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縮小參數(shù)范圍優(yōu)化“恒成立問(wèn)題”的處理

安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué)(236000)夏炳文

筆者所在的學(xué)校曾連續(xù)的兩次調(diào)考中都考查了含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，在閱卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生處理此類問(wèn)題時(shí)所采取的解題方法和方向基本上是沒(méi)有問(wèn)題的，但是由于在解題的過(guò)程中，解題策略不優(yōu)化，導(dǎo)致不能夠順利得出正確結(jié)果，下面就恒成立問(wèn)題處理的優(yōu)化策略，筆者談一下看法，與大家交流.

(1)當(dāng)0

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)≤x恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

限于篇幅，本文只考慮第(2)小題的作答.

閱卷中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的處理方法主要有以下兩種：

通過(guò)以上解法基本上可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在處理含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題時(shí)所采取的方法基本上是正確的，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值加以處理，并且求函數(shù)最值的手段有兩種：一是直接求含有參數(shù)的函數(shù)最值；二是通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)具體的函數(shù)的最值.通過(guò)這兩種解法的對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，第一種轉(zhuǎn)化的函數(shù)里面因?yàn)楹袇?shù)，所以在求其最值時(shí)可能會(huì)需要分類討論，而第二種轉(zhuǎn)化的函數(shù)雖然是個(gè)具體的函數(shù)，相比較容易求出其最值.但是這種方法也有其局限性，可能有些時(shí)候是不可以進(jìn)行參數(shù)分離的，或者分離后所構(gòu)造的函數(shù)雖然具體但形式過(guò)于復(fù)雜，同樣導(dǎo)致解題的失敗.

命題人給出的參考答案：

(2)f(x)≤x恒成立可轉(zhuǎn)化為a+(a+1)xlnx≥0恒成立，令φ(x)=a+(a+1)xlnx，x∈(0,+∞)，則φ′(x)=(a+1)(1+lnx).

參考答案采取的是直接求含有參數(shù)的函數(shù)最小值進(jìn)行處理，就是因?yàn)閰?shù)的存在，導(dǎo)致在求函數(shù)最值的時(shí)候需要進(jìn)行分類討論.

優(yōu)化后的解法：

1.針對(duì)學(xué)生和參考答案采取的直接構(gòu)造含參函數(shù)的方法，我采取了以下的優(yōu)化：

2.針對(duì)第二種分離參數(shù)的方法，依然可以采取以上的優(yōu)化方法：

通過(guò)以上兩種方法的優(yōu)化不難發(fā)現(xiàn)，在題目沒(méi)有明確給出參數(shù)a的范圍時(shí)，我們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)只能先認(rèn)為a∈R,這樣就會(huì)需要運(yùn)用到分類討論的思想，但是因?yàn)楹愠闪⒌牟坏仁綄?duì)所給變量范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)都滿足，那么我們就可以先利用一些特殊值去縮小參數(shù)a的范圍，從而在求函數(shù)最值時(shí)不需要或者減少分類討論的情況.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤(a-1)x-1恒成立，求a的最小整數(shù)值.

本文只考慮第(2)小題.

學(xué)生的處理方法以及遇到的問(wèn)題同題目1.

命題人給出的參考答案：

參考答案是采取了分離參數(shù)的方法求函數(shù)最值，通過(guò)以上解法不難發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)難點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)形式過(guò)于復(fù)雜，學(xué)生不敢下手；二是在求所構(gòu)造的函數(shù)最值時(shí)需要用到二次求導(dǎo)，所以此種解法難度較大.

優(yōu)化后的解法：

此解法采取的也是直接求函數(shù)最值，但是通過(guò)代入特殊值后縮小了參數(shù)a的取值范圍，從而使求解函數(shù)的最大值時(shí)不需要分類討論，優(yōu)化了解題過(guò)程.

無(wú)獨(dú)有偶，2011年浙江省高考文科卷21題也是利用了此種方法優(yōu)化了解題過(guò)程，試題如下：

設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求所有實(shí)數(shù)a，使e-1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1,e]恒成立.注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

解法分析：如果沒(méi)有利用f(1)=a-1≥e-1，那么第(2)問(wèn)就需要對(duì)參數(shù)a按a≤1,1

恒成立問(wèn)題是高中階段非常重要的一個(gè)問(wèn)題，綜合性和靈活性較強(qiáng)，因而受到高考命題者的青睞，在試題中高頻考查，高三復(fù)習(xí)應(yīng)在掌握此類問(wèn)題基本解法的基礎(chǔ)上，再介紹適用技巧即通過(guò)利用特殊值首先縮小參數(shù)的范圍，這樣可以使問(wèn)題的求解難度大大簡(jiǎn)化.