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解幾中一類(lèi)題不同的處理視角舉隅

江蘇省蘇州市吳縣中學(xué)(215151)張文海

向量作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系后，不僅成為支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)知識(shí)，也是研究許多重要數(shù)學(xué)問(wèn)題強(qiáng)有力的工具之一.而“注重通性通法，淡化特殊技巧”、“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”是近幾年來(lái)新高考命題的重要理念.本文擬從坐標(biāo)、距離、向量三個(gè)角度分析處理解析幾何中的一類(lèi)向量數(shù)量積或線段之積問(wèn)題的解法，以供復(fù)習(xí)參考.

一、從“坐標(biāo)”的角度轉(zhuǎn)化問(wèn)題

平面向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重屬性，它融數(shù)形于一體，與解析幾何的本質(zhì)一脈相承，所以聯(lián)系向量和解析幾何的重要橋梁就是坐標(biāo)，利用坐標(biāo)解向量與解析幾何的綜合題是通性通法之一.

圖1

(1)求橢圓C的方程；

二、從“距離”的角度轉(zhuǎn)化問(wèn)題

(1)若A為橢圓的下頂點(diǎn)，求橢圓的離心率e；

解：(1)略.

圖2

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E；

圖3

(x+4)2+y2-4=2[(x-4)2+y2]，化簡(jiǎn)得(x-12)2+y2=124．

三、從“向量”的角度轉(zhuǎn)化問(wèn)題

圓錐曲線中的定值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，由于定值一般沒(méi)有給出，這類(lèi)題不僅考查邏輯思維和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，還要具備較強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)和轉(zhuǎn)化與化歸的能力．由于向量的模是數(shù)量，從而在解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)把長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化處理．

例4設(shè)圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A(1,0).

(1)若直線l1與圓C相切，求直線l1的方程；

(2)若直線l1與圓C相交于直線P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又直線l1與直線l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，求證：AM·AN為定值．

圖4

解：(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x=1，符合題意．