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        對一道圓錐曲線試題的研究與引申

        2016-04-23 09:08:06周躍佳
        關(guān)鍵詞:雙曲線定值橢圓

        周躍佳

        摘 要:2015年高考全國Ⅱ卷理科第20題是一個關(guān)于橢圓的定值問題. 本文通過對該題第一問的解答,抽象出一個橢圓的一般命題,并將其推廣到雙曲線中去.

        關(guān)鍵詞:橢圓;雙曲線;定值

        x 提出問題

        (2015年全國Ⅱ卷理科第20題)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.

        (Ⅰ)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

        (Ⅱ)若l過點

        問題的解答

        解:(Ⅰ)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

        將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0. 所以xM==-,

        yM=kxM+b=. 于是直線OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-9. 所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

        (Ⅱ)略.

        結(jié)論的推廣

        引理1:已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為-.

        證明:設(shè)直線l:y=kx+m (k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

        將y=kx+m代入+=1得:(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,所以xM==,yM=kxM+m=. 所以kOM==-,故kOM·k=-.

        推論1:已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為-.

        證明:(由對稱性知,kOM·k=-)

        設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0),

        結(jié)論的類比

        引理2:已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為.

        證明:設(shè)直線l:y=kx+m (k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

        將y=kx+m代入-=1得:(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,xM==,yM=kxM+m=. kOM==,故kOM·k=.

        推論2:已知雙曲線C:-=1,(a>0,b>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為.

        證明:(由對稱性知,kOM·k=)

        設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

        將:y=kx+m代入-=1得:(b2k2-a2)x2+2b2kmx+b2m2-a2b2=0,xM==,yM=kxM+m=. kOM==,故kOM·k=.

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