鄭三香

[摘 要] 課程標(biāo)準(zhǔn)指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.因此日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力顯得尤為重要.本文就如何利用好教材培養(yǎng)學(xué)生的建模能力談?wù)剮c(diǎn)體會(huì).

[關(guān)鍵詞] 教材 培養(yǎng) 建模能力

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0010

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域.新課標(biāo)精神力求改變學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)知識(shí)后無(wú)法用或不會(huì)用、甚至覺(jué)得毫無(wú)用處的局面.因此，日常教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模顯得尤為重要.

對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就稱為數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程大致為：實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型、對(duì)模型進(jìn)行求解、對(duì)模型解答翻譯回實(shí)際問(wèn)題中驗(yàn)證.整個(gè)流程完成了從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到實(shí)際問(wèn)題的循環(huán)、完善的過(guò)程.

筆者就如何利用好教材培養(yǎng)學(xué)生的建模能力談?wù)剮c(diǎn)體會(huì).

一、在知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)建模過(guò)程

數(shù)學(xué)教材中的概念、定理、公式等都是從現(xiàn)實(shí)世界中經(jīng)過(guò)逐步抽象、概括而得到的數(shù)學(xué)模型.這些知識(shí)的抽象過(guò)程其實(shí)就是數(shù)學(xué)的建模過(guò)程.教師在教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)可以有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)這一過(guò)程，從而培養(yǎng)他們的建模能力.如在學(xué)“角”的概念時(shí)，教材中舉了鐘面上的時(shí)針與分針、棱錐相交的兩條棱、三角尺兩條相交的邊線的實(shí)例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把它們抽象成有公共端點(diǎn)的兩條射線，再讓學(xué)生把抽象得到的圖形畫(huà)出來(lái)，就得到了角的圖形，用文字表述出來(lái)就是“角”的概念.又如在學(xué)“等式的性質(zhì)”時(shí)，教材采用了在平衡的天平兩邊同時(shí)增（減）相同的量天平還能保持平衡的實(shí)例，教師可引導(dǎo)學(xué)生把天平兩邊的物體質(zhì)量分別用字母a、b表示，增（減）的質(zhì)量用字母c表示，把“平衡”抽象成“=”號(hào)，于是就建成了等式性質(zhì)的模型.

二、在例（習(xí)）題的教學(xué)過(guò)程中訓(xùn)練學(xué)生的建模能力

1.從解簡(jiǎn)單的建模題入手，樹(shù)立學(xué)生的信心

初中數(shù)學(xué)教材中常見(jiàn)的建模類型不少.如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、三角模型、統(tǒng)計(jì)模型等.但筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生遇到生活化的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要建模來(lái)解決時(shí)，經(jīng)常會(huì)感到底氣不足，不知從何下手.其原因是缺乏解建模題的成功體驗(yàn).因此要樹(shù)立他們的信心，就應(yīng)該讓他們從解簡(jiǎn)單的建模題開(kāi)始.教材中習(xí)題的編排其實(shí)是有這種意圖的.如人教版初中教材“一元一次方程”這章中安排了一道題：“甲種鉛筆每枝0.3元，乙種鉛筆每枝0.6元，用9元錢(qián)買(mǎi)了兩種鉛筆共20枝，兩種鉛筆各買(mǎi)了幾枝？”.這些問(wèn)題生活背景簡(jiǎn)單，語(yǔ)言直接，模型明顯，解決起來(lái)要經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.教師要用好這些練習(xí)，讓學(xué)生在解決這些問(wèn)題中得到充分鍛煉，為解決復(fù)雜的建模問(wèn)題打下基礎(chǔ)，獲得成功的體驗(yàn)，同時(shí)樹(shù)立信心.

2.從文字冗長(zhǎng)的建模題中培養(yǎng)學(xué)生的信息處理能力

生活化的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往文字冗長(zhǎng)、數(shù)據(jù)眾多、信息量大、專業(yè)術(shù)語(yǔ)多，問(wèn)題背景涉及生活的各個(gè)領(lǐng)域.如七年級(jí)的應(yīng)用題就有電信資費(fèi)問(wèn)題、商品利潤(rùn)問(wèn)題等.因此教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)對(duì)教材習(xí)題中出現(xiàn)的一些專有名詞如與商品銷售有關(guān)的“營(yíng)業(yè)額、營(yíng)業(yè)成本、利潤(rùn)及利潤(rùn)率、折扣率”與儲(chǔ)蓄有關(guān)的“本金、利息、利率、期數(shù)、本息和”等應(yīng)作出詳細(xì)的說(shuō)明，同時(shí)要讓他們弄清楚其間存在的數(shù)量關(guān)系.在具體教學(xué)這類題時(shí)可以從以下幾方面著手培養(yǎng)學(xué)生的建模能力.

（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)提煉有用信息

【例1】 （人教版教材）甲、乙兩商店以同樣價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案.在甲店累計(jì)購(gòu)買(mǎi)100元商品后，再購(gòu)買(mǎi)的商品按原價(jià)的90%收費(fèi)；在乙店累計(jì)購(gòu)買(mǎi)50元商品后，再購(gòu)買(mǎi)的商品按原價(jià)的95%收費(fèi).顧客怎樣選擇商店購(gòu)物能獲得更大優(yōu)惠？審題時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題，理解題意，提煉出這些有用信息：“兩店標(biāo)價(jià)同.購(gòu)物額>50元后再購(gòu)商品乙店九五折；購(gòu)物額>100元后再購(gòu)商品甲店九折”.同時(shí)要求學(xué)生在草稿紙上寫(xiě)下來(lái).題目?jī)?nèi)容簡(jiǎn)化后，再作進(jìn)一步分析建模就變得更容易了.

（2）讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助表格來(lái)分析

對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、數(shù)量間有聯(lián)系的題目，教師可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)借助表格來(lái)分析整理數(shù)據(jù)，從而能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中清楚地找到有關(guān)系的量，為建立數(shù)學(xué)模型掃清障礙.

【例2】 （人教版教材）長(zhǎng)青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購(gòu)買(mǎi)一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地.已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸·千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸·千米），且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元.這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？因?yàn)殇N售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費(fèi)與原料數(shù)量有關(guān)，所以設(shè)產(chǎn)品重x噸，原料重y噸.列表分析如下：

學(xué)生通過(guò)列表分析整理數(shù)據(jù)，相等關(guān)系一目了然，為建模開(kāi)辟了道路.

（3）讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖形來(lái)分析

【例3】 （人教版教材）參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，有多少人參加聚會(huì)？設(shè)有x人參加聚會(huì)，筆者引導(dǎo)學(xué)生把參加聚會(huì)的人數(shù)x抽象成直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，每一個(gè)點(diǎn)都分別和除了它本身以外的點(diǎn)組成一條線段，因?yàn)橹貜?fù)計(jì)算，則握手的次數(shù)相當(dāng)于該直線上線段的數(shù)目，于是由建立幾何模型得到 x（x-1） 2 =10

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三、在解決實(shí)際問(wèn)題中鍛煉學(xué)生的建模能力

《課程標(biāo)準(zhǔn)及解讀》中指出：數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行運(yùn)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象.因此我們可以結(jié)合教材讓學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，鍛煉學(xué)生的建模能力.例如，人教版教材《銳角三角函數(shù)》這章中安排了“制作測(cè)角儀，測(cè)量樹(shù)的高度”的數(shù)學(xué)活動(dòng).教師可以布置學(xué)生以小組為單位帶上自己制作的簡(jiǎn)易測(cè)角儀、皮尺等測(cè)量工具到操場(chǎng)上測(cè)一棵樹(shù)的高度.學(xué)生們經(jīng)測(cè)量取得了所需要的數(shù)據(jù)：仰角α、測(cè)量者到樹(shù)根的距離m、測(cè)量者的身高h(yuǎn)，回到教室根據(jù)所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)，小組交流、討論、畫(huà)圖、建模，得到了要測(cè)樹(shù)的高度用公式表達(dá)為h+m·tanα（注：如圖所示，∠ADE=α、BC=m、CD=h）.

又如還可以讓學(xué)生用角的知識(shí)制作正五角星，用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)一次半期考試全班的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析等等.教材中提供了豐富的學(xué)生活動(dòng)題材，只要教師多創(chuàng)造機(jī)會(huì)放手讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，他們的建模能力就能在解決問(wèn)題中不斷提高.

當(dāng)然，教師首先必須吃透教材的各個(gè)版塊，領(lǐng)會(huì)教材設(shè)計(jì)的意圖，從中挖掘建模教學(xué)的素材，認(rèn)真鉆研建模教學(xué)的方法，才能充分發(fā)揮教材的建模教育功能，使學(xué)生的建模能力得以提高.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）