王雪，曾建奎，李作進(jìn)

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誤差理論與數(shù)據(jù)處理課程教學(xué)改革探索

王雪，曾建奎，李作進(jìn)

摘要：《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》是測(cè)控專業(yè)的核心課程之一。進(jìn)行課程內(nèi)容和教學(xué)方法的改革探索。課程內(nèi)容方面，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h除、調(diào)整和增強(qiáng)，以應(yīng)對(duì)測(cè)控專業(yè)的實(shí)際需要；在教學(xué)方法上，通過精確定位教學(xué)難點(diǎn)，提出進(jìn)行針對(duì)性預(yù)習(xí)、優(yōu)化教學(xué)方案和加強(qiáng)課堂練習(xí)的具體思路。經(jīng)過我校測(cè)控專業(yè)3年連續(xù)的改革探索，本門課的教學(xué)效果得到明顯提高。同時(shí)，在課程設(shè)計(jì)和畢業(yè)設(shè)計(jì)中，本課程理論也得到了更為廣泛和深入的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：測(cè)控專業(yè)；誤差理論；應(yīng)用型本科；教學(xué)法

測(cè)控技術(shù)及儀器專業(yè)是儀器科學(xué)與技術(shù)和控制科學(xué)與技術(shù)交叉融合而形成的綜合性學(xué)科。盡管不同的院校的測(cè)控專業(yè)側(cè)重點(diǎn)不同，但關(guān)注的都是自動(dòng)化系統(tǒng)上的信號(hào)采集、整理、處理、顯示和控制過程的學(xué)科。信號(hào)的處理會(huì)大量利用《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的理論，因此該課程是測(cè)控專業(yè)重要的專業(yè)平臺(tái)課程［1-2］。

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的知識(shí)點(diǎn)主要涵蓋了科學(xué)測(cè)量中對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法，達(dá)到對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確表達(dá)，可靠估計(jì)和科學(xué)預(yù)測(cè)的效果?！墩`差理論與數(shù)據(jù)處理》的相關(guān)理論不僅廣泛地應(yīng)用到工科各學(xué)科的課程設(shè)計(jì)和畢業(yè)設(shè)計(jì)中，更直接地應(yīng)用到傳感器的定標(biāo)、誤差分析和精密測(cè)試等實(shí)際的工程應(yīng)用中。因此，該門課具有重要工程應(yīng)用特性。

應(yīng)用型本科的教學(xué)不僅重視理論教學(xué)，更加注重課程的應(yīng)用特性。由于《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》課程理論較多，應(yīng)用較廣泛，在教學(xué)中一直存在學(xué)生學(xué)習(xí)困難、實(shí)踐動(dòng)手不足等若干問題。基于應(yīng)用型本科教學(xué)的要求，全面分析了當(dāng)前教學(xué)中面臨的困難，提出了基于教學(xué)內(nèi)容和方法的多項(xiàng)改革思路。經(jīng)過多年探索，教學(xué)成果初見成效。

一、課程教學(xué)的現(xiàn)狀及存在的問題

（一）應(yīng)用型本科對(duì)本門課程的要求

應(yīng)用型本科院校是當(dāng)前我國高教改革的一個(gè)方向。以技術(shù)應(yīng)用為導(dǎo)向，是介于以科研為主的重點(diǎn)高校和以就業(yè)為導(dǎo)向的職業(yè)院校之間的，其課程分布和要求都與這兩種高校不同［5-7］。

對(duì)于《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課而言，應(yīng)用型本科教學(xué)的具體要求為：

需要學(xué)生認(rèn)識(shí)測(cè)量誤差的含義，了解誤差產(chǎn)生過程，熟悉誤差判別條件，認(rèn)識(shí)誤差消除方法和途徑；

需要學(xué)生認(rèn)識(shí)測(cè)量不確定的概念和含義，以及測(cè)量不確定評(píng)價(jià)的A/B類方法。學(xué)會(huì)工程實(shí)際中怎么進(jìn)行不確定的合成與不確定報(bào)告的制作；

需要學(xué)生掌握組合測(cè)量的最小二乘法求解以及線性回歸的原理和應(yīng)用，主要是一元線性回歸的分析。

從課程的上述要求來看，應(yīng)用型本科對(duì)《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課要求學(xué)生具有一定的高等數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)概率統(tǒng)計(jì)和矩陣的知識(shí)；具有傳感器、測(cè)量等其他相關(guān)學(xué)科基礎(chǔ)等。

（二）課程教育現(xiàn)狀及存在的問題

本門課為測(cè)控專業(yè)的主要專業(yè)基礎(chǔ)課，教學(xué)中存在的主要問題有：

課程教學(xué)的理論課時(shí)偏少。由于本科課程的改革［8］，很多專業(yè)課/專業(yè)平臺(tái)課進(jìn)行了調(diào)整。很多院校的《誤差理論和數(shù)據(jù)處理》由原來為48課時(shí)，調(diào)整為現(xiàn)在的32課時(shí)。對(duì)于應(yīng)用型本科而言，有院校甚至調(diào)整到24課時(shí)。由于課程里面的理論較多、較深，應(yīng)包含至少2個(gè)課帶實(shí)驗(yàn)，這使得理論教學(xué)課時(shí)嚴(yán)重偏少。

學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的匱乏和遺忘，使得理論教學(xué)較為困難。《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》這門課從開始就涉及到概率及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容，如概率密度、概率積分和二項(xiàng)式定理和或然定理等；此外，教學(xué)中會(huì)大量涉及到偏微分和求極值這樣的應(yīng)用；也涉及到求解逆矩陣等矩陣方面的知識(shí)。因此，總的來看數(shù)學(xué)要求難度并不高但面寬。很多學(xué)生大一學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)已經(jīng)遺忘了很多，某些同學(xué)也沒有選擇《線性代數(shù)》，使得理論教學(xué)困難。

沒有規(guī)范典型的課帶實(shí)驗(yàn)。應(yīng)用本科中的專業(yè)基礎(chǔ)課都會(huì)配以較多的實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`環(huán)節(jié)，這些實(shí)驗(yàn)是典型和規(guī)范的，無需調(diào)整能直接采用。本課程的教材本身沒有提供這樣的實(shí)驗(yàn)實(shí)踐內(nèi)容，要靠授課教師自行研究設(shè)計(jì)。從全國的應(yīng)用型本科院校來看，特色方向各不相同。因此如何根據(jù)本學(xué)校的實(shí)際情況設(shè)計(jì)出與本門課聯(lián)系緊密的實(shí)驗(yàn)也是需要教學(xué)中解決的問題。

根據(jù)上述情況，筆者進(jìn)行了長(zhǎng)期的觀察與研究，提出了刪繁就簡(jiǎn)、適當(dāng)補(bǔ)充等教學(xué)內(nèi)容的方案；提出了相關(guān)的教學(xué)法的改進(jìn)。

二、課程教學(xué)內(nèi)容改革

教學(xué)內(nèi)容的改革涉及到兩個(gè)方面。一方面是對(duì)選用的教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h除和簡(jiǎn)化。對(duì)于難度系數(shù)較大的，或者涉及內(nèi)容過于偏僻的進(jìn)行刪除；對(duì)于數(shù)學(xué)推理復(fù)雜的進(jìn)行簡(jiǎn)化；另一方面，還應(yīng)該適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生展開當(dāng)代技術(shù)的窗口，提高學(xué)生的興趣，指出應(yīng)用的前景。

（一）教學(xué)內(nèi)容章節(jié)的刪減或簡(jiǎn)化

在教材的選用上，一直堅(jiān)持選用了費(fèi)業(yè)泰先生的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》；該教材自1981年出版以來，成為了本門課的經(jīng)典教材。也一直為我校《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的授課教材。

該教材的主要授課內(nèi)容為靜態(tài)測(cè)量的誤差理論和動(dòng)態(tài)測(cè)量的誤差理論。其中第七章為動(dòng)態(tài)測(cè)量理論，主要以隨機(jī)過程理論作為支撐。這部分要求學(xué)生具有隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這對(duì)應(yīng)用型本科同學(xué)要求過高。此外，由于測(cè)控專業(yè)所涉及到的測(cè)試與控制多數(shù)為靜態(tài)信號(hào)和穩(wěn)定的周期信號(hào)，因此該部分實(shí)際價(jià)值不大，需進(jìn)行刪除處理。

教材第6章回歸分析中多元線性回歸和線性遞推回歸等內(nèi)容，由于涉及到數(shù)學(xué)理論較為復(fù)雜，對(duì)矩陣掌握的水平要求高，推理過程也稍顯繁雜，因此對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行弱化講解。也就是基本思路講明白后，直接使用Matlab里面的工具函數(shù)進(jìn)行講解，使得學(xué)生們明白這個(gè)理論的來源及用途。

（二）適當(dāng)增加非線性回歸理論內(nèi)容

非線性回歸分析理論是當(dāng)今數(shù)據(jù)挖掘的重要發(fā)展方向。教材中也有一小節(jié)論述非線性回歸，但其內(nèi)容和當(dāng)代的非線性回歸內(nèi)容相差太遠(yuǎn)。目前，基于人工智能算法，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ANN、支持向量機(jī)SVM、邏輯回歸和自適應(yīng)回歸等都是回歸的重要算法。因此，應(yīng)該為廣大同學(xué)打開一個(gè)現(xiàn)代知識(shí)的天窗，要讓同學(xué)們知道回歸的發(fā)展方向和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的魅力。

考慮到非線性回歸在數(shù)學(xué)上的難度，講解內(nèi)容的難度應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)格控制，主要是當(dāng)前非線性回歸方法的分類，使用的算法依據(jù)以及這種算法的實(shí)際效果。

三、課程教學(xué)方法改革

教學(xué)方法改革是本門課最重要的部分。針對(duì)這部分內(nèi)容，我們提出采用問卷調(diào)查等方式和同學(xué)們進(jìn)行互動(dòng)，精確得出教學(xué)的難點(diǎn)所在。根據(jù)難點(diǎn)和重點(diǎn)，制定行之有效的教學(xué)方案。

（一）精確定位教學(xué)難點(diǎn)

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》的教學(xué)難點(diǎn)主要是出現(xiàn)在與數(shù)學(xué)相關(guān)的一些理論分析和推導(dǎo)上。如果相關(guān)的理論沒有講解透徹，學(xué)生在應(yīng)用這個(gè)理論時(shí)就會(huì)沒有根基，以后在工程中也無法進(jìn)行更深入的分析。

在本研究中，我們采用了打分排序的方法，對(duì)本教程中出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。以費(fèi)業(yè)泰編著的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》第6版本為例，理論難度較高的部分如表1所示。表中的難度，以重慶科技學(xué)院測(cè)控專業(yè)2010級(jí)到2012級(jí)3級(jí)同學(xué)學(xué)習(xí)完了本門課后的問卷調(diào)查的得分來說明，如表1。

表1　知識(shí)點(diǎn)難度分值說明

對(duì)連續(xù)3級(jí)同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如表2的知識(shí)點(diǎn)難度得分統(tǒng)計(jì)表。

表2　知識(shí)點(diǎn)難度得分統(tǒng)計(jì)表

上述統(tǒng)計(jì)和我們對(duì)教程的分析是一致的。本門課的前面3章的誤差理論中，沒有太多難度的內(nèi)容；第4章測(cè)量不確定，盡管學(xué)生稍微難以理解，但涉及的數(shù)學(xué)公式不多。第5、6章，涉及了大量高等數(shù)學(xué)以及矩陣論的知識(shí)，由于距離學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間較遠(yuǎn)，學(xué)生們難以在課堂上吸收。

（二）根據(jù)教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)優(yōu)化教學(xué)方案

本課程的教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)，仍然是對(duì)相關(guān)理論的實(shí)用化講解。由此筆者采取的方法如圖1所示。

圖1　教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)的教案設(shè)計(jì)

首先根據(jù)理論中可能涉及到的高數(shù)、概率或矩陣的相關(guān)知識(shí)，提前要求學(xué)生針對(duì)性的預(yù)習(xí)；對(duì)原理進(jìn)行簡(jiǎn)潔的講解，個(gè)別地方進(jìn)行重點(diǎn)論述，要求簡(jiǎn)潔但必須嚴(yán)謹(jǐn)；以Matlab為工具講解一道例題，讓學(xué)生明白工具軟件的解題思路；同時(shí)手工板書演算例題，和學(xué)生們互動(dòng)，充分讓學(xué)生參與解題的過程，做到隨時(shí)提問、設(shè)問和回答，強(qiáng)化課堂練習(xí)。

比如第五章的第一和第二小節(jié)，線性參數(shù)的最小二乘處理中的最小二乘法原理和正規(guī)方程部分。給出的需要預(yù)習(xí)的部分為：（1）了解最大或然定理的背景和含義；（2）多元函數(shù)求極值和最值的方法和過程。

在教學(xué)過程中，講解思路如下：首先講授測(cè)量方程、誤差方程的建立；殘余誤差平方和條件、通過極值求得正規(guī)方程的方法；正規(guī)方程的矩陣表達(dá)方式；最后給出矩陣解；以一個(gè)三待估計(jì)參數(shù)的線性測(cè)量方程為例，采用Matlab進(jìn)入矩陣的輸入、求轉(zhuǎn)置、求解逆矩陣，最后得到待估計(jì)值的精度分析；最后給出m文件，讓學(xué)生明白可以通過一個(gè)函數(shù)就能得到最終解；同時(shí)，手算1、2個(gè)待估參數(shù)的線性測(cè)量。最后布置一個(gè)課堂練習(xí)，也是兩個(gè)待估參數(shù)的測(cè)量，難度不大當(dāng)可以加深印象，明白解題的思路。

通過上述方法講授，學(xué)生理解本門課較難的知識(shí)點(diǎn)變得相對(duì)更加容易一些。對(duì)于那些得分在3分以下的知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)上只要把握重點(diǎn)突出，配合例題講述就可以了。

（三）實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

考慮到本門課的工程實(shí)踐性，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)由驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、開發(fā)性實(shí)驗(yàn)、參觀和大作業(yè)構(gòu)成。

實(shí)驗(yàn)1：測(cè)量數(shù)據(jù)的綜合處理。事先給出一群測(cè)量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的誤差分布可能是高斯分布、均布分布等，要求學(xué)生進(jìn)行綜合處理。

每個(gè)學(xué)生的數(shù)據(jù)和分布都不同。這將促使學(xué)生自己通過判斷處理。而該實(shí)驗(yàn)的基本要求是誤差的分布情況，剔除粗大誤差、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差、平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)誤差分布，得到極限誤差。所有這些運(yùn)算要求通過Matlab來實(shí)現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)2：誤差的合成。根據(jù)我校石油冶金專業(yè)的特點(diǎn)，有大量該行業(yè)的儀表傳感器可以進(jìn)行測(cè)量誤差合成研究。如以光學(xué)測(cè)長(zhǎng)機(jī)為例，可以根據(jù)多次重復(fù)性誤差、讀數(shù)誤差、阿貝誤差和瞄準(zhǔn)誤差等進(jìn)行合成。學(xué)生學(xué)會(huì)自行查閱相關(guān)誤差并按照性質(zhì)不同進(jìn)行合成。

實(shí)驗(yàn)3：組合測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘處理。本實(shí)驗(yàn)通過對(duì)3～4個(gè)電阻分別進(jìn)行不同方案的線性組合測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到電阻的最小二乘結(jié)果及精度分析。

實(shí)驗(yàn)4：基于傳感器靈敏度測(cè)量的綜合實(shí)驗(yàn)分析。這個(gè)實(shí)驗(yàn)為綜合設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)，主要的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容是：針對(duì)某個(gè)傳感器，選擇測(cè)量電路，得到物理量與電量的關(guān)系，進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)行一元線性回歸，多次實(shí)驗(yàn)后進(jìn)行回歸方差分析，最終得到傳感器靈敏度的表達(dá)式。

大作業(yè)：組織學(xué)生去重慶計(jì)量質(zhì)量檢測(cè)研究院，實(shí)地參觀和學(xué)習(xí)按照國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范（JJF 1059.1-2012/ISO10012-2013）所描述的內(nèi)容進(jìn)行計(jì)量工具的定標(biāo)處理過程，采用大作業(yè)的形式，完成一個(gè)實(shí)際對(duì)象的測(cè)量不確定報(bào)告。

設(shè)計(jì)的4個(gè)實(shí)驗(yàn)可以根據(jù)條件進(jìn)行有選擇的教學(xué)使用。大作業(yè)可以根據(jù)具體情況課外進(jìn)行。

四、改革效果分析

通過對(duì)重慶科技學(xué)院2010級(jí)到2012級(jí)3屆測(cè)控專業(yè)的《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》課程的教改研究，我們認(rèn)為取得了較好的教學(xué)效果。

通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的刪除或簡(jiǎn)化，使得同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中負(fù)擔(dān)減輕，且結(jié)合自己的專業(yè)，對(duì)理論掌握得更好，同時(shí)對(duì)整個(gè)課程理論框架有了更為明確清晰的認(rèn)識(shí)。增加的非線性回歸方面，給學(xué)生展開了現(xiàn)代知識(shí)的天窗，供有能力的同學(xué)為增強(qiáng)自己的實(shí)力給出一個(gè)路徑。通過多次的信息反饋，這個(gè)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)課時(shí)量匹配較好。

重點(diǎn)和難點(diǎn)更加容易掌握。通過教學(xué)方案的優(yōu)化，對(duì)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的發(fā)現(xiàn)與剔除理論、最小二乘解和一元線性回歸的顯著性分析等理論掌握較好，能進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

實(shí)踐環(huán)節(jié)取得較好的效果。通過設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)和大作業(yè)，充分體會(huì)到了本門課的工程實(shí)用價(jià)值。尤其是大作業(yè)，使學(xué)生們親眼看到了本課程涉及的不確定報(bào)告在實(shí)際工程中的應(yīng)用。除了實(shí)驗(yàn)，同學(xué)們將本門課的內(nèi)容應(yīng)用到了畢業(yè)設(shè)計(jì)中，使得設(shè)計(jì)中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理更加科學(xué)化。有些同學(xué)還直接將對(duì)誤差理論進(jìn)行深入研究作為畢業(yè)課題。

除了取得上述的教學(xué)改革成果，目前還有很多問題需要進(jìn)一步的研究：

（1）教學(xué)內(nèi)容上還需要進(jìn)一步優(yōu)化，增加工程案例，每種理論盡量以工程實(shí)際案例來說明應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用型本科的教學(xué)特點(diǎn)。

（2）教學(xué)方法上鼓勵(lì)學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力，盡量采用工具軟件Matlab等工具軟件進(jìn)行輔助教學(xué)和作業(yè)完成。

（3）多搞一些專題講座，將本門課的實(shí)用化內(nèi)容向其他專業(yè)同學(xué)推廣，提高他們的實(shí)驗(yàn)和設(shè)計(jì)水平。

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（編輯：張齊）

收稿日期：2015-10-29

作者簡(jiǎn)介：王雪（1971-），男，博士，重慶科技學(xué)院（重慶401331）電氣與信息工程學(xué)院副教授；曾建奎（1978-），男，博士，重慶科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院講師；李作進(jìn)（1977-），男，博士，重慶科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院副教授。

中圖分類號(hào)：G642.477

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1999（2016）03-0128-04