李冬梅　溫盼盼　徐亞靜　Yue+WU

摘要：為了考慮媒體宣傳對(duì)傳染病控制的影響，建立了一類具有雙線性接觸率且?guī)в忻襟w引發(fā)的意識(shí)累積密度的SISM傳染病模型，利用Liapunov函數(shù)和幾何判別法給出了無病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性條件。并將模型研究結(jié)果應(yīng)用于甲流H1N1疾病中，分析了媒體宣傳對(duì)疫情控制的作用，結(jié)合實(shí)際發(fā)病數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了結(jié)果的合理性。

關(guān)鍵詞：媒體宣傳；SISM模型；Liapunov函數(shù)；平衡點(diǎn)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：0175.13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1007-2683（2015）06-0112-07

0 引言

傳染病的預(yù)防和控制一直是衛(wèi)生防疫部門關(guān)注的問題之一。人們往往通過電視，網(wǎng)絡(luò)等媒體途徑獲得疾病相關(guān)的信息，增強(qiáng)了防范意識(shí)，減少了感染幾率，有效地預(yù)防了傳染病的流行。疾病暴發(fā)初期，根據(jù)疾病傳播嚴(yán)重程度，不斷增加媒體報(bào)道力度，民眾疾病知曉率逐漸增大，染病者數(shù)量在一定程度出現(xiàn)了緩慢趨勢(shì)。如2003年SARS爆發(fā)初期，通過印發(fā)的宣傳單、開展社區(qū)咨詢和媒體報(bào)道等多種方法，人們了解了疾病的感染方式及發(fā)病情況。針對(duì)某地區(qū)3405人的流行病調(diào)查中發(fā)現(xiàn)有關(guān)SARS病的曉率達(dá)到了95%以上，從而有效地控制了疾病的發(fā)展。

人們發(fā)現(xiàn)媒體宣傳主要是影響易感者的行為和習(xí)慣，宣傳力度會(huì)改變疾病傳播的有效接觸率和對(duì)疾病的意識(shí)積累，應(yīng)用傳染病動(dòng)力學(xué)模型研究媒體宣傳對(duì)疾病控制已取得了諸多結(jié)果。媒體宣傳會(huì)導(dǎo)致易感者對(duì)疾病的意識(shí)認(rèn)知程度不同，易感者劃分為有防范意識(shí)的人群和無防范意識(shí)的人群，通過分析傳染病模型的無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及模型的持久性，給出疾病的控制策略?？紤]到媒體宣傳積累程度對(duì)疾病預(yù)防與控制作用，文闡述和分析了媒體活動(dòng)引起的意識(shí)密度對(duì)傳染病傳播的影響，證明了無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，以及隨著參數(shù)的變化，模型正平衡點(diǎn)會(huì)發(fā)生的Hopf分支。通過分析可知，媒體信息傳播雖然不能治療疾病，但可以減少染病者的數(shù)量，從而可以控制疾病的爆發(fā)。

實(shí)際上，在傳染病發(fā)病中后期，易感者意識(shí)開始淡薄，染病者經(jīng)過治療后也并非全部轉(zhuǎn)化為有意識(shí)的易感者，媒體宣傳的作用不顯著，若是不改變宣傳的方式，長(zhǎng)久下去，傳染病可能就轉(zhuǎn)化為一種常態(tài)疾病。本文考慮了治愈的染病者受媒體的作用部分轉(zhuǎn)化為具有防范意識(shí)的易感者，部分轉(zhuǎn)化為無防范意識(shí)的易感者，建立了SISM傳染病模型，研究了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。針對(duì)一類H1N1傳染病，利用模型的研究結(jié)果定量分析了在媒體宣傳不同力度下的疾病傳播趨勢(shì)。

1 模型建立

許多傳染性疾病如流感、瘧疾等，部分人群感染后通過治療，治愈后仍成為易感者，在媒體宣傳作用下，易感者會(huì)產(chǎn)生防控意識(shí)，會(huì)采取相應(yīng)的自我保護(hù)措施避免再次感染，如文主要考慮了易感者在宣傳作用下成為有防控意識(shí)的易感者。但隨時(shí)間推移人們的預(yù)防意識(shí)會(huì)淡化，一些采取自我保護(hù)措施的易感者逐漸轉(zhuǎn)化為無防范意識(shí)的易感者，因而感染者會(huì)增加。考慮這些因素的影響，在此基礎(chǔ)上研究一類帶有媒體引發(fā)的意識(shí)累積密度的SISM傳染病模型。

將整個(gè)人群分為無防范意識(shí)的易感者S₁、有防范意識(shí)的易感者S₂和染病者，_兩種易感者的區(qū)分是由于媒體宣傳教育的影響改變了一部分易感者的行為方式。假設(shè)疾病的傳播僅通過易感者和染病者的直接接觸，只考慮個(gè)體之間直接接觸的信息傳遞方式；由媒體引起的意識(shí)活動(dòng)的累計(jì)密度和人群中的染病者有關(guān)，且成正比關(guān)系；媒體信息對(duì)無意識(shí)的易感者產(chǎn)生影響后變成有意識(shí)的易感者，從而避免和染病者接觸，使其疾病感染的概率減小，易感性降低；忽略因病死亡率，同時(shí)也考慮到意識(shí)隨時(shí)間的消耗。疾病感染傳播過程如圖1所示：建立如下模型其中：S₁、S₂、I、M分別為t時(shí)刻無防范意識(shí)的易感者人群數(shù)量、有防范意識(shí)的易感者人群數(shù)量、已感染人群數(shù)量、某地區(qū)由媒體引發(fā)的意識(shí)的累積密度；c為常數(shù)輸入率和自然死亡率；ξ為意識(shí)的轉(zhuǎn)移率；β為易感者與染病者之間的有效接觸率；ζ_n為有意識(shí)個(gè)體到無意識(shí)個(gè)體的轉(zhuǎn)移率；v為染病者的恢復(fù)率，以概率p恢復(fù)成有意識(shí)的易感者；μ₀為媒體宣傳無效的耗散率；μ為媒體項(xiàng)目的貫徹率。所有的參數(shù)均為正。

假設(shè)模型（1）的初始條件：

因此，模型（1）的全部解（S₁，I，S₂，M）最終趨向進(jìn)入或停留在下列區(qū)域D內(nèi)。

2 主要內(nèi)容

模型平衡點(diǎn)滿足

證明：由定理1和區(qū)域D是最大不變集知，當(dāng)R₀>1時(shí)，在D內(nèi)除初值在S₁軸上的軌線都將沿著此軸趨于E₀外，其他從點(diǎn)E₀附近出發(fā)的軌線最終將遠(yuǎn)離E₀，記Ω={E₀}，則Ω是D的邊界aD上的唯一最大不變集，且Ω的穩(wěn)定集Ω^S₁在S₁軸上，即在D的邊界aD上，滿足了D的邊界aD上最大的緊不變集是孤立的。因此，由一致持久性定理知，當(dāng)R₀>1時(shí)，系統(tǒng)（3）在域D是一致持久的。證畢。

考慮微分方程

3 數(shù)值模擬

取模型（1）中參數(shù)b=c=0.07，μ=0.8，μ₀=0.4，β=0.2，v=0.2，p=0.6，ξ=0.5，ξ_.=0.3，并取初始值為（0.6，0.1，0.3，0）。經(jīng)過計(jì)算，得到，R₀=0.97<1。由定理1知模型（1）無病平衡點(diǎn)E₀（0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的，模擬圖如圖2所示。若取β=0.3，其他參數(shù)取值不變R_.=1.45>1，選取m=0.09且滿足β+μξ/mμ₀<βm+c+2ξm。由定理3知，模型（1）地方病平衡點(diǎn)E^*（0.5，0.1，0.25）是全局漸近穩(wěn)定的，模擬圖如圖3所示。

通過對(duì)比圖2和圖3可以得到，通過媒體宣傳，會(huì)有效地改變有效接觸率，當(dāng)減小有效接觸率β時(shí)，R₀<1，疾病不流行；當(dāng)增大有效接觸率β時(shí)，R₀>1，使疾病趨于較小的穩(wěn)定值。

4 媒體宣傳模型在甲型H1N1流感中的應(yīng)用

4.1 問題分析

甲型H1N1流感（簡(jiǎn)稱甲流）因感染病毒引發(fā)的急性呼吸道傳染病，主要通過飛沫經(jīng)呼吸道、口腔、鼻腔、眼睛等處黏膜在人群中直接或間接接觸傳播。甲型H1Nl病毒在不同溫度下繁殖的速度快慢不同，疾病易在夏季流行。針對(duì)甲型H1N1這一突發(fā)性疾病，起初人們對(duì)它不了解，及時(shí)對(duì)疾病宣傳報(bào)道尤為重要，提高人們對(duì)疾病的知曉率，有效地預(yù)防疾病。早期可持續(xù)利用電視、報(bào)紙、印發(fā)宣傳畫、組織專家宣講對(duì)大眾普及甲型H1Nl流感相關(guān)知識(shí)。2009年對(duì)2986份問卷調(diào)查分析，人群甲型H1N1流感知識(shí)知曉率在95%以上，基本預(yù)防措施實(shí)踐率在80%以上。在對(duì)杭州某高校345名師生進(jìn)行匿名問卷調(diào)查時(shí)；73.9%（255/345）的調(diào)查對(duì)象對(duì)甲型H1N1流感疫情高度關(guān)注或關(guān)注較多；90.4%（312/345）認(rèn)為甲型H1N1流感可防、可控、可治；84.1%（290/345）認(rèn)為學(xué)校宣傳力度應(yīng)增加。宣傳內(nèi)容以心理、營(yíng)養(yǎng)和預(yù)防為主，大多調(diào)查對(duì)象能采取有效的應(yīng)對(duì)行為。建立一個(gè)合理的H1N1傳染病模型，考慮媒體宣傳因子影響，致力于消除疫情的流行趨勢(shì)。

4.2 模型建立及參數(shù)選取

選用2012年中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒年“人口出生率、死亡率和自然增長(zhǎng)率”中的數(shù)據(jù)，可得常數(shù)輸入率和自然死亡率c=0.007。采用文中的v值，v=0.29。其他參數(shù)依次設(shè)為β=0.3，p=0.6，ξ_.=0.5，μ₀=0.7，主要考慮媒體作用參數(shù)意識(shí)的傳播率ξ和媒體項(xiàng)目的貫徹率μ和有效接觸率β對(duì)傳染病H1N1控制的影響。

考慮下列模型：

4.3 數(shù)值模擬

在一年中，1月與2月之間的溫度偏低不適合甲流病毒生長(zhǎng)，染病者人數(shù)數(shù)量較??；在2月與4月之間，隨著天氣變暖病毒繁殖速度加快，人們感染幾率增大，染病者人數(shù)呈上升趨勢(shì)；在4月和7月之間通過媒體宣傳減少感染者的人數(shù)；進(jìn)人夏季7月與10月階段，病毒繁殖速度迅速，加大媒體宣傳力度，提高人們防范意識(shí)，避免甲流的流行可能，最后疾病趨于消失。結(jié)合實(shí)際情況，針對(duì)不同情況的意識(shí)傳播率ξ和媒體項(xiàng)目的貫徹率μ，利用模型（12）的分析結(jié)果，模擬4個(gè)時(shí)間段[1，2]、（2，4]、（4，7]、（7，10]染病者的變化情況，了解疾病的變化規(guī)律。若取第一區(qū)間的初值為（0.5，0.4，0.1，0），根據(jù)時(shí)間的分段情況可以確定不同的區(qū)間初值，繪出各種情況下地方病平衡點(diǎn)性態(tài)圖，如圖4至圖7。計(jì)算結(jié)果參見表1。

通過圖4可以看出：甲流暴發(fā)后媒體作用開始發(fā)生，染病者數(shù)量急劇減少，甲流得到了很好的控制，此時(shí)媒體便減少了對(duì)傳染病預(yù)防的宣傳力度，由于受到氣候、溫度的影響，病毒急速發(fā)展，致使染病者比例又呈增大趨勢(shì)，染病者人數(shù)增多，如圖5所示。當(dāng)出現(xiàn)這種情況后，媒體宣傳力度勢(shì)必再次加大，通過圖6、圖7發(fā)現(xiàn)：當(dāng)再次加大媒體宣傳力度時(shí)，疾病得到了較好的控制，最終趨于消失。由此得出結(jié)論：媒體宣傳確實(shí)對(duì)具體疾病H1N1有影響。

4.4 媒體宣傳模型在甲型H1N1流感中的驗(yàn)證

選取“《中國(guó)疾病預(yù)防控制中心》全國(guó)法定傳染病疫情概況”中2013年1月～10月全國(guó)甲型H1N1流感的染病者的比例，運(yùn)用Excle先將數(shù)據(jù)繪制成染病者比例折線如圖8所示。

上述4幅圖分別和圖8進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)：圖4中的染病者比例變化趨勢(shì)與圖6中2013年1月至2月份染病者比例變化趨勢(shì)相同。圖5中的染病者比例變化趨勢(shì)與圖8中2013年2月至4月份染病者比例變化趨勢(shì)完全相同。圖6中的染病者比例變化趨勢(shì)與圖8中2013年4月至7月份染病者比例變化趨勢(shì)完全相同。圖7中的染病者比例變化趨勢(shì)與圖8中2013年7月至10月份染病者比例變化趨勢(shì)完全相同。

利用模型（12）可求出染病者比例在不同時(shí)段的數(shù)值，將其與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表2。

通過比較染病者比例的預(yù)測(cè)值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)月份中預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的相對(duì)誤差較小，說明媒體宣傳確實(shí)對(duì)具體疾病H1N1有重要作用。

（編輯：溫澤宇）