張　寅

湖南省桃江縣第一中學(xué)　(413400)　胡芳舉湖南省桃江縣職業(yè)中?！?413400)

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圓錐曲線的一組統(tǒng)一性質(zhì)

張寅

湖南省桃江縣第一中學(xué)(413400)胡芳舉湖南省桃江縣職業(yè)中專(413400)

本文將給出圓錐曲線的一組美妙性質(zhì).

圖1

定理1如圖1，已知曲線(橢圓或雙曲線)ax2+by2=1及兩定點(diǎn)M(m,0)、N(n,0)(M,N不在曲線上)，動(dòng)弦AB過(guò)點(diǎn)M，直線AN、BN分別交曲線于點(diǎn)C、D，設(shè)直線AB、CD的斜率分別為k1、k2(k1k2≠0)，則

(1)直線CD過(guò)定點(diǎn)R(r,0)；

證明：(1)由k1k2≠0知：A、B、C、D四點(diǎn)都不在x軸上.

由A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(m,0)共線得

由于a,m,n為定值，故r為定值，所以直線CD過(guò)定點(diǎn)R(r,0).

圖2

定理2如圖2，已知拋物線y2=2px(p>0)及兩定點(diǎn)M(m,0)、N(n,0)(M,N不在拋物線上)，動(dòng)弦AB過(guò)點(diǎn)M，直線AN、BN分別交拋物線于點(diǎn)C、D，設(shè)直線AB、CD的斜率分別為k1、k2(k1k2≠0)，則

(1)直線CD過(guò)定點(diǎn)R(r,0)；