呂云海 黃光玉

【摘 要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中強(qiáng)調(diào)對(duì)基本數(shù)學(xué)概念和思想的理解與掌握。高中階段的數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以從前后知識(shí)的聯(lián)系出發(fā)引入概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，在運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；數(shù)學(xué)概念；“函數(shù)的奇偶性”

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）23-0038-02

【作者簡(jiǎn)介】1.呂云海，南京師范大學(xué)（南京，210024）教師教育學(xué)院碩士研究生；2.黃光玉，南京市金陵中學(xué)（南京，210005）教師，一級(jí)教師。

“數(shù)學(xué)是玩概念的”，這是廣大數(shù)學(xué)教師都耳熟能詳?shù)囊痪湓挕＿@也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中概念教學(xué)的重要性。數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，說(shuō)到底是歸納、概括、抽象的過(guò)程。那么，數(shù)學(xué)概念該怎么教呢？筆者認(rèn)為，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。接下來(lái)，筆者以“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)為例，談?wù)剬?duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考。

一、概念引入時(shí)注重前后知識(shí)的聯(lián)系

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論告訴我們，學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)順應(yīng)和同化的過(guò)程，新知識(shí)是舊知識(shí)的自然生長(zhǎng)。初中階段，學(xué)生的認(rèn)知水平以形象思維為主，他們看到的知識(shí)往往是割裂的。高中階段，學(xué)生的抽象思維和邏輯能力有所提高，他們能認(rèn)識(shí)到前后知識(shí)之間是有聯(lián)系的，在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)也能對(duì)舊知識(shí)起到復(fù)習(xí)鞏固的作用。例如，在研究邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí)，發(fā)現(xiàn)找不到已有的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，于是在整數(shù)和分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上我們引入了無(wú)理數(shù)的概念。這樣將新舊知識(shí)串起來(lái)，學(xué)生便能對(duì)數(shù)域的分類(lèi)有更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。因此，在概念教學(xué)中可以利用合適的問(wèn)題情境，溝通前后知識(shí)之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、遷移逐步揭開(kāi)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生從整體性、系統(tǒng)性上感受引入新概念的必要性。

以“函數(shù)的奇偶性”概念教學(xué)為例。首先，在地位上，它是本章在學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性之后，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步研究。其次，在內(nèi)容上，從數(shù)的角度看，f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），它揭示的是自變量互為相反數(shù)時(shí)函數(shù)值之間的特殊關(guān)系（相等或互為相反數(shù)）；從形的角度看，它描述的是函數(shù)圖象的一種對(duì)稱性（軸對(duì)稱或中心對(duì)稱）。這就在“函數(shù)性質(zhì)”和“對(duì)稱性”之間構(gòu)建了一座對(duì)接的橋梁，給新概念的引入提供了思路。

在引入概念前，先帶領(lǐng)學(xué)生回顧本章已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性?！澳敲?，函數(shù)還有其他性質(zhì)嗎？”這樣便引入一種新的性質(zhì)。這樣的設(shè)計(jì)，使本章節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)一目了然。在引入概念時(shí)，先展示一組生活中的圖片：蝴蝶、麥當(dāng)勞標(biāo)志、太極圖等，讓學(xué)生總結(jié)這些圖的共同特征。有了初中對(duì)稱性的基礎(chǔ)，學(xué)生不難說(shuō)出它們都是對(duì)稱圖形。再通過(guò)追問(wèn)，帶領(lǐng)他們回顧軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的特征?！澳敲?，此時(shí)該如何搭建起‘對(duì)稱性與‘奇偶性之間的橋梁呢？”從兩者的屬性上看，這其實(shí)是在“形”和“數(shù)”之間尋找某種聯(lián)系，而關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生是有一定認(rèn)知基礎(chǔ)的?；谶@樣的考慮，筆者設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：“對(duì)稱性，直觀上看它是一種幾何性質(zhì)，然而‘形無(wú)數(shù)時(shí)難入微，能否從代數(shù)的角度去研究這種特征，用符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)這種對(duì)稱性？”至此，利用前后知識(shí)的聯(lián)系創(chuàng)建了問(wèn)題情境，接下來(lái)便是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程。

二、概念形成時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏說(shuō)過(guò)，學(xué)生在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)很快忘記，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地在發(fā)生作用，使他們終身受益。新概念的建立過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，因此，筆者將數(shù)學(xué)思想作為學(xué)生形成新概念的切入點(diǎn)。

教材中在處理本節(jié)內(nèi)容時(shí)，先列舉實(shí)際生活中的對(duì)稱現(xiàn)象，接著從兩個(gè)具體函數(shù)的圖象出發(fā)，觀察到兩個(gè)圖象分別是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的，然后通過(guò)特殊點(diǎn)，歸納出當(dāng)自變量取相反數(shù)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系。這樣的設(shè)計(jì)固然合理，但筆者認(rèn)為這樣的過(guò)程學(xué)生參與度不高，積極性沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，學(xué)習(xí)能力也沒(méi)有得到鍛煉。秉著“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”的原則，筆者設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)思路。

在概念形成時(shí)，先以軸對(duì)稱圖形為例研究“偶函數(shù)”。筆者提出要從數(shù)的角度去研究對(duì)稱性，學(xué)生對(duì)此可能會(huì)有疑惑，他們知道這里蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想，但還是不會(huì)具體操作，這時(shí)可以發(fā)揮教師語(yǔ)言的引導(dǎo)作用：什么數(shù)學(xué)模型可以將“數(shù)”和“形”的研究結(jié)合起來(lái)？利用數(shù)形結(jié)合研究的重要工具是什么？當(dāng)然是函數(shù)模型和坐標(biāo)系。有了坐標(biāo)系，圖形就成了函數(shù)圖象，圖象的對(duì)稱就可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的對(duì)稱，而點(diǎn)的對(duì)稱經(jīng)過(guò)符號(hào)化，就可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間的關(guān)系：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，即f（-x）=f（x）。具備如此數(shù)量關(guān)系的函數(shù)，我們便定義為“偶函數(shù)”。

經(jīng)歷了軸對(duì)稱圖形的研究，我們獲得了“偶函數(shù)”的概念，那么，中心對(duì)稱的背后又隱藏著什么結(jié)論呢？學(xué)生通過(guò)類(lèi)比，不難得到f（-x）=-f（x），于是“奇函數(shù)”的概念也自然形成。至此，反復(fù)經(jīng)歷“選圖—抽象—建系—設(shè)點(diǎn)—符號(hào)化—?dú)w納—總結(jié)”的探究過(guò)程，數(shù)形之間建立了聯(lián)系，知識(shí)得到有效遷移，抽象、模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、符號(hào)化、類(lèi)比等一系列數(shù)學(xué)思想得到滲透，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也得到充分的提高。

當(dāng)然，學(xué)生在形成概念的過(guò)程中，得到的結(jié)論往往是比較粗糙、膚淺、不規(guī)范的，為了進(jìn)一步凝練和升華這些知識(shí)，形成科學(xué)的概念，教師的引導(dǎo)和啟發(fā)作用至關(guān)重要。此外，概念的形成必須建立在學(xué)生已有的基礎(chǔ)上，教師要對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平有較為準(zhǔn)確的判斷，提問(wèn)要便于學(xué)生思考，否則問(wèn)題要不就過(guò)于簡(jiǎn)單，無(wú)法調(diào)動(dòng)積極性，要不就過(guò)于困難，會(huì)打擊學(xué)生自信心。教師要對(duì)知識(shí)的背景、形成過(guò)程有細(xì)致的理解，做好課前預(yù)設(shè)，利用課堂生成，以獲得良好的效果。

三、概念發(fā)展中提供反思質(zhì)疑的機(jī)會(huì)

如果說(shuō)概念形成的過(guò)程是概念教學(xué)的核心，那么處理好“概念發(fā)展”這一環(huán)節(jié)對(duì)教學(xué)而言便是畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆。這個(gè)過(guò)程非常考驗(yàn)教師的素質(zhì)和水平，許多教師在教學(xué)中往往會(huì)忽略這一點(diǎn)，完全利用例題去鞏固知識(shí)，使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)僅僅停留在表面，沒(méi)有對(duì)概念進(jìn)行深一步思考的意識(shí)。莎士比亞說(shuō)過(guò)，一千個(gè)人眼中就有一千個(gè)哈姆雷特。同一概念在不同學(xué)生的眼里自然會(huì)有不一樣的理解。課堂是生成的活動(dòng)，新課程改革重視教學(xué)中學(xué)生的主體地位，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供反思和質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，學(xué)生的質(zhì)疑不管對(duì)錯(cuò)，對(duì)教學(xué)而言都是生成性資源，它們的存在有些不是偶然的，是有利用價(jià)值的，解決得好能讓學(xué)生對(duì)新概念有更清晰的認(rèn)識(shí)。

在鞏固“函數(shù)的奇偶性”概念時(shí)，學(xué)生就提出了這樣的問(wèn)題：函數(shù)的奇偶性既然表現(xiàn)出的是圖象的對(duì)稱性，為何不稱這種性質(zhì)叫“函數(shù)的對(duì)稱性”？這個(gè)問(wèn)題看似是無(wú)關(guān)緊要的題外話，其實(shí)背后有許多值得思考的地方。筆者便追問(wèn)學(xué)生：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們也研究了圖象的對(duì)稱性，它關(guān)于直線x=-■對(duì)稱，那能否說(shuō)二次函數(shù)也具有奇偶性呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)短暫的思考后領(lǐng)悟到，奇偶性揭示的是圖象關(guān)于y軸或原點(diǎn)的特殊對(duì)稱，一般的圖象對(duì)稱并不能稱為具有奇偶性。于是，學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題的提出與解決后，對(duì)奇偶性的概念有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

綜上所述，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要全面落實(shí)學(xué)生的主體性地位，重視數(shù)學(xué)概念的二重性。既要關(guān)注概念形成的過(guò)程，以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為依托，開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，滲透數(shù)學(xué)思想；也要從整體上把握概念的本質(zhì)，在過(guò)程中不斷尋求概念間的內(nèi)在聯(lián)系?！?/p>

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