李帶兵

摘 要：基本不等式在課程標準中的要求是C級的，它是高考中的考查熱點，常作為壓軸題出現(xiàn). 有一類關于構造基本不等式的題型在這種問題中屬于難點問題，不易克服；但如果尋根探源，不難發(fā)現(xiàn)復雜的問題背后隱藏著一個非常簡單的本質(zhì).

關鍵詞：基本不等式；構造思想；解題；反思

數(shù)學的美麗不僅在于它的邏輯性，而且在于它的漸變性. 一道難的問題，往往隱含著一個非常簡單的本質(zhì). 基本不等式常作為高考填空題的壓軸選項，而難倒了各路“英雄”. 在這類題目中有一類關涉構造基本不等式的題型，常見于各大調(diào)研考試的試卷或各省的高考試卷中，對于它的歸納與總結有利于學生掌握這類問題的處理方式.

調(diào)研試題，引發(fā)反思

眾所周知，基本不等式中有最值定理，簡單點講即和為定值積有最大值；積為定值和有最小值. 但作為高考和各大市壓軸的填空題出現(xiàn)的基本不等式，往往就不是最值定理的運用那么簡單.它需要挑戰(zhàn)學生思維的靈活性，往往會有構造思維在其中的運用. 蘇州市2015屆高三第一學期期末考試的一道有關基本不等式的壓軸填空題，引發(fā)了筆者對構造定值類的基本不等式的解題反思.

例1 已知a，b為正實數(shù)，且a+b=2，則+的最小值為__________.

解析：從表達式直觀看來，并不存在和為定值或積為定值的形式，因此解決問題首先需要對表達進行相關處理.根據(jù)分式的性質(zhì)可知，當分子項的最高次數(shù)大于等于分母的最高次數(shù)時，可以采用常數(shù)分離的數(shù)學方法處理. 化簡后表達式為1++，根據(jù)基本不等式的最值定理可知，表達式有最小值，必須存在積為定值. 因此解題的關鍵轉(zhuǎn)化為構造表達式中積為定值.

反思：在求解最小值的整個過程中，由于兩式分母之和a+b+1=3，所以將+乘以a+b+1再除以3，跟原表達式等價，展開后可得到2+，兩式這積為定值，根據(jù)基本不等式的最值定理，可求最小值. 能夠這樣處理的原因，在于兩式分母之和為常數(shù)，因此，在解決諸如此類的問題可研究表達式的分母是否為常數(shù)，若為常數(shù)即可做乘以分母之和這樣的處理，以構造積為定值.

尋找源頭，探究根本

對于這類構造基本不等式的題型，有著深刻的理論基礎和最本質(zhì)的題目源頭；它有理論根據(jù)可依，有規(guī)律可循，因此可按照規(guī)律總結根本的解題策略和步驟.

1. 尋找題目源頭，發(fā)現(xiàn)解題理論依據(jù)

重新審視上述問題解決的關鍵步驟：1++=1+

（a+b）=2++，通過這1的代換來構造+的形式. +這種形式最突出的特點是兩項之積為定值，對于積為定值的情況，可用基本不等式的最值定理求解最小值. 可以說上述調(diào)研試題是這種1的代換逐步演變過來的，1的代換是上述調(diào)研試題的原型. 兩者所不同的是課本的例題是1的直接代換，而這道調(diào)研試題需要利用題設所給條件構造1. 因此，利用1的代換，構造和為定值或積為定值是突破這類問題的關鍵點.

在基本不等式中存在兩類最值定理，即和為定值時積有最大值；積為定值時和有最小值.所謂和為定值時積有最大值是指“若正數(shù)x，y滿足x+y=p，則xy有最大值”；所謂積為定值時和有最小值是指“若正數(shù)x，y滿足xy=p，則x+y有最小值2”. 反思這整個解題過程，不難發(fā)現(xiàn)解決這類問題最終的步驟都脫離不了基本不等式的最值定理，因此如果將1的代換看成是這類問題解決的突破口，那么最值定理就可以看成解決這類問題的最終的手段.

窺視問題本質(zhì)，總結解題策略方法

透過上述理論分析，我們可以斷定形如調(diào)研試題的問題的本質(zhì)就是1的代換，我們的策略就是通過給目標表達乘以一個代表1的數(shù)學表達式，從而將目標表達式轉(zhuǎn)化成乘積為定值的兩個式子這和. 對于這種本質(zhì)的認識可以將其抽象成這樣的數(shù)學語言：“正數(shù)x，y滿足x+y=k，那么形如+的最小值可通過如下構造的方式來求解，即+=

針對上述有關問題本質(zhì)方面的認識，可以將這類問題的解題步驟具體歸納為如下幾步：首先，對待求表達式，進行變形，常用的處理方式有常數(shù)分離、利用分式的性質(zhì)將分子的表達式除到分母上；第二，觀察變形后的表達式的兩項的分母之和是否為常數(shù)，若不是常數(shù)，則根據(jù)分母的式子，調(diào)整題設中所給的定值表達式；第三，將變形后的待求表達式與調(diào)整后的定值表達式相乘，并調(diào)整系數(shù)；第四，利用基本不等式的最值定理求解待求表達式的最小值.

能力拓展，知識遷移

理論總結的目的是為了更好解決問題，但它也僅僅是抽象出了一種簡易的模型，真實的問題是多變的，它或多或少與抽象的數(shù)學模型有些差距，要真正掌握處理這類問題的技能，需要用實際問題來鍛煉自己思維.

1. 變式一：定值表達式為分式

例2 （鎮(zhèn)江市2015屆第一學期期末考試）已知正數(shù)x，y，滿足+=1，則+的最小值是_______.

解析：從題設上看所給定值表達式由整式多項式變成分式多項式，但本質(zhì)上仍然為兩個整體之和為定值，因此需要做的處理是將待求表達式中的分母變成關于和的式子.

將多項式分子除到分母上，則+=+，易知分母和：1-+1-=1；所以原式=

反思：無論定值表達式是整式之和還是分式之和，解決這類問題的關鍵在于能夠在待求表達式的分母中再現(xiàn)定值表達式中的元素，以便能夠做1的代換并調(diào)整系數(shù).

2. 變式二：“定值”表達式為不等式

例3 （蘇錫常鎮(zhèn)宿五市調(diào)研一）已知實數(shù)x，y，且x+y≤2，則+的最小值是_______.

解析：通常情況下，基本不等式給出的定值表達式是等式，思維的定式，會讓學生在遇到給出“定值”表達式為不等式時，有些不知所措，但問題中1的代換的本質(zhì)并未改變，所不同的僅僅是將原來的等量關系變成不等關系而已.

待求表達式中分母之和為x+3y+x-y=2（x+y），因為x+y≤2，則2（x+y）≤4；

在構造積為定值時，需要調(diào)整系數(shù)，即+≥

反思：當定值表達式為不等式時，在問題的本質(zhì)上并未改變，問題在于學生能否轉(zhuǎn)變思維的定式，從定值為等式的思維走出.

回顧整個解題心得，我們可以從理論與實踐兩個角度來再度認識這類問題. 從理論的角度來審視這一類構造基本不等式的問題，其實質(zhì)乃1的代換的變形，它比最簡單的1的代換要靈活，因為這類問題在構造1的過程中需要調(diào)整表達式的系數(shù)；從實際的問題來審視這類問題，有一個通性：待求多項式的每一項的分母都含有題設所給定值表達中的元素. 因此在處理這類問題時應當把握兩個突破口：其一，對待求表達式的變形與處理的方向應當是：使表達式的每一項的分母中帶有定值表達式中的元素；其二，正如文章第二部分數(shù)學模型總結的那樣，在進行1的代換操作步驟時應當注意系數(shù)的調(diào)整，保證表達式與原表達式是等價的.