翟芳芳（合肥北城中學，合肥231131）

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帶兩個形狀參數(shù)的四次Bézier曲線的擴展

翟芳芳
（合肥北城中學，合肥231131）

［摘 要］給出了一組含有兩個形狀參數(shù)α，β的四次多項式基函數(shù)，是四次Bernstein基函數(shù)的擴展，分析了這組基的性質(zhì)；基于這組基定義了帶兩個形狀參數(shù)的多項式曲線，所定義的曲線不僅保留了四次Bézier曲線一些實用的幾何特征，而且具有形狀的可調(diào)性，在控制多邊形不變的情況下，改變參數(shù)α，β的取值，可以生成不同的逼近控制多邊形的曲線；通過分析該曲線與四次Bézier曲線之間的關(guān)系，給出了α和β的幾何意義，并利用Bézier曲線遞歸分割算法給出了這種曲線的幾何作圖法，同時還討論了曲線間的拼接問題．

［關(guān)鍵詞］計算機應(yīng)用；曲線設(shè)計；四次Bézier曲線；形狀參數(shù)

1　引 言

以Bernstein基構(gòu)造的Bézier曲線由于結(jié)構(gòu)簡單直觀成為幾何造型工業(yè)中表示曲線／曲面的重要工具之一［1］．但曲線的位置相對于控制點是固定的，如果要調(diào)整曲線的形狀一般可借助有理Bézier曲線和有理B樣條曲線中的權(quán)因子來實現(xiàn)，但有一定的缺陷，如權(quán)因子如何選取、權(quán)因子對曲線形狀的影響不是很清楚、求導(dǎo)次數(shù)會增加及基求積不方便等［2］．

近年來，人們通過形狀參數(shù)來調(diào)整曲線的形狀，其所用方法主要是提高多項式次數(shù)以獲得不同于Bernstein基且含有參數(shù)的基函數(shù)，進而構(gòu)造相應(yīng)的曲線，在不改變控制多邊形的條件下實現(xiàn)對曲線的調(diào)控［3－8］，這樣就增加了計算量，文獻［9］實現(xiàn)了在保持多項式次數(shù)不變的情況下對三次Bézier曲線的擴展．

本文構(gòu)造了一組帶兩個形狀參數(shù)α，β的四次多項式基函數(shù)，是四次Bernstein基函數(shù)的擴展，并且保持了Bernstein基函數(shù)的次數(shù)不變．基于該組基函數(shù)所定義的曲線具有非常靈活的形狀，四次Bézier曲線是它的一個特例．另外，通過分析這種曲線與四次Bézier曲線之間的關(guān)系，得出了形狀參數(shù)α和β直觀的幾何意義，并借助四次Bézier曲線的遞歸分割算法給出了這種曲線的幾何作圖法．最后還討論了曲線間的拼接，由曲線的拼接條件可以靈活地構(gòu)造出G1連續(xù)或C1連續(xù)的組合曲線．

2　基函數(shù)的定義及性質(zhì)

定義1 對于t∈［0，1］；α，β∈［－3，1］，稱形如（1）式的關(guān)于t的多項式為帶有參數(shù)α，β的四次多項式基函數(shù)，簡稱四次αβ－B基．

圖1所示為α＝－1，β＝－1時的基函數(shù)圖形．上述基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

圖1　基函數(shù)圖形

性質(zhì)2 擬對稱性．即當α＝β時，

性質(zhì)3 端點性質(zhì)．B0（0）＝1，

性質(zhì)4 單峰性．即對每個基函數(shù)在［0，1］上有一個局部最大值．從圖1就可判斷，通過對基函數(shù)求導(dǎo)驗證．

性質(zhì)5 對參數(shù)α，β的單調(diào)性．即對固定參數(shù)t，B0（t）是α的遞減函數(shù)，B1（t）是α的遞增函數(shù)，B2（t）不隨α，β的改變而改變，B3（t）是β的遞增函數(shù)，B4（t）是β的遞減函數(shù)．

性質(zhì)6 當α＝β＝1時，則有

3　曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

稱（2）式所定義的曲線為帶參數(shù)α，β的四次Bézier曲線，簡稱四次αβ－B曲線．顯然，當α＝β＝1時，曲線（2）退化為四次Bézier曲線．圖2所示為（α，β）取不同值時所對應(yīng)的四次αβ－B曲線，其中1－（－1，－3）表示曲線1中α＝－1，β＝－3；

類似有

圖2　不同參數(shù)值的曲線

由上述基函數(shù)的性質(zhì)，不難得到曲線（2）具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 端點性質(zhì)．

此性質(zhì)說明曲線（2）插值于首末端點及與控制多邊形的首末邊相切，且在端點處的二階導(dǎo)矢只與其相鄰的3個控制頂點有關(guān)．

性質(zhì)2 凸包性．由基函數(shù)的性質(zhì)1，曲線（2）一定位于P0，P1，P2，P3，P4所圍成的凸多邊形內(nèi)．

性質(zhì)3 對稱性．即當α＝β時，以P0，P1，P2，P3，P4為控制多邊形的四次αβ－B曲線和以P4，P3，P2，P1，P0為控制多邊形的四次αβ－B曲線是相同的，只是方向相反．由基函數(shù)的性質(zhì)（2），可得

性質(zhì)4 幾何不變性和仿射不變性．曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放和剪切等仿射變換后，所對應(yīng)的新曲線就是相同仿射變換后的曲線．

性質(zhì)5 逼近性．由圖2可以看出，當固定α，參數(shù)β逐漸增大（或減?。r，曲線逐漸靠近（或遠離）控制頂點P3；當固定β，參數(shù)α逐漸增大（或減?。r，曲線逐漸靠近（或遠離）控制頂點P1．此外，兩個參數(shù)同時改變可實現(xiàn)更靈活的逼近方式．

4　曲線的幾何作圖法

由四次αβ－B基的表達式（1）可知

故四次α

β－B曲線的表達式（2）可用矩陣表示為

若令

由（4）式和（5）式可以得到，該曲線與表示它的四次Bézier曲線的控制頂點之間的關(guān)系式為

由（6）式可知，V1分邊p0p1的比為（3＋α）∶（1－α），V3分邊p3p4的比為（1－β）∶（3＋β），這就是形狀參數(shù)α和β的幾何意義（圖3（a））．圖中α＝－2，β＝0，p0p1p2p3p4為四次αβ－B曲線的控制多邊形，V0V1V2V3V4為表示四次αβ－B曲線的四次Bézier曲線的控制多邊形．

由（5）式可知，四次αβ－B曲線可以改寫成四次Bézier曲線的形式，且二者的控制頂點之間有（6）式所示的顯式關(guān)系．若已知四次αβ－B曲線的控制頂點，則由（6）式可以求出表示它的四次Bézier曲線的控制頂點，再利用四次Bézier曲線的幾何作圖法，經(jīng)過四級遞推，得到的最后一個點，即為四次αβ－B曲線上的點，如圖3（b）所示，圖中α＝β＝－2，t＝0．5．p0，p1，p2，p3，p4為四次αβ－B曲線的控制多邊形頂點，V0，V1，V2，V3，V4為表示該四次αβ－B曲線的四次Bézier曲線的控制多邊形頂點．圖中的圓圈表示對四次Bézier曲線的控制多邊形遞推一次得到的點；三角形表示遞推兩次得到的點；菱形表示遞推三次得到的點；星形表示遞推四次得到的點，即為四次αβ－B曲線上的點p（t）．

圖3　（a）形狀參數(shù)α和β的幾何意義

圖3?。╞）αβ－B曲線的幾何作圖法

5　曲線的拼接

由曲線的端點性質(zhì)，兩條不同的相鄰四次αβ－B曲線可方便地進行G1和C1拼接．設(shè)兩條相鄰四次αβ－B曲線的表達式分別為

其中p0p1p2p3p4和Q0Q1Q2Q3Q4分別為r1（t）和r2（t）的控制多邊形，且p4＝Q0，即滿足位置連續(xù)．曲線r1（t）和r2（t）中基函數(shù)的形狀參數(shù)分別為α1，β1和α2，β2，且αi，βi∈［－3，1］i＝1，2（）．

定理1 當且僅當頂點p3，p4（Q0），Q1共線且順序排列，即Q0Q1＝δp3p4（δ＞0）時，曲線r1（t）和r2（t）之間G1連續(xù)．

證 由曲線的端點性質(zhì)可知

而曲線r1（t）和r2（t）之間G1連續(xù)，當且僅當r′2（0）＝λr′1（1）（λ＞0），另

則由（7）式可以推出

即頂點p3，p4（Q0），Q1共線且順序排列．這即為兩曲線在連接點處G1連續(xù)的充要條件．

該定理表明，四次αβ－B曲線之間的G1連續(xù)條件與四次Bézier曲線之間的G1連續(xù)條件是一樣的．

證 要使兩曲線C1連續(xù)，則必有r′2（0）＝r′1（1），故由（7）式可知，此時（8）式中

而兩段四次Bézier曲線之間C1連續(xù)的充要條件為p3，p4（Q0），Q1共線且順序等距分布，即Q0Q1＝p3p4．因此，從定理2可以看出，相對于四次Bézier曲線而言，采用四次αβ－B曲線來構(gòu)造曲線組合，就意味著為曲線的性質(zhì)控制提供了一個額外的自由度．

6　結(jié) 論

由四次αβ－B基函數(shù)構(gòu)造的四次αβ－B曲線具有四次Bézier曲線的特征，如端點插值、端邊相切、凸包性等．由于四次αβ－B曲線帶兩個形狀參數(shù)，而每個形狀參數(shù)可以固定不變、增大或減小，因此改變α 和β的值，可以靈活地實現(xiàn)8種逼近方式．四次αβ－B曲線可以由四次Bézier曲線來表示，借助Bézier曲線的幾何作圖法，可以方便地確定四次αβ－B曲線上的點．另外，由給出的拼接條件可以方便地構(gòu)造出G1或C1連續(xù)的組合曲線．

［參 考 文 獻］

［1］ 莫蓉，吳英，常智勇．計算機輔助幾何造型技術(shù)［M］．北京：科學出版社，2004：56－62．

［2］ Marnar E．Shape preserving alternatives to the rational Bézier model［J］．Computer Aided Geometric Design，2001，18（1）：37－60．

［3］ Zhang Jiwen．C－curves：an extention of cubic curves［J］．Computer Aided Geometric Design，1996，13（2）：199－217．

［4］ 韓旭里，劉圣軍．二次Bézier曲線的擴展［J］．中南工業(yè)大學學報（自然科學版），2003，34（2）：214－217．

［5］ 嚴蘭蘭，梁烔豐．帶2個形狀參數(shù)的3次多項式曲線［J］．合肥工業(yè)大學學報（自然科學版），2009，32（4）：572－576．

［6］ 朱秀梅，郭清偉，朱功勤．含多參數(shù)的四次Bézier曲線的擴展［J］．合肥工業(yè)大學學報（自然科學版），2008，31（4）：671－674．

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［8］ 胡鋼，等．Bézier曲線的新擴展［J］．計算機工程，2008，34（12）：64－66．

［9］ 秦新強，胡鋼，張素霞．三次Bézier曲線的新擴展及其應(yīng)用［J］．計算機工程與應(yīng)用，2008，44（2）：112－115．

Extension of the Quartic Bézier Curve with Two Shape Parameters

ZHAI Fang-fang
（Beicheng High School of Hefei，Hefei 231131，China）

Abstract：A class of 4－degree polynomial basis functions containing two shape control parametersα，βis presented．It is the extention of quartic Bernstein basis functions．Properties of this new basis are analyzed and a polynomial curve with two shape parameters is defined based on it．The new curve not only hol ds many applied geometrical qualities of the quartic Bézier curve，but also can rectify the shape．When the control polygon is fixed，different curves approaching the control polygon with the changing of shape parameters are given．The geometrical meaning ofαandβare discovered by analyzing the connection of the new curve and the quartic Bézier curve．Meanwhile，the geometrical drawing method of the curve is given with the recursion segmentation algorithm of Bézier curve and the continuity condition of the curve is discussed．

Key words：computer application；curve design；quartic Bézier curve；shape paramet

［收稿日期］2015－09－29

［中圖分類號］O243

［文獻標識碼］A

［文章編號］1672－1454（2016）01－0033－05