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合理定位變量有效解決雙變量最值問題

江蘇省常州市奔牛高級中學(213131)狄聞于

近幾年各個省份對二元變量求最值問題的考察非常頻繁，這些問題式子繁，難度大，綜合性強，涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何及導數(shù)等諸多高中數(shù)學重點知識，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、轉化化歸思想及數(shù)形結合等若干核心數(shù)學思想的應用.學好二元變量最值的求解是函數(shù)部分的一大重點.

讓我們先來看一組典型例題：

例1(1) 不等式ax2+4x+a>1-2x2在x∈R上恒成立，則a的范圍是多少？

(2)不等式ax2+4x+a>1-2x2對|a|≤2的所有a恒成立，求x范圍是多少？

這是我們經(jīng)常遇到的兩道二元變量的不等式恒成立問題.

從以上兩題可以看出題中的變量與參數(shù)是相對而言的，只是不同的題目，不同的情況而已，一般我們可以總結為給出誰的范圍，誰就是主元，要求誰的范圍，誰就是參數(shù)，這樣便能領悟雙變量問題的真諦，迅速解決問題.平時的教學既要注重知識教學，更要注重能力培養(yǎng)，在引導學生對典型問題分析，討論的過程中尤其要注重方法與技能的概括與總結，這樣才能有效提升學生的數(shù)學思維能力.下面讓我們再看一例.

這是一道典型的二元變量求最值問題，仔細分析問題，發(fā)現(xiàn)a,b間無等量關系，常規(guī)的一些方法，如消元，基本不等式，線性規(guī)劃都解決不了問題.若a,b都在變，則最值很難研究.我們不妨定一個，動一個，即一個看做變量，另一個看做參數(shù).

以上解雙變量問題的核心思想為定一變一，即確定一個為主元，另一個為參數(shù)，這樣就可以構造函數(shù)，利用函數(shù)思想來解決問題，所以合理定位主元，參數(shù)是打通解題通道的關鍵.

解析：此題表面看上去有四個變量x,a,b,t ，但只要將問題與已有條件結合起來，便可順利轉化，學習和掌握等價轉化思想有利于我們從更深刻層次去揭示數(shù)學知識和方法的內在聯(lián)系，從而提高分析問題，解決問題的能力.

通過我們發(fā)現(xiàn)題目所給的條件越來越精煉，沒有了明顯的提醒，這就對學生的能力提出了更高的要求，所以我們需要對變量仔細解讀，然后合理的定位，從而解決雙變量最值問題.