孫忠洋

（淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北 235000）

行列式的計算方法很多，綜合性較強，需要我們多觀察總結，往往運用一些特殊的行列式，在化簡復雜的行列式中會起到化繁為簡的計算效果，培養(yǎng)學生興趣和思維，對大學的教學起到積極的作用。在此主要談了“爪”字形和“么”字形行列在教學中的運用。

1 兩種特殊行列式在教學中的運用

一般情況下，傳統(tǒng)的教學方式基本上都是運用行列式的定義或性質(zhì)，逐步求解行列式，對于簡單的行列式可以快速求解，但對于較為復雜的行列式往往無法起到快速求解的目的，這就需要熟練掌握一些特殊的行列式的運算方法，對求解復雜行列式會起到事半功倍的效果。 在很大程度上，培養(yǎng)了學生的興趣和學習的積極性，有利于培養(yǎng)學生的解題思維。

1.1 “爪”字形行列式

在高等代數(shù)和線性代數(shù)中，有兩種非常特殊的行列式，首先介紹“爪”字形行列式。

行列式的特點：行列式中的非零元素排列形狀如“爪”字形。

解題方法：將每行（或每列）的元素都乘以一個倍數(shù)，然后都加到第i行（或第i列），并提取第i行（或第i列） 元素的公因子，再進行計算。下面講解“爪”字形行列式的計算，如下：

例 1：計算（n+1） 階行列式：）后都加到第1列，有

解法 1： 將第 i＋1（i=1，2…，n）列乘以

注：許多行列式可經(jīng)適當變形化為“爪”字形行列式，此行列式在教學中具有重要的作用，但需要注意，在方法1的證明中一定要應用條件：ai≠0（i=1，2…，n）， 但是在方法 2 的證明中， 不需要使用已知條件：很多行列式可以化成“爪”字形行列式，然后再進行簡化計算，見下題。

例2：計算n階行列式：

解法1：在原行列式中添加一行和一列后，從第2行開始直至第n+1行都加上第1行的（-1）倍，有

（1）式為“爪”字形行列式。下面分三種情況討論：

（1）當xi≠ai（i=1，2，∧，n）時，將（1）式中第i+1（i=1，2，∧，n）列乘以）后都加到第1列，有

（2）當xi-ai（i=1，2，∧，n）中只有一個為0時，在（1） 式中假設存在一個i，使得xi-ai=0，對（1） 式的第i+1行展開，有

Dn=（x1-a1）（x2-a2）∧（xi-1-ai-1）ai（xi+1-ai+1）∧（xn-an）

（3） 當 xi-ai（i=1，2，∧，n）中有兩個或兩個以上xi-ai=0，假設在（1） 式中x1-a1=x2-a2=0，可知

（1） 式中存在兩行相等，因此，Dn=0。

解法2：在原行列式中添加一行和一列后，從第2行開始直至第n+1行都減去第1行，有

關于“爪”字形行列式在教學中的運用還有很多，可以處理更加復雜的行列式，需要我們繼續(xù)研究，“爪”字形行列式在行列式的計算中能起到化簡復雜行列式的作用。

2.2 “么”字形行列式

行列式的特點：行列式中的非零元素排列形狀如“么”字形。

解題方法：按某一行（或某一列）運用公式直接展開，可得結果。 下面講解“么”字形行列式的計算。

例1： 計算（n+1） 階行列式：

解： 按第1列展開，有

例2：計算n階行列式：

解：按第1行展開，有nxn-1+（n-1）xn-2+∧+2x+1

注：許多行列式也可經(jīng)適當變形化為“么”字形行列式，例1和例2是“么”字形行列式的基本計算方法，對于“么”字形行列式在教學中的運用，可見例3。

例3：計算n階行列式：

解：從第n-1行開始直至第2行，每行乘（-1）加到下一行，再按第1列展開，有

把“么”字形行列，按第1行展開有

Dn=（-1）n+1[b1a2a3Lan+b1b2a3Lan+L+b1b2Lbn-1an]

例4： 計算n階行列式：

解： 從第n-1行開始直至第1行，每行（-1）乘加到下一行，再按第1列展開，有

再從第2列開始直至第n-1列都加到第1列，再按第1列展開，有

3 教學總結

行列式是高等代數(shù)和線性代數(shù)的重要教學內(nèi)容，是求解線性方程組、逆矩陣和矩陣特征值的基礎。在高等代數(shù)和線性代數(shù)的教學內(nèi)容以及工程技術中都有著廣泛的應用。在整個行列式的教學過程中，要注意總結教學中的重難點，總結特殊的行列式在教學中的運用，培養(yǎng)學生運用特殊的方法解決復雜問題的能力。在教學中，運用“爪”字形和“么”字形行列式在化簡復雜的行列式中會起到化繁為簡的計算效果。

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]居余馬，胡金德.線性代數(shù)[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3]羅文俊.關于行列式的計算與討論[J].貴州大學學報(自然科學版)，2003，20（2）： 123-126.

[4]張新功.行列式的計算方法探討[J].重慶師范大學學報(自然科學版)，2011，28（4）： 88-92.

[5]李排昌，左萍.行列式與解線性方程組[J].中國人民公安大學學報(自然科學版)，2010，1（1）：100-102.