王曉雯

【摘要】很多高中學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是通過死記硬背，并沒有在真正理解概念的情況下去解題，使得他們只會(huì)模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的題目就束手無策，由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；抽象；邏輯；滲透

一、數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)概念是反映這些數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。數(shù)學(xué)概念的語詞表達(dá)一般形式是“（概念的本質(zhì)屬性）……叫做……（概念的名詞）”。數(shù)學(xué)概念的特征有：

1、抽象和具體雙重性

數(shù)學(xué)概念是反映一類事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式，它排除了對(duì)象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性。這種抽象可以脫離具體的物質(zhì)內(nèi)容，在已有的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上進(jìn)行多級(jí)的抽象，形成一種具有層次性的體系。譬如，函數(shù)→連續(xù)函數(shù)→可微函數(shù)。這就是一個(gè)函數(shù)概念體系的抽象體系。顯然，隨著概念的多級(jí)抽象，所得到的概念的抽象程度就會(huì)越來越高。

2、邏輯連續(xù)性

在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)體系中，數(shù)學(xué)概念之間往往存在著某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，而這些關(guān)系實(shí)質(zhì)是邏輯關(guān)系。在一個(gè)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，因?yàn)檫@種概念沒有太大的意義和研究價(jià)值。反過來，數(shù)學(xué)概念的邏輯化又使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化，公理化系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化的最高表現(xiàn)形式。

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法

1、引入新概念時(shí)要使學(xué)生明白學(xué)習(xí)新概念的必要性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性

引入一個(gè)新概念，要向?qū)W生講清楚為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，能解決什么問題。例如，由相反意義的量引進(jìn)了負(fù)數(shù)，研究兩個(gè)有對(duì)應(yīng)關(guān)系的量引入函數(shù)的概念等等。這些問題通常來自生產(chǎn)實(shí)際。有時(shí)則可以借助于某個(gè)故事，如講等比數(shù)列可以用古印度國王獎(jiǎng)賞象棋發(fā)明人的故事。這些實(shí)際的材料或故事，往往能引起學(xué)生濃厚的興趣，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。特別是生動(dòng)有趣的故事，寓意深刻，不僅講了數(shù)學(xué)概念，還講了數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法。

2、利用豐富的感性材料，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性和內(nèi)部聯(lián)系。它是人們?cè)诟杏X、知覺、觀念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用分析、比較、綜合、抽象、概括等而形成的。例如，講多邊形概念時(shí)，可以從方桌面，鋪地的正六邊形磚，公園里的八角亭、正五角星頂點(diǎn)順次所連的圖形引入?？赡軐W(xué)生會(huì)說出各邊都相等或各角都等的多邊形叫正多邊形，這時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生注意菱形和矩形并不是正多邊形，從而得出正多邊形的正確意義。

另一方面，許多概念是在學(xué)生已有的知識(shí)（概念、法則、定理等）基礎(chǔ)上規(guī)定的，它無須用實(shí)際的例子來引入，只需將新概念的本質(zhì)屬性與他的已有的知識(shí)聯(lián)系起來，便能理解新概念。

3、讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)同類概念的邏輯關(guān)系

（1）同一關(guān)系。兩個(gè)概念的外延表示相同的對(duì)象。如自然數(shù)和正整數(shù)，三角形和三邊形等。

（2）從屬關(guān)系。例如：平行四邊形、矩形、正方形。種概念加屬差等于類概念，一系列具有從屬關(guān)系的概念，外延縮小，內(nèi)涵增大；外延擴(kuò)大，內(nèi)涵縮小。

（3）交叉關(guān)系。兩個(gè)概念的外延有一部分是相同的。如矩形和菱形的公共部分是正方形。

（4）矛盾（對(duì)立）關(guān)系。如有理數(shù)與無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)、有理式與無理式，他們的內(nèi)涵互相矛盾，因此，它們之中的任何一個(gè)可以用集合的補(bǔ)集得出。（注意：正數(shù)與負(fù)數(shù)不是對(duì)立的概念。）

（5）并列關(guān)系。兩個(gè)概念的外延沒有公共部分。如平行四邊形和梯形是兩個(gè)并列的概念。

（6）互逆關(guān)系。加法和減法，乘法和除法、乘方和開方、冪和方根、指數(shù)和對(duì)數(shù)、函數(shù)和反函數(shù)等，要注意它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

（7）互通關(guān)系。如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是互通的，要注意它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

對(duì)于每一個(gè)概念要注意他們的規(guī)定條件、適用的范圍。如補(bǔ)集是對(duì)于全集而言，不等式的有關(guān)性質(zhì)只在實(shí)數(shù)中考慮，用一元二次方程的判別式研究實(shí)根是對(duì)于實(shí)數(shù)系方程而言，單調(diào)函數(shù)是對(duì)屬于定義域某個(gè)區(qū)間而言。分解因式和解方程必須注意數(shù)集的要求等等。

4、概念是逐步建立起來的，要有計(jì)劃的滲透、豐富和深化

（1）概念的掌握不是一次完成的，這里有一個(gè)由膚淺認(rèn)識(shí)到深刻理解的過程。

（2）具有階段性要求的概念，如數(shù)的概念貫穿于整個(gè)中小學(xué)教學(xué)之中，要注意隨著概念的發(fā)展使理解逐步完善。

（3）有的概念，從小學(xué)就開始滲透、應(yīng)用，為正式學(xué)習(xí)新概念做好充分準(zhǔn)備，如函數(shù)、對(duì)應(yīng)等概念到初三才講，集合、極限到高中才正式介紹。

（4）關(guān)于豐富和深化的概念，如絕對(duì)值隨著數(shù)集的擴(kuò)充不斷豐富和深化。再以“和”這個(gè)概念為例，在引入負(fù)數(shù)之前和僅限于正分?jǐn)?shù)集與零；在實(shí)數(shù)集中“和”指“代數(shù)和”；學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)向量表示，又有“向量和”；學(xué)習(xí)了極限之后，對(duì)于無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，這個(gè)“和”是一個(gè)變量取極限的結(jié)果。此外，計(jì)算圓的周長（面積）、球面積（體積），實(shí)際也是變量取極限的結(jié)果（和）。

上面說的概念滲透、豐富和深化過程是通過對(duì)于概念的不同時(shí)期階段性的要求，通過知識(shí)的發(fā)展、概念的完善逐步實(shí)現(xiàn)的。這種由對(duì)概念的個(gè)別、局部、片面的理解過渡到對(duì)概念的一般、整體及至全面的理解，從而完成了這些概念的教學(xué)。教材這樣的安排是符合學(xué)生思維發(fā)展水平、符合具體到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由淺到深的認(rèn)識(shí)規(guī)律的。

5、吸收概念精華，感悟數(shù)學(xué)思想

概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的精華，概念的獲得是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的節(jié)點(diǎn)而不是終點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟隱含于概念形成中的思想方法，在概念的運(yùn)用和推廣中滲透數(shù)學(xué)思想方法，這才是概念生成的核心。

“概率的頻率定義”的教學(xué)中，除了隨機(jī)性，還有頻率的穩(wěn)定性。我在實(shí)際授課中設(shè)計(jì)了四個(gè)實(shí)驗(yàn)：投硬幣看正反，電腦抽獎(jiǎng)看分布圖，蒲豐投針看圓周率，撲克牌看花色分布，讓學(xué)生在做試驗(yàn)的過程感受到這種隨機(jī)性和穩(wěn)定性的過程，充分感悟和體驗(yàn)這種隨機(jī)性和穩(wěn)定性，使他們體會(huì)出“概率的頻率定義”應(yīng)用的廣泛性，這個(gè)思想方法就是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石。動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的價(jià)值在于生成數(shù)據(jù)的信度更高，相對(duì)于強(qiáng)加給學(xué)生信息，直接經(jīng)驗(yàn)重于間接經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思想得以真正體。

在復(fù)習(xí)“方程”這個(gè)概念時(shí)，學(xué)生研究一元二次方程，得到其求根公式、維達(dá)定理等結(jié)論；研究分式方程得到化分式為整式的經(jīng)驗(yàn)，注意分母不為零；在研究無理方程時(shí)知道要考慮有理化和其存在的意義。通過這些結(jié)論的對(duì)比分析，得到解方程的本質(zhì)就是同解變形。這些結(jié)論的生成和知識(shí)現(xiàn)象背后的本質(zhì)不是教師灌輸給學(xué)生的，而是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作研究的過程中探索得到的，對(duì)學(xué)生來說是原發(fā)性、持續(xù)性、創(chuàng)造性的知識(shí)。

從概念的系統(tǒng)中掌握概念，我們應(yīng)該在研究獲得的結(jié)論中進(jìn)行篩選，提煉出形式最簡(jiǎn)、表征合理、有應(yīng)用和推廣價(jià)值的結(jié)論進(jìn)行深度剖析。一方面從結(jié)論的內(nèi)涵出發(fā)，討論結(jié)論成立的充分必要條件，可能引發(fā)出的新的結(jié)論等；另一方面從結(jié)論的外延即應(yīng)用出發(fā)，用此結(jié)論解決各種實(shí)際或抽象問題，加深對(duì)結(jié)論的記憶，并體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意。

數(shù)學(xué)概念是抽象化了的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是反映它們本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)符號(hào)實(shí)是數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式（符號(hào)化了的數(shù)學(xué)概念）。正確理解概念及其符號(hào)是運(yùn)用概念進(jìn)行判斷和推理的條件和依據(jù)。在教學(xué)中自覺地運(yùn)用認(rèn)識(shí)規(guī)律，能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量不斷得以提高。