發(fā)生器和信號(hào)量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型,給出了預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)控制器,并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)方法,得到事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。

1問(wèn)題描述

考慮如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),包括被控對(duì)象、傳感器、事件發(fā)生器、預(yù)測(cè)控制器、執(zhí)行器和量化器。被控對(duì)象為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，如式(1)所示。

(1)

其中:x(k)∈n和u(k)∈m分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入;A和B是已知的系統(tǒng)矩陣。傳感器和控制器、控制器和執(zhí)行器之間分別通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接,并且,所有數(shù)據(jù)在通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸之前需要被量化。

圖1　帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(2)

量化等級(jí)集合定義為

對(duì)于系統(tǒng)(1)中的x(k)∈n,量化的狀態(tài)信息可以描述為

利用文獻(xiàn)[7]中的扇形界方法,可以把上式寫(xiě)成

(3)

其中,

(4)

τfl表示第l個(gè)通道的量化器對(duì)應(yīng)的量化密度,εl(k)代表不確定性。

根據(jù)式(4),Λf(k)可以表示為

(5)

(6)

本文的主要目標(biāo)是在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在量化的情況下,設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)的預(yù)測(cè)控制器來(lái)減少網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中通信資源的消耗,同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制

2.1事件觸發(fā)機(jī)制

事件發(fā)生器位于傳感器和量化器f之間(如圖1所示),它會(huì)根據(jù)事先設(shè)定的事件觸發(fā)條件來(lái)決定當(dāng)前的狀態(tài)信息x(k)是否被傳送到量化器f。如果事件觸發(fā)條件滿足,那么當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)就被傳送到量化器f,否則不傳送?？紤]如下形式的事件觸發(fā)條件:

(9)

其中:x(k)和x(ki)分別表示當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)信息和上一個(gè)事件觸發(fā)時(shí)刻的狀態(tài)信息;μ∈(0,1)是給定的參數(shù);Φ是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣。當(dāng)滿足事件觸發(fā)條件式(9)時(shí),x(k)被傳送到量化器f,此時(shí),記ki+1=k。

狀態(tài)信息被傳送的時(shí)刻記為ki,i=0,1,…,即事件觸發(fā)時(shí)刻。假設(shè)第1個(gè)事件發(fā)生在k0=0時(shí)刻。由事件觸發(fā)條件式(9)可知,只有部分狀態(tài)信息需要被傳送。該傳輸機(jī)制減少了網(wǎng)絡(luò)中的信息傳輸量,節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)通信資源。特別地,當(dāng)事件觸發(fā)條件中的參數(shù)μ=0時(shí),事件觸發(fā)機(jī)制退化為傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制。

(10)

其中F為預(yù)測(cè)控制反饋增益矩陣。在(ki,ki+1)之間,控制律表達(dá)式為

(11)

由以上分析可得帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型如下:

(12)

2.2預(yù)測(cè)控制律的計(jì)算

在事件觸發(fā)時(shí)刻ki,考慮如下形式的預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo):

(13)

(14)

根據(jù)模型(1),系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程描述為

(15)

其中

進(jìn)一步,性能指標(biāo)式(13)可以寫(xiě)成如下形式:

(16)

MPC優(yōu)化問(wèn)題可以描述為

(17)

使得式(14)、式(15)成立。結(jié)合狀態(tài)預(yù)測(cè)模型式(15),通過(guò)極值必要條件?J(ki)/?U(ki)=0,可求出最優(yōu)解的解析表達(dá)式：

(18)

由此可求出即時(shí)控制律

(19)

其中,反饋增益

(20)

本文基于事件觸發(fā)的預(yù)測(cè)控制方法,只有在事件觸發(fā)時(shí)刻才求解MPC優(yōu)化問(wèn)題得到新的控制律，所以,這種方法減少了控制器的計(jì)算量,降低了系統(tǒng)的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

2.3穩(wěn)定性分析

本節(jié)將設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件式(9)中的參數(shù)Φ,使得閉環(huán)系統(tǒng)式(12)在事件觸發(fā)條件式(9)下是漸近穩(wěn)定的。

定理1考慮本文中提出的帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),對(duì)于給定的系統(tǒng)參數(shù)A和B、常值參數(shù)μ∈(0,1)和預(yù)測(cè)控制反饋增益F,如果存在合適維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣P>0和Φ>0,使得下面的線性矩陣不等式成立。

(21)

那么基于事件觸發(fā)條件(式(9))的閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))是漸近穩(wěn)定的。

證明首先在兩個(gè)事件觸發(fā)時(shí)刻之間定義一個(gè)狀態(tài)測(cè)量差值

(22)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))可重新描述為

(23)

由事件觸發(fā)條件(式(9))可知,當(dāng)k∈[ki,ki+1)時(shí),沒(méi)有事件發(fā)生,即沒(méi)有狀態(tài)信息被傳送到量化器f,所以有式(24)成立。

(24)

選取如下Lyapunov 函數(shù)

V(k)=x(k)TPx(k)

其中P是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣。當(dāng)k∈[ki,ki+1)時(shí),根據(jù)式(23)計(jì)算Lyapunov函數(shù)的差值。由式(24)可得

x(k+1)TPx(k+1)-x(k)TPx(k)≤

x(k+1)TPx(k+1)-x(k)TPx(k)-

其中

Ω可以分解為

利用Schur補(bǔ)可得,Ω<0等價(jià)于

(25)

由于Λg(ki)∈Ωg,Λf(ki)∈Ωf,因此LMIs(式 (21))成立可保證式(25)成立。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,可得閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))在事件觸發(fā)條件(式(9))下漸近穩(wěn)定。證畢。

帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制具體算法步驟如下:

離線計(jì)算:

(1)給定x(k0)=x(0),Np,Nu,Q和R,根據(jù)式(20)得到預(yù)測(cè)控制增益矩陣F。

(2)給定μ,ρf,ρg和ξ0,求解LMIs(式(21)),得到事件觸發(fā)條件(式(9))中的參數(shù)Φ。

在線計(jì)算:

(1)在每個(gè)采樣時(shí)刻k,測(cè)量當(dāng)前狀態(tài)x(k),判斷事件觸發(fā)條件是否成立。如果成立,轉(zhuǎn)到步驟(2),如果不成立,轉(zhuǎn)到步驟(3)。

(3)將u(k)=u(ki)作用到系統(tǒng)上,令k=k+1,重復(fù)步驟(1)。

3仿真實(shí)驗(yàn)

本文采用文獻(xiàn)[14]中小車倒立擺的例子來(lái)說(shuō)明本文給出的帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制方法的有效性。其中系統(tǒng)參數(shù)取值如下:

初始狀態(tài)為x0=[0.05-0.100.02]T,預(yù)測(cè)控制中的權(quán)矩陣Q=4×I4×4,R=0.01,預(yù)測(cè)時(shí)域Np=5,控制時(shí)域Nu=3。對(duì)數(shù)量化器中的參數(shù)ρf=ρg=0.8,ξ0=0.1,則τf=τg=0.111 1,凸多面體的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為Λf1=1+τf=1.111 1,Λf2=1-τf=0.888 9,Λg1=1+τg=1.111 1,Λg2=1-τg=0.888 9。事件觸發(fā)條件參數(shù)μ=0.2。預(yù)測(cè)控制反饋增益為

F=[-4.361 7 -14.395 2 10.188 2 0.581 1]

通過(guò)求解LMIs(式(21)),可以得到事件觸發(fā)條件中的參數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號(hào)如圖2和圖3所示,從圖中可以看出本文方法能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4給出了事件觸發(fā)時(shí)刻,其中,幅值為1的時(shí)刻代表事件觸發(fā)時(shí)刻,幅值為0的時(shí)刻代表事件不觸發(fā)時(shí)刻。從圖4可以看出,在事件觸發(fā)條件的作用下,70個(gè)時(shí)刻中只有19個(gè)事件觸發(fā)時(shí)刻,即只有27.14%的狀態(tài)信息需要被傳送。圖5給出了帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制與相同條件下的時(shí)間觸發(fā)預(yù)測(cè)控制的性能比較圖,從圖中可以看出,時(shí)間觸發(fā)與事件觸發(fā)兩者的性能相差不大。所以,在保證性能的前提下,本文帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制方法明顯降低了網(wǎng)絡(luò)中的信息通信量,從而減少了通信資源的浪費(fèi)。

圖2　系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖3　控制信號(hào)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制算法的有效性,將本文方法與文獻(xiàn)[8-9]中僅考慮量化(沒(méi)有丟包)情況下的時(shí)間觸發(fā)預(yù)測(cè)控制算法進(jìn)行了比較,仿真結(jié)果如圖6所示。可以看到,本文提出的基于事件觸發(fā)的預(yù)測(cè)控制策略可以達(dá)到與文獻(xiàn)[8-9]方法相近的控制效果,但卻減少了計(jì)算量和通信資源。

圖4　事件觸發(fā)時(shí)刻

圖5　事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制與時(shí)間觸發(fā)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)對(duì)比圖

為了說(shuō)明事件觸發(fā)條件對(duì)本文方法的影響,在其他條件保持不變的情況下,分別選取μ=0.2和μ=0.8,其事件觸發(fā)時(shí)刻對(duì)比圖如圖7所示,其中幅值為1和0的時(shí)刻分別代表μ=0.2時(shí)的事件觸發(fā)時(shí)刻和事件不觸發(fā)時(shí)刻；幅值為0.8和0.2的時(shí)刻分別代表μ=0.8時(shí)的事件觸發(fā)時(shí)刻和事件不觸發(fā)時(shí)刻。當(dāng)μ=0.2時(shí),有27.14%的狀態(tài)信息需要被傳送到控制器;當(dāng)μ=0.8時(shí),只有15.71%的狀態(tài)信息需要被傳送到控制器。參數(shù)μ的變化會(huì)影響事件觸發(fā)的次數(shù)。

圖6　本文事件觸發(fā)預(yù)測(cè)控制與文獻(xiàn)[8-9]僅考慮量化(沒(méi)有丟包)情況下的時(shí)間觸發(fā)預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)對(duì)比圖

圖7　事件觸發(fā)時(shí)刻對(duì)比圖

4結(jié)論

本文針對(duì)帶有量化信號(hào)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),提出了基于事件觸發(fā)的預(yù)測(cè)控制方法,并給出了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。該方法減少了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)信息通信量,同時(shí)有效降低了控制器的在線計(jì)算量。在今后的工作中,我們將繼續(xù)考慮系統(tǒng)中存在外界擾動(dòng)的情況。

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Event-Triggered Model Predictive Control with Quantizations

WANG Quan,ZOU Yuan-yuan,NIU Yu-gang

(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes,Ministry of Education,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

Abstract:This paper investigates the design problem of the event-triggered model predictive control for networked control system (NCS),in which the signals will be quantized when transmitted from the sensor to controller and controller to actuator.The networked model with event generator is established and the event-triggered scheme is designed.And then,a model predictive control method is presented.The stability condition for closed-loop system is derived.Finally,a numerical simulation is given to illustrate the effectiveness of the proposed scheme.

Key words:networked control system; quantization; predictive control; event-triggered

收稿日期：2015-06-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61273073,61374107);上海市優(yōu)秀技術(shù)帶頭人(14XD1420900);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金

作者簡(jiǎn)介：王權(quán)(1990-),女,山東榮成人,碩士生,研究方向?yàn)槭录|發(fā)預(yù)測(cè)控制。E-mail:quanwang2014@gmail.com 通信聯(lián)系人：鄒媛媛,E-mail:yyzou@ecust.edu.cn

文章編號(hào)：1006-3080(2016)02-0240-07

DOI:10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.02.014

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A