唐肖準

摘 要：《九章算術》和《數(shù)書九章》這兩部中國古代數(shù)學名著記載了許多關于方程方面的優(yōu)秀研究成果，這些研究成果都遙遙領先于其他國家，但是腐朽的封建制度最終阻礙了中國數(shù)學的繼續(xù)前進. 直除法和互乘相消法是古代解決一次方程的方法，在解決問題的過程數(shù)學家又獨創(chuàng)了“正負術”和“損益術”；在解二次方程的過程中，出現(xiàn)了代數(shù)與幾何相結合的端倪；指數(shù)方程和代數(shù)的引入則是對“趣談”的最好詮釋.

關鍵詞：直除法；損益術；互乘相消法；二次方程；不定方程

代數(shù)學發(fā)源于9世紀的阿拉伯，最早見于阿拉伯數(shù)學家花拉子米的著作. 在中國，春秋戰(zhàn)國時期已有算術，而這些算術的主要形式就是正數(shù)的四則運算，而這些四則運算主要是為了解決人們在日常生活中的實際問題，后來隨著經(jīng)濟和文化的發(fā)展，到東漢初期的時候開始出現(xiàn)了未知數(shù)的應用，人們根據(jù)實際問題的條件列方程為主要研究對象的代數(shù)學，這一數(shù)學發(fā)展在劉徽所注的《九章算術》有明確的記載.這就是我們現(xiàn)在的方程，《九章算術》中的第八章，古代的方程就是現(xiàn)在的線性方程組. 在《九章算術》中明確指出：“群物總雜，各列有數(shù)，總言其實.令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故為之方程.” 這里還規(guī)定了兩個方程式的系數(shù)不允許存在相同的比例，即不能有相容方程，也不能有矛盾方程.這和現(xiàn)代方程的思想是如出一轍的. 不過與現(xiàn)在橫行豎列的表示法不同的是，古代通常采用橫列豎行. 如《九章算術·方程》的第1問（以后也是談到古代方程必考究的一個問題）.

例1 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗. 問上、中、下禾實一秉各幾何？列出的方程如表1所示.

看到上述的方程組，我們不禁要發(fā)出這樣的疑問，中國古代并沒有英文字母，那到底是怎么列未知數(shù)解方程的呢？的確，英文字母x，y，z是19世紀中葉才傳到中國的，在此之前我國古代方程中的未知數(shù)都是用漢字來表示的，譬如“上禾”、“中禾”、“下禾”以及“天”、

“地”、“人”就通常被指代成現(xiàn)在的未知數(shù)x，y，z. 列出方程組之后，隨之而來的當然就是求解的問題.

直除法

古代對于線性方程組的解法稱為方程術，其核心是以逐步消元來減少方程的行數(shù)及未知數(shù)的個數(shù)，最終消成每行只存在一個未知數(shù)的情況，然后依次把第二、第三個未知數(shù)求出來. 在古代這種消元的方法稱為直除術，“直除”的意思就是直接相減.以《九章算術·方程》的第一問為例，在書中關于它的解題過程中有這樣一段話：“以右行上禾遍乘中行，而以直除. 又乘其次，亦以直除.”這段話用方程組的變換可以翻譯為

我們把方程組的系數(shù)以方陣的形式橫著寫，就是現(xiàn)行教材中線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，籌算過程就是現(xiàn)行矩陣的行初等變換，上述的初等變換只需要幾步就可完成.

當時人們借助的運算工具是算籌，方程的各項系數(shù)，常數(shù)項都用算籌排列成長方形，通過對算籌的移動和重組達到解出方程的目的，它的性質(zhì)和運算過程跟今天的矩陣是差不多的，所以我們可以很自豪地說，中國是矩陣最早出現(xiàn)的地方.

直除法的提出為簡化行列式和矩陣各行各列相減的概念奠定了基礎，其中劉徽指出的用方程的整行和另一行相減，不影響方程的解這一思想成為方程消元法的奠基石. 在歐洲最早的解線性方程組的方法是由法國數(shù)學家布丟在十六世紀中葉提出的，這比中國晚了一千年左右. 《九章》中的直除法不僅是中國古代數(shù)學中的偉大成就，也是世界數(shù)學史上寶貴的精神財富.

損益術

我們知道，由于在消元過程中會出現(xiàn)小數(shù)減大數(shù)的情況，這勢必會導致負數(shù)的產(chǎn)生. 劉徽在注釋《九章算術·方程》時首次提出了“正負術”的思想：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之.其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之. （這里的除、益是減少、增加的意思，同名、異名是同號、異號的意思），通覽這寥寥37個字，卻把正負數(shù)的加減法都包括了. 以《九章算術·方程》第八問為例，列出方程以矩陣的形式給出：

從第一個矩陣到第二個矩陣經(jīng)過的變換是：2×第2列-3×第3列；2×第1列+5×第3列. 從第二個矩陣到第三個矩陣經(jīng)過的變換是：第2列都約去公約數(shù)3. 要注意的是這里的“列”古代稱之為“行”，參考古籍時要注意.

《九章》中出現(xiàn)的正負數(shù)是人類文明史上最早出現(xiàn)的關于負量的描述，并且對正負數(shù)的加減法則做了說明，到5世紀時，祖沖之把它運用到了二次方程. 后來，朱世杰在《算學啟蒙》中又提出了正負數(shù)乘法法則. 在正負術的基礎上，古人創(chuàng)造了移項建立或化解方程的方法，在當時稱之為損益術. 古代所指的損益就是現(xiàn)在我們所說的減少和增加. 在等式的左端減少多少等價于在等式的右端增加多少，同理在等式的右端損就相當于在等式的左端益，就像我們現(xiàn)在所說的收支平衡. 如《九章算術·方程》第二問.

例2 今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾兩秉，而實一十斗；下禾八秉，益實一斗，于上禾二秉，而實一十斗. 問上，下禾實一秉各幾何？”

根據(jù)題意，我們可以列出方程組

顯然，經(jīng)過損益之后方程更簡潔也更便于計算. 值得一提的是，損益術的對象不僅包括了常數(shù)項，也包括了未知數(shù)，同時它的作用還類似于現(xiàn)在的合并同類項. 例如《九章算術·方程》第11問中關于牛馬價各幾何的問題，這里就不再詳敘.

互乘相消法

眾所周知，當方程組的系數(shù)較大時利用直除法計算往往會很煩瑣，劉徽針對這個問題首創(chuàng)了互乘相消法，那何為互乘相消法呢？我們不妨來看劉徽在《九章算術·方程》“牛羊直金”問中所提出的解法.

例3 “今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩，則牛、羊各直金幾何？”

同理，x的值也可求得. 劉徽還指出這是一種普遍的方法，即使方程式的個數(shù)為四行、五行也行得通. 可惜這種先進的思想一直未被當時的數(shù)學家重視，直到700多年后才被南宋大數(shù)學家秦九韶繼承并發(fā)展. 秦九韶的《數(shù)書九章》作為中國古代數(shù)學史上的另一部巨著，不僅僅是對《九章算術》的擴充和重復，在很大程度上它突破了《九章算術》的限制，并且給予了發(fā)展和推廣. 如《數(shù)書九章》“均貨推本”問題.

例4 “問有海舶赴務抽畢，除納主家貨物外，有沉香五千八十八兩，胡椒…”根據(jù)題意，列出方程組為

最后利用代入法，便得其他各元的值.

回顧上面所陳述的互乘相消法，不難看出這和現(xiàn)在我們所用的解方程組的方法完全一致，秦九韶發(fā)展了《九章算術》里的互乘相消法，把它運用到了二次以上方程并且提出了“代入法”和最大公約數(shù)的概念，這些成果都遙遙領先于世界上其他國家.

二次方程的解法

中國是世界上最早出現(xiàn)二次方程并求解的國家之一，古代的二次方程常以x2+px=q（p，q為正數(shù)）的形式出現(xiàn)，在這里我們不妨默認它為二次方程的標準形式. 利用代數(shù)和幾何相結合，通過事物的幾何性質(zhì)，列方程來求解則可以看作是中國數(shù)學的特色之一. 在我國《九章算術》里就有一個關于“引蕸赴岸”的最古老的二次方程問題，它便是利用勾股定理，列二次方程求解的. 又例如《九章算術·勾股》中的第20問“今有邑方不知大小，各中開門. 出北門二十步有木. 出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木. 問邑方幾何？”

書中采用了“帶從開方法”來求方程的正根，即“以出北門步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之，為實，并出南門步數(shù)，為從法.開方除之，即邑方”.

這段話用數(shù)學語言來解釋就是：以2×20×1775=71000作為常數(shù)項放在等式右端，以20+14=34作為一次項的系數(shù)（亦即古人所說的“從法”），然后列出標準二次方程，再開帶有“從法”的平方根，解的步驟相當于x=-17+ ，這與韋達的求根公式相吻合. 在這以后，宋代劉益的《益古根源》已經(jīng)涉及解二次項系數(shù)為負數(shù)的二次方程，三國時趙爽在《勾股圓方圖注》中還用到了類似于現(xiàn)在我們所用的二次方程求根公式：x=，其中2c為矩形兩邊之和，a為兩邊之積. 而在眾多求二次方程的解法中，最有趣的要數(shù)隋唐時期，僧一行利用內(nèi)插公式來求得方程的正根，這種先進的方法，至今令人稱奇.

不定方程

在西方，人們習慣稱不定方程為“丟番圖方程”，這是因為古希臘數(shù)學家丟番圖曾在公元3世紀時大規(guī)模地對此進行研究，其實在此之前我國《九章算術》里已出現(xiàn)“五家共井”的不定問題

例5 “今有五家共井，甲二綆不足，如已一綆；已三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆.如各得所不足一綆，皆逮. 問井深，綆長各幾何？”根據(jù)題意，可以列出方程：

這道題中有五個方程式，卻出現(xiàn)了六個未知數(shù)，劉徽用方程術解出其中一組最小解：x=265，y=191，z=148，u=129，v=76，w=721，并明確指出這是不定方程，只能求得其比率，它的解有無數(shù)組.比利時人利勃里希特曾經(jīng)就說過這是中國數(shù)學史上最早的不定方程問題，它的提出要比丟番圖早200多年.后來元魏時期張邱建又提出了“百雞問題”，這是道關于不定方程的世界名題，書中說到：“今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雉三，值錢一，凡百錢買雞百只. 問雞翁、母、雉各幾何？”按現(xiàn)代漢語翻譯，列出方程組

我們注意到這里有3個未知數(shù)，而方程式只有兩個，張邱建在其答案中提示到：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雉每益三，即得.”并且給出了全部的三組整數(shù)解：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）但具體解法并沒有公示出來.

后世之人一直嘗試著尋找“百雞問題”的一般解法，但直到19世紀中葉才由駱騰鳳、時曰醇利用大衍求一術找到一般解法.

x指數(shù)方程和對數(shù)的傳入

《九章算術》里有道有趣的“二鼠穿垣”問題，在古代浩瀚如海的方程問題中，它倒像是夏日里的一杯涼茶，百合中的一朵玫瑰，讓人感覺眼前一亮，特別引人注目.

例6 “今有垣厚五尺，兩鼠對穿. 大鼠日一尺，小鼠亦日一尺. 大鼠日自倍，小鼠日自半. 問：何日相逢？各穿幾何？”如果我們用今天的代數(shù)方法來解，可以借助于等比數(shù)列的求和公式，設經(jīng)過n天兩鼠可以相逢，大鼠每天的穿垣尺數(shù)依次為：1，2，22…小鼠每天的穿垣尺數(shù)依次為：1，，…經(jīng)過n天，大鼠共穿進尺數(shù)=2n-1，小鼠共穿進尺數(shù)= 2-，題中說兩鼠共穿進5尺.

我們可以列一個指數(shù)方程：（2n-1）+

這是中國古代關于指數(shù)方程的最早記載，通過這道題我們可以發(fā)現(xiàn)中國古代的方程研究已經(jīng)呈橫向發(fā)展的趨勢，從方程與指數(shù)相結合以及在二次方程這個章節(jié)中出現(xiàn)的把幾何與代數(shù)相結合，利用事物的幾何性質(zhì)，列方程來求解中我們不難發(fā)現(xiàn)那個時代屬于中國數(shù)學特色的端倪.

在求解這個指數(shù)方程時，我們勢必會用到對數(shù)函數(shù)的知識，那么對數(shù)是何時傳入我國的呢？據(jù)史料記載，最早把對數(shù)引入中國的是清朝的數(shù)學家薛鳳祚，他在《歷學會通》中給出了多達六位的數(shù)字和三角函數(shù)的對數(shù)表，其實在宋元之后，中國的數(shù)學就開始走下坡路了，不過在康熙時期，中國的數(shù)學還曾曇花一現(xiàn)過，究其原因：其一，康熙是古代帝王中為數(shù)不多的對數(shù)學產(chǎn)生濃厚興趣并對數(shù)學的發(fā)展做出貢獻的皇帝，在他的鼓勵和帶領下，那個時期的數(shù)學家在對以前數(shù)學文獻的整理和研究上所做出的成就還是值得肯定的. 其二，康熙時期，中國的經(jīng)濟文化又處于一個巔峰期，這就使得人們有更多的精力和安定和諧的環(huán)境去研究數(shù)學. 所以在那個時期，保留了很多極為珍貴的高次方程和對數(shù)方面的文獻.

我國古代的數(shù)學是以代數(shù)學作為主流而發(fā)展的，其中求解方程是我國古代代數(shù)學研究的重點，從劉徽注的《九章算術》里求解一元一次方程開始發(fā)展到宋元時期對高次方程解的研究步入一個新臺階，中國數(shù)學在方程方面的研究已經(jīng)遙遙領先于世界其他國家. 但是由于腐朽的封建制度，宋元之后我國數(shù)學就開始停滯不前，很多優(yōu)秀的成果也流失了. 作為數(shù)學王國里一顆璀璨的明珠，中國也曾照亮了那個時代方程發(fā)展的道路.