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        用圓錐曲線的統(tǒng)一方程解題

        2016-04-23 09:08:06許正川
        數(shù)學教學通訊·高中版 2016年3期
        關鍵詞:圓錐曲線解題探究

        許正川

        摘 要:關于橢圓、雙曲線、拋物線的有關問題,往往都是利用它們各自的標準方程進行探究,所得結果也往往彼此不同,好似互不關聯(lián). 利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,建立一個統(tǒng)一方程便能克服上述困難.

        關鍵詞:圓錐曲線;統(tǒng)一方程;解題;探究

        關于橢圓、雙曲線、拋物線的有關問題,往往都是利用它們各自的標準方程進行探究,所得結果也往往彼此不同,好似互不關聯(lián).而進行計算或論證時,也比較繁雜冗長,有時要用難以想到的技巧,增加了解這類問題的難度. 如果我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,建立一個統(tǒng)一方程,以此為工具,有時可較好地克服上述困難,也較易看出它們有關結論的關聯(lián),從而加深我們對圓錐曲線本質的理解.

        若圓錐曲線C的一個焦點為F,與其相對應準線為l,離心率為e,以F為坐標原點,過F且與l垂直的直線為x軸建立直角坐標系,設直線l的方程為x+p=0(p>0),圓錐曲線C上任一點M(x,y),M至l之距為d,則由圓錐曲線的定義,有=e,即=e,

        整理得(1-e2)x2-2pe2x+y2-e2p2=0. (1)

        當e≠1時,此圓錐曲線的兩軸方程為x=,y=0,中心O′

        當e=1時,圓錐曲線有一條軸,y=0.

        下面舉數(shù)例加以說明.

        例1 (2015年全國高考數(shù)學(全國新課程)卷第20題的推廣)

        已知直線l不過圓錐曲線C:(1-e2)x2-2pe2x+y2-e2p2=0(e≠1)中心O′,也不平行于坐標軸,與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,求證:直線O′M與直線l的斜率之積為e2-1,是一定值.

        證明:由題意,直線l的斜率存在,且不為0,可設其方程為y=kx+b(k≠0),代入C的方程(1-e2)x2-2pe2x+y2-e2p2=0,

        例2 (2015年全國高考福建數(shù)學(文科)卷第19題的推廣)F為圓錐曲線C:(1-e2)x2-2pe2x+y2-e2p2=0的焦點,過F的直線交C于A,B兩點,G(-p,0),求證:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

        證明:欲證結論成立,即欲證F至GA之距d1與F至GB之距d2相等.

        直線GA的方程為y=(x+p),即y1x-(x1+p)y+py1=0,

        例4 (2014年全國高考廣東數(shù)學(理科)卷第20題的推廣)

        若動點P(x0,y0)為圓錐曲線C:(1-e2)x2-2pe2x+y2-p2e2=0外部一點,且過P點作圓錐曲線C的兩條切線相互垂直,求P點軌跡方程,并判斷是何種曲線.

        解:設過P(x0,y0)的切線的斜率存在且不為0,則可設其方程為y=kx+(y0-kx0),代入圓錐曲線方程(1),整理得(1-e2+k2)x2-2[pe2-k·(y0-kx0)]x+(y0-kx0)2-pe2=0.

        由題意有[pe2-k·(y0-kx0)]2-(1-e2+k2)·[(y0-kx0)2-p2e2]=0,

        +y=,p點軌跡是一個圓,其中當e=時,是點圓;e>時,是虛圓.

        評注:此題結果表明,當圓錐曲線C是一橢圓時,P點軌跡是一個圓;當C是一拋物線時,P點軌跡是一條直線,這條直線恰為拋物線的準線;當C是一雙曲線,e<時,P點軌跡是一個圓,e=時,P點軌跡是一個點,此點恰為雙曲線的中心,e>時,P點軌跡不存在.

        例5 (《數(shù)學通報》數(shù)學問題2087的推廣)

        過圓錐曲線的一個焦點作圓錐曲線任一切線的垂線,求垂足的軌跡是何種曲線.

        解:設圓錐曲線的方程為(1),垂足(x0,y0),則仿例4也可得,[2pe2x0+(e2-1)x+p2e2]k2+2[(1-e2)x0y0-pe2y0]k+[(e2-1)y+p2e2]=0.

        因為圓錐曲線(1-e2)x2-2pe2x+y2-p2e2=0的一個焦點(0,0),故由題意=-,k=-,代入上述方程,整理得(e2-1)(x+y)2+2pe2x0(x+y)+p2e2(x+y)=0,

        顯然x+y>0,故有(e2-1)(x+y)+2pe2x0+p2e2=0.

        當圓錐曲線切線的斜率不存在或為0時,此方程也成立.

        垂足的軌跡是一個圓.

        評注:本題特例橢圓時中解答,通過聯(lián)立方程組求交點坐標,計算量不小;然后計算x2+y2,又要用代數(shù)恒等變形的技巧,均不及此種解法簡單明快,且一箭三雕,同時解決了橢圓、雙曲線、拋物線的垂直切線的交點的軌跡問題.

        例6 過圓錐曲線C:(1-e2)x2-2pe2x+y2-p2e2=0的焦點F的直線l1交圓錐曲線于A、B的兩點,交定直線l2:x=x0于P點,設=λ1,=λ2,則λ1+λ2=-2

        為定值.

        證明:顯然,F(xiàn)(0,0),故可設l1的方程為y=kx,代入圓錐曲線C的方程

        評注:若l2為焦點F相對應的準線,則λ1+λ2=0;若l2的方程為x=-,則λ1+λ2=-1;若l2為橢圓的短軸或雙曲線的虛軸,則λ1+λ2=.

        例7 過點P(x0,y0)作圓錐曲線(1-e2)x2-2pe2x+y2-p2e2=0的兩條弦AB、CD,使這兩條弦的斜率之積為常數(shù)λ,設AB、CD的中點分別為M、N,則

        證明:設直線AB的方程為y=kx+(y0-kx0),代入方程(1),整理得,

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