王乃玲

摘 要：數(shù)學思想是人類從最早的結繩記事起，在對數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、學習、應用過程中所總結的數(shù)學的學習規(guī)律，人們通過對這些規(guī)律的掌握，更好更快的學好數(shù)學，用好數(shù)學，讓其更好的為人類服務。數(shù)學方法是在數(shù)學思想的支配下，對特定的數(shù)學問題所給與的解決的方式。

關鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)學思想；數(shù)學方法；應用

用符號代替數(shù)，也即用字母表示數(shù)，是學完小學數(shù)學，開始接觸初中數(shù)學對學生提出的最基本的要求，符號代替數(shù)的思想是最基本的思想。方法是將復雜的問題通過已知的公理、定理，簡化為已知的問題。分類討論的思想是指有的問題不止一個結果，解題時要從各個方面綜合考慮，有不同的條件得出不同的結果，分類討論思想是數(shù)學的重要思想.函數(shù)思想是方程思想的轉(zhuǎn)化，這是因為函數(shù)是方程的轉(zhuǎn)化，每一個方程都是一個函數(shù)解析式，函數(shù)將方程通過圖形的形式表示出來，同時又具有能夠解決單純靠方程所不能解決的問題，函數(shù)思想貫穿整個數(shù)學知識的始終，其重要性不言而喻。數(shù)形結合的思想則應用的更為廣泛，大至幾何和代數(shù)的結合，小至一個簡單的數(shù)學問題的解決。

初中數(shù)學方法有很多，主要的上面已經(jīng)列舉，消元降次用來求解方程，一次多元方程組要用消元的方法，高次一元方程要用降次的方法，多元高次方程組消元降次兩種方法都要用到。待定系數(shù)法是確定代數(shù)式中某項系數(shù)的方法，是方程思想的具體應用。該法在函數(shù)解析式的求解方面有廣泛的應用。配方法是以完全平方公式為依據(jù)，將代數(shù)式進行恒等變形，解決因式分解、化簡求值、解方程和二次函數(shù)等方面的問題，應用十分廣泛。換元法基本思想是引進新的變量，把一個復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學問題，通過解決簡單的問題，達到解決復雜問題的目的，多用于解方程和代數(shù)式的化簡求值。

下面將結合初中數(shù)學的主要教學內(nèi)容合影些相關的實例來簡要說明一下思想方法的應用。

初中數(shù)學擺脫了小學只考慮“數(shù)”的局限性。開始用符號來表示數(shù)，符號的出現(xiàn)在整個數(shù)學發(fā)展史上是一個轉(zhuǎn)折點，有了符號，才有了整式，分式，進而有了方程，函數(shù)，才能將數(shù)和圖形相結合。符號可以表示變量，我們經(jīng)常說的代數(shù)就可以理解為用符號代替數(shù)，一個簡單的a就可以代表一切的數(shù)，應用是相當?shù)姆奖?。牢固的掌握好這思想，是學好數(shù)學的基礎。

有了符號，也就有了整式和分式，學習了整式和分式的四則運算，進而將最基本的一元一次方程引了出來。讓學生初步理解了“方程”這一數(shù)學的重要概念，在此基礎上簡單的介紹了一元一次不等式。學習了一元的，然后學習二元乃至高元的方程組，在此要強調(diào)消元的思想，并初步了解用方程解決問題的思想。

一次方程的學習使學生對方程有了大致的了解，但方程的學習并不局限與一次，為了從一次方程向二次方程過渡，首先要介紹因式的分解。這里涉及到的是分合的思想，許多學生在此往往產(chǎn)生認識上的迷茫，認為既然學習了代數(shù)式的乘除，為何又把它分解成因式呢？其實不管是因式的分解還是整式的乘除，在數(shù)學都有其重要的地位。這種分合的辯證思想在數(shù)學中十分常見。因式分解的學習為一元二次方程乃至以后的二次函數(shù)鋪平了道路。一元二次方程使初中數(shù)學的學習有了一個質(zhì)的飛躍。不僅使學生對方程思想的本質(zhì)及地位有了更加深刻的認識，還使數(shù)學的許多重要的思想方法在此得到了完美的結合和酣暢淋漓的應用。由二次方程上升到二次函數(shù)，首次向?qū)W生展示了函數(shù)思想，強化了數(shù)形結合的思想，化歸思想以及分類討論思想也得到更深的應用。與之相接合的方法則有待定系數(shù)法，配方法，降次法等。

二次方程和二次函數(shù)展示了數(shù)形結合的美妙，體現(xiàn)了數(shù)學中蘊藏的辯證法的思想。注重歸納演繹，分析綜合，抽象具體等辯證思維方法的運用，是學好這部分的關鍵。二次方程解題方法的靈活和二次函數(shù)圖像的千變?nèi)f化式這一部分成為初中數(shù)學的難點，整個中學數(shù)學的學習都以此為核心。學習時要學會通過圖像挖掘其中內(nèi)含的數(shù)學知識，數(shù)學離不了圖，圖也離不了數(shù)學。

為了更加形象的闡述數(shù)學思想和數(shù)學方法的應用，我們以下面幾個典型例題為例：

例1，當a取什么數(shù)時，關于x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根？

解析：此題應用的是分類討論的思想，題目很簡單，但其中運用的思想值得我們學習。解題時先要從宏觀上對此方程的類型進行分析。若a=0，方程只是一個一元一次方程，有正根，符合題意。若a≠0，方程是一個一元二次方程，先要進行判別式的判斷，保證其有實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關系對a>0和a<0分別進行討論。由讀者自己解答。

分類討論思想地位特殊，在眾類數(shù)學思想中處于領先地位。其他的數(shù)學思想大多是和數(shù)學方法相結合，唯有分類討論思想獨領風騷，是一個完全獨立的思想。為了強化其重要性，下面再舉一例：

例2，如圖，點A（0，6）、B（3，0）、C（2，0）、M（0，m），其中m<6，以M為圓心，MC為半徑做圓。

（1）m為何值時，圓M與直線相切；

（2）當m=0時，圓M與直線有怎樣的位置關系？當m=3時，圓M與直線有怎樣的未知關系？

（3）由（2）的結果，你是否得到啟發(fā)，從而得出m在何范圍取值時，圓M與直線AB相離？相交？

解析：此題首先用到數(shù)形結合的思想，使一道利用代數(shù)的方法解決圓與直線位置關系的問題。有幾何知識，知當圓的半徑為R時，設直線與圓心的距離為r，若r=R，則直線與圓相切；若r>R，則直線與圓相離；若r>R，則直線與圓相交。本題中，設M到直線AB的距離為r，所以解決此題只需解決r與︱MC︱的大小關系。但對M點的位置要分別討論，即對M>0、M=0、M<0時分別討論。至于如何求r，可用三角形相似的方法，也可以直接運用點到直線的距離公式。

答案：（1）m=-4或m=1（2）m=0時，圓M與直線AB相離。m=3時，圓M與直線AB相交。（3）相離的范圍：-4分類討論的思想一般在幾何中應用較廣，代數(shù)中關于一元二次方程和函數(shù)的題中也經(jīng)常用到。

其實，每一種獨立的數(shù)學思想方法經(jīng)常不是單獨的發(fā)揮作用，在解題時，要注意各種思想方法的綜合應用，善于發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)部聯(lián)系。

綜上所述，我們對數(shù)學的思想方法有了一個大致得了解，最后，我們再強調(diào)一下，思想是靈魂，方法是關鍵。每一道數(shù)學題都有自己的思想方法。思想和方法是相輔相成，不可分割的。