尹海燕
摘要:數(shù)列的上極限和下極限是數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)列理論的重要概念。事實上,數(shù)列的上極限和下極限不僅在數(shù)列斂散性判別、求數(shù)列極限、級數(shù)斂散性判別等方面起著重要的作用,而且可以加深學(xué)生對實數(shù)完備基本定理的掌握和理解,為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、集合的上極限和下極限打下基礎(chǔ)。下面將數(shù)列上極限和下極限做一簡單介紹,以饗讀者。
關(guān)鍵詞:數(shù)列的上極限和下極限;聚點;收斂
中圖分類號:G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)08-0195-02
在數(shù)學(xué)分析課程中,數(shù)列的斂散性判別非常重要,而證明數(shù)列收斂的方法也有很多方法[1],比如ε-N定義、柯西收斂準(zhǔn)則、兩個重要準(zhǔn)則、歸結(jié)原理和子列原理等。但是有時也可以用上極限和下極限來判斷。本文主要介紹數(shù)列上極限和下極限的定義,性質(zhì)以及其應(yīng)用。
數(shù)列聚點的定義[2]:如果在a∈R的任何鄰域內(nèi)都有數(shù)列x的無限項,稱a為數(shù)列x的一個聚點。
例1:數(shù)列{(-1)}的聚點是±1;
例2:數(shù)列{sin}的聚點是±1,±和0;
例3:數(shù)列有聚點0;
例4:數(shù)列,,,,,,,,,,…的聚點是整個閉區(qū)間[0,1];
例5:數(shù)列1,1,2,,3,,…,n,,…的聚點是0。
注:(1)收斂數(shù)列的聚點必唯一,為數(shù)列的極限(證明見定理2),如例3。反之不真,如例5。一般情況下,數(shù)列的聚點是不唯一的,如例1、例2、例4。(2)數(shù)列的聚點和數(shù)集的聚點是有區(qū)別的。數(shù){sin|n∈Ν}的聚點是空集;數(shù)集{(-1)|n∈Ν}的聚點為±1。
容易證明:
聚點的等價定義[3]: 若數(shù)列x的子列x有極限a,則稱a為數(shù)列x的一個聚點。
聚點的存在性定理[2]:有界數(shù)列x至少有一個聚點,且存在最大聚點和最小聚點。
下面是數(shù)列上、下極限的定義:
上極限和下極限的定義[2]:有界數(shù)列x的最大聚點a與最小聚點a稱為數(shù)列x的上極限和下極限,記作a=xa=x.
上極限和下極限的等價定義1[2]: 若x為有界數(shù)列,則?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得當(dāng)n>N時,有
xa-ε,k=1,2,3,…則稱a為數(shù)列x的上極限。
若x為有界數(shù)列,則?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得當(dāng)n>N時,有x>a-ε;(2)存在子列x,x 上極限和下極限的等價定義2[2,4]:若x為有界數(shù)列,則x={x},x={x}. 定理1[2]:對任何有界數(shù)列x,有x≤x,x=-(-x). 注:容易證明x≤x≤x≤x,其中x為有界數(shù)列x的一個子列。 定理2[2]:若x為有界數(shù)列,則數(shù)列x=a的充要條件是x=x=a. 證明:(必要性)?坌ε>0,?堝N∈Ν,當(dāng)n>N時, |x-a|<ε.由聚點的定義,a是數(shù)列x的一個聚點。若b是數(shù)列x另外一個聚點,不妨a0,存在N∈Ν,當(dāng)n>N時,x<,從而集合{x|x>}只有數(shù)列的有限項,這與b是數(shù)列x的聚點矛盾。從而數(shù)列x只有唯一的聚點,(充分性)由等價定義1,由a是數(shù)列x的上極限,?坌ε>0,?堝N∈Ν,當(dāng)n>N時,