曾艷妮，黃振東，邢　婧

（湖北經濟學院統(tǒng)計學院，湖北武漢430205）

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數學文化滲透大學數學課堂的教學案例

曾艷妮，黃振東，邢婧

（湖北經濟學院統(tǒng)計學院，湖北武漢430205）

摘要：數學文化教育對大學數學教育有非常重要的作用和意義，但是如何在數學教學過程中巧妙的融入數學文化值得研究，本文通過五個具體的教學案例說明在教學過程中主要從知識背景、數學歷史、相關趣味典故、欣賞數學之美、數學中的哲學思想等方面挖掘數學文化素材，滲透數學文化，以有效提升數學教學效果，開闊學生視野、提高數學素養(yǎng)。

關鍵詞：數學文化；數學；教學；案例

數學文化有著豐富的內涵，基于數學文化的普遍定義，綜合學者們的研究成果，數學文化除了傳統(tǒng)數學的內容即作為科學的數學內容外還包括作為文化層面的數學，概括起來主要有數學史、數學的價值觀、數學的知識體系、數學思想方法、數學與其它學科的交叉與融合等等。學者們都認為數學文化是人類文化的一部分，不僅具有文化價值而且具有育人功能，恰當好處地將數學文化滲透在數學教學中可以使學生在學習原有數學知識的同時開闊視野、增加學習趣味性、提高數學文化素養(yǎng)、提升學習積極性，使課堂教學更加高效，所以數學文化教育對大學數學教育有著重要意義和作用。下面通過幾個案例說明數學文化滲透大學數學課堂教學的方法和途徑。

一、教學內容的引入注重知識背景的闡述，揭示知識的發(fā)展歷程。

案例一：微積分發(fā)展史融入微積分教學

微積分的理論體系嚴謹而循序漸進，步步深入、環(huán)環(huán)相扣，而其發(fā)展史卻曲折艱辛，數學的發(fā)展史中是先有微積分，再有極限理論。倘若學生打開課本就直接正式接觸成熟的理論使得對這門課程認識模糊，則不清楚為什么要學這門課程，這門課程是為解決什么核心問題而產生，更不知道這門課程如何發(fā)展起來的。這有悖于學習的認知規(guī)律，所以在微積分學習之前，介紹微積分的發(fā)展史有利于學生總體上對這門課程有一個初步的理解和認識，從心理上接受并愿意探究這門課程。

數學的發(fā)展源于社會環(huán)境的力量，16世紀下半葉，歐洲文藝復興使得科學技術迅猛發(fā)展，生產力空前提高，航海、工商業(yè)和工程建筑設計都發(fā)達起來，研究物體的運動和變化成為迫切需要研究的課題，概括起來形成了四個核心問題：瞬時速度問題；曲線的切線；函數極值問題；求積問題（曲線長度、圖形面積等）。前三個問題的解決導致微分學的產生，第四個問題的解決導致積分學的產生。17世紀十多位數學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，解決了許多本來認為束手無策的難題，其中核心人物牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎試圖建立微積分理論，但是由于對無窮小認識不清導致了很多悖論引發(fā)第二次數學危機。雖然微積分理論不嚴密，但從17世紀末到19世紀初，微積分理論依然被廣泛而有效地應用于物理、天文等領域，并取得了豐碩的成果。后來經過兩百多年眾多數學家的努力，直到19世紀初，法國數學家柯西建立了嚴格的極限理論，后來德國數學家魏爾斯特拉斯等加以完善，從而形成了嚴密的實數理論，由此微積分理論的嚴密性無懈可擊。

在學習的過程中可以布置學生課外拓展閱讀數學史上著名的三次危機，了解危機的產生、發(fā)展、解決；查閱了解牛頓、萊布尼茲等數學家的生平事跡，學習他們的思維方法，數學精神等。

二、挖掘教學內容背后的文化素材

案例二：數列極限的概念學習中利用數學文化素材

數列極限概念的學習是一個由淺入深的過程，為了給學生以直觀的認識和深刻的體會，可以介紹我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中利用圓內接正多邊形計算圓面積的方法——割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。將割圓術的方法通過動畫演示顯現，借助多媒體讓學生直觀感受內接正多邊形面積逐步逼近圓面積的過程，引導學生體會從有限分割到無限接近的思想飛躍，進而引入數列極限概念。

同樣，還可以借助我國古代的“截杖問題”引入極限。

極限概念形成后，教師可以啟示學生極限思想在實際中的應用，利用極限思想考慮某些數學問題往往會有豁然開朗的思路。如被數學教育家G·波利亞稱為“由來已久的難題”的問題：兩人坐在方桌旁，相繼輪流往桌面上平放一枚同樣大小的硬幣。當最后桌面上只剩下一個位置時，誰放下最后一枚，誰就算勝了。設兩人都是高手，問先放者勝還是后放者勝？G·波利亞的巧妙解法是“一猜二證”：猜想（把問題極端化）如果桌面小到只能放下一枚硬幣，那么先放者必勝。證明（利用對稱性）由于方桌有對稱中心，先放者可將第一枚硬幣占據桌面中心，以后每次都將硬幣放在對方所放硬幣關于桌面中心對稱的位置，先放者必勝。從波利亞的精巧解法中，我們可以看到，他是利用極限的思想考察問題的極端狀態(tài)，探索出解題方向或轉化途徑。

課后可以讓學生進一步利用數列極限思想查閱Koch雪花曲線試著求其周長面積、Sierpinski三角形的形成等，進而延伸了解有關分形圖的有關知識，體味數學的圖形美。

三、引導學生學會欣賞數學之美

案例三：泰勒級數的學習中融入最美的數學等式——歐拉公式

在微積分的發(fā)展歷程中，將復雜函數展開成泰勒級數具有重要意義，這一節(jié)內容學習完畢后，我們可以應用所學的知識將函數用麥克勞林級數公式展開得到著名的歐拉公式，令可得，此公式曾獲得“最美的數學等式”稱號，它的令人驚嘆之處在于將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起：兩個超越數——自然對數的底e和圓周率π，兩個單位——虛數單位i和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現之一的0。此公式將這幾個看似毫無關系的數字如此自然而巧妙地寫成一個如此簡單的式子，甚稱“天作之合”！還有人理解0，1代表算術、e代表分析學、π代表幾何、i代表代數，一個公式將四個數學分支聯系在一起，冥冥之中早已存在于宇宙中！因此數學家評價它為“上帝創(chuàng)造的公式”，這充分體現了數學的統(tǒng)一美，使人為之深深地震撼！

凡是數學中奇妙的有規(guī)律的讓人愉悅的美的東西，我們都可以稱之為數學美，它是自然美中的一部分，是科學美學的核心，數學之美還有很多種，如圖形之美、語言之美、符號之美、結果之美、解題方法之美等等，這些美是含蓄而深邃的，需要一定的功底才可以被發(fā)掘的，所以教師在講課過程中要善于引導學生學會欣賞數學之美，一旦學生理解體會到了這些美，才會被數學深深吸引，才會有興趣有熱情去探索數學。

四、學習過程中增加數學典故，激發(fā)學生學習興趣，開闊視野

案例四：無窮大的理論學習中講解有限與無限的有關典故

無窮大是一種特殊形式的極限，學習了極限的概念后便可以從形式上給出無窮大的定義，但是如何讓學生深刻的理解無窮大，還需要教師多做一些設計，不妨講講與無窮大相關的典故，打打比方幫助學生理解無窮大的本質。

例如《西游記》中，孫悟空一個筋斗翻十萬八千里，可是他卻依然翻不出如來佛的手掌心。這里孫悟空不管筋斗翻得多遠，始終是個有限數，而如來佛法力無邊不妨將他的手掌看成無窮大，孫悟空每翻一個筋斗眼看要逃出如來佛手心的時候，如來佛的手又變大一點，再翻一個再大一點，……，如此一來永遠也逃不出去！于是無窮大可以理解為要它有多大它就有多大，無窮大是個變量！

再如希爾伯特的旅館：說是數學家希爾伯特開了一個空間旅館，旅館有無窮多個房間，每個房間都住了一個客人，這時又來了k個客人，依然要求每人住一間房，如何安排？又來了一個團，有無窮多個客人，該怎樣安排？又來了無窮多個團，每個團都有無窮多個客人，又該如何安排？通過分析答案發(fā)現無論來多少個客人，這個奇特的旅館始終能裝下，就是說無窮大中含有無窮個無窮大！

這對學生深刻理解無窮的含義和本質，領悟數學的奇妙和魅力有很好的促進，課后還可以進一步要求學生收集資料找出有限與無限的區(qū)別與聯系，布置學生看《從一到無窮大》、《奇妙的無窮》等拓展數學文化的書籍。

五、在數學的學習中體會哲學的思想

案例五：數項級數學習中插入“飛矢不動”悖論

無窮多項相加到底有沒有和，這便是級數要解決的問題，對這個知識的學習不妨介紹一下“飛矢不動”悖論。公元前五世紀，以詭辯著稱的古希臘哲學家芝諾（Zeno）用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識，引發(fā)出一系列關于運動不可分性的哲學的悖論，人們通常稱之為芝諾悖論?！帮w矢不動”悖論是其中之一。從數學的觀點來分析這個悖論，射出去的箭“動”是顯然的，“靜”可以理解為將箭走過的位移分成無窮多份，每份都是無窮小，箭在每一個瞬間都有一個固定的位置，或者說每一個瞬間基本是沒有位移的，這就產生了悖論。通過對悖論的破解引導學生體會時間的連續(xù)性，量變引起質變等哲學思想。

關于無窮多項相加在數學的歷史中還有過不少悖論，如阿基里斯追不上烏龜悖論等，學習了數項級數后可以讓學生查閱書籍收集這方面的悖論，并用學過的知識逐一破解。通過這種方式加深對知識的理解，激發(fā)學生學習興趣，體會哲學思想。

六、注重理論聯系實際，在應用中傳承數學文化

案例六：離散型隨機變量數學期望的實際應用

保險金問題：交強險是汽車保險中必買的險種，假設每次事故財產損失平均賠付500元，人員傷亡平均賠付3萬元，某型家庭自用車，每年繳納交強險金額為950元.據統(tǒng)計數據分析，該型車一年內發(fā)生交通事故導致財產損失和人員傷亡的概率為分別0.2958和0.0182。問：一輛該型車，保險公司年平均收益為多少呢？

設保險公司年收益為X，首先寫出X的分布律:根據題目給出的條件，當發(fā)生交通事故以0.2958的概率導致財產損失時，保險公司需賠償500元，投保人繳納了950元的保費，所以保險公司的收益為950-500=450元；當發(fā)生交通事故以0.0182的概率導致人員傷亡時，保險公司需賠償3萬元，950元的保費減去3萬為負29050元，若車輛沒有任何損失時，這950元的保費就為保險公司的純盈利，概率為0.6860。所以X的分布律如下：

思考：對于受害者來說，若遭遇重大的損失和傷亡，這500元及3萬元的賠償金無疑是杯水車薪，所以，投保人希望能提高賠償金（設m為財產損失平均賠償金，n為人員傷亡平均賠償金），同時又想少交一點保險費（設為s），而保險公司當然是想多收點保險費少陪一點錢，如何處理這種矛盾呢？即當m，n，s滿足什么關系式，保險公司才能盈利呢？

X的分布律如下：

（注：本文系湖北經濟學院法商學院2015年教育教學研究項目“數學文化融入大學數學教育的意義與策略研究”，項目編號：2015J16）

參考文獻：

［1］曾艷妮，徐勇.數學文化對大學數學教育的意義和作用［J］.湖北經濟學院學報（人文社科版），2016.1.

［2］彭維玲，歷建蘭.數學文化融入高師數學課堂教學的案例與分析［J］.通化師范學院學報（自然科學版），2015.4.

［3］曾艷妮.微積分教學中如何融入數學文化［J］.湖北經濟學院學報（人文社科版），2014.12.

［4］任秋萍，張曉光，王佳秋，王新霞.高等數學課堂教學中滲透數學文化的研究［J］.高師理科學刊，2014.11.

［5］張維忠，徐曉芳.基于數學文化的教學案例設計述評［J］.浙江師范大學學報（自然科學版），2008.9.