孟彥廷， 楊 霞， 孟 渝（1．天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津00000； ．重慶交通大學(xué)，重慶400074；．重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶400050）

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有關(guān)含參變量反常積分的推廣與應(yīng)用的探討

孟彥廷1，2， 楊 霞2， 孟 渝3
（1．天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300000； 2．重慶交通大學(xué)，重慶400074；3．重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶400050）

［摘 要］幾乎所有的數(shù)學(xué)分析教材都給出二次含參變量反常積分的積分次序交換公式，但同時(shí)對(duì)該公式適用的條件都較為嚴(yán)苛，因此該公式的實(shí)際應(yīng)用受到限制．本文對(duì)含參變量反常積分概念的拓展分析．證明出該公式可以在更廣泛的條件下使用，并介紹了它的典型應(yīng)用．

［關(guān)鍵詞］反常積分；收斂；積分次序交換

1　引 言

在數(shù)學(xué)分析教材［1－3］中對(duì)公式的條件要求是

（i）f（x，y）在［a，＋∞）×［c，＋∞）上連續(xù)；

2　推廣與證明

定義1 設(shè)f（x，y，z）在x∈［a，b］（或x∈（a，b））以及y，z分別在y0，z0的某個(gè)去心鄰域中有定義，如果存在函數(shù)g（x），當(dāng)x∈［a，b］（或x∈（a，b））使對(duì)任意ε＞0，存在δ（ε），當(dāng)時(shí)，

如果f（x）在（A，B）的任意內(nèi)閉區(qū)間上可積，無論A，B是否為f（x）的奇點(diǎn)（瑕點(diǎn)），當(dāng)A＜A′＜B′＜B時(shí)，若存在，則它可記為這是因?yàn)?，若A，B為f（x）的奇點(diǎn)，表示f（x）在（A，B）內(nèi)的反常積分，若A，B非f（x）的奇點(diǎn)（即可證明f（x）在［A，B］上可積），則在上連續(xù)，即

因此作以下定義．

定義2 設(shè)［A′，B′］為（A，B）的任意內(nèi)閉區(qū)間，對(duì)于任意固定y∈（b，b′），z∈（c，c′）（或y∈［b，且以下類似情況相同），f（x，y，z）在x∈［A′，B′］上可積，并且存在，如果對(duì)于任意ε＞0存在η（ε）＞0，對(duì)于任意y∈（b，b′），z∈（c，c′），當(dāng)A＜A′＜A＋η，B＞B′＞B－η時(shí)，

正如前面所述，對(duì)于x＝A（或x＝B）對(duì)于所有考慮的y，z值，無論是否為函數(shù)的奇點(diǎn)，定義2依然適用，若x＝A，x＝B均為奇點(diǎn)，則稱關(guān)于一致收斂．特別是，B為＋∞，則稱一致收斂．

引理 設(shè)（i）對(duì)于屬于y0和z0的某個(gè)去心鄰域（分別記為η1和η2）中任意固定y和z，f（x，y，z）在x屬于（a，＋∞）的任意內(nèi)閉區(qū)間中可積，而存在（x＝a可以是奇點(diǎn)），并且分別在關(guān)于y0和z0的該鄰域內(nèi)一致收斂于在（a，＋∞）上內(nèi)閉一致收斂，

則

（ii）

存在，并且

證 由條件（i），對(duì)于任意ε＞0存在η（ε）＞0，A0（ε）＞a＋η（ε），使y和z屬于y0和z0的某個(gè)鄰域時(shí)，只要a＜a′＜a″＜a＋η，A″＞A′＞A0，則

成立，現(xiàn)在固定a′，a″，A′，A″，再由條件（ii），存在δ（ε）＞0，使當(dāng)δ時(shí)，

類似于上式，也可證明

綜上所述，可得

故該引理得證．

推論 如果f（x，y，z）在（a，＋∞）×［b，b′］×［c，c′］上連續(xù) 在y∈［b，b′］，z∈［c，c′］上一致收斂于

在［b，b′］×［c，c′］上連續(xù)，而且對(duì)于二元函數(shù)f（x，y）在類似條件下仍然有相同的結(jié)論，即，則

在［b，b′］連續(xù)．

注 由定義2可知，這里x＝a可以是f（x，y，z）（f（x，y））的奇點(diǎn)．

3　結(jié) 論

定理 設(shè)（i）f（x，y）在（a，＋∞）×（b，＋∞）上連續(xù)；

證 設(shè)b＜b′＜B，a＜a′＜A，由條件（i）和前述引理的推論可知在［b′，B］上連續(xù)，即存在，且

由條件（ii），對(duì)于任意ε＞0，存在η（ε）＞0，當(dāng)a＜a′＜a＋η時(shí)，

類似地，存在A0（ε）＞0，當(dāng)A＞A0時(shí)，

即

分別在（a，＋∞），（b，＋∞）內(nèi)閉一致收斂．若f（x，y）在（a，＋∞）×（b，＋∞）為非

故該定理得證．

注 特別是x＝a，y＝b均為f（x，y）的奇點(diǎn)時(shí)，上述定理的條件（ii）可改寫為負(fù)連續(xù)函數(shù)，條件（iii）可改寫或存在，以上結(jié)論依然成立．

4　應(yīng)用舉例

以上定理可直接用于Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系公式證明中．

例 證明Γ（a＋β）B（a，β）＝Γ（a）Γ（β）．

證 當(dāng)a，＞0時(shí)，

令s＝a＋β，A＝1＋t代入（2），

將（3）式兩端乘ta－1后對(duì)t在［0，＋∞）積分，得

令

則f（u，t）在（0，＋∞）×（0，＋∞）連續(xù)且非負(fù)，設(shè)B＞b＞0，u∈（0，＋∞），當(dāng)a＞1時(shí)，t∈（b，B）時(shí)，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t∈（b，B）時(shí)，

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，等．?dāng)?shù)學(xué)分析（下冊(cè)）［M］．3版．北京：高等教育出版社，2007：243－264．

［2］ 常庚哲，史濟(jì)懷．?dāng)?shù)學(xué)分析教程（下冊(cè)）［M］．北京：高等教育出版社，2003：335－380．

［3］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］．6版．北京：高等教育出版社，2007：176－181．

Discussion in the Popularization and Application of Parameter Improper Integral

MENG Yan－ting1，2， YANG Xia2， MENG Yu3
（1．School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300000，China；2．Chongqing Jiaotong University，Chongqing400074，China；3．Chongqing Industry Polytechnic College，Chongqing，400000China）

Abstract：Almost all mathematical analysis teaching materials give quadratic formula of exchange sequence of integral depending on a parameter improper integral．But at the same time，the applicable conditions of the formula are harsh．The practical application of this formula is limited．In this paper，we analyze the development of the concept of parameter improper integral．Finally，it proves that under the condition of a wide range of the formula，and introduces its typical applications．

Key words：improper integral；convergence；exchange integral order

［收稿日期］2015－05－14

［中圖分類號(hào)］O172

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0083－05